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1.3 第5課時 用邊角關系判定三角形全等的應用
1.進一步掌握SSS、SAS、ASA、AAS四種三角形全等的判定方法及其適用條件
2.能利用全等三角形的性質進行簡單的推理
知識回顧
已知條件 選擇的判定定理
兩邊及其夾角分別相等 SAS
兩角及其夾邊分別相等 ASA
兩角及其中一角的對邊分別相等 AAS
三邊分別相等 SSS
兩邊及其中一邊的對角分別相等的三角形不一定全等；SSA不是全等三角形的判定定理
例1 如圖，點E在BD上，AB＝BC，AE＝CE. 求證：AD＝CD.
A
B
C
D
E
？
？
分析：
1. AD、CD屬于哪兩個三角形？
2. 證△ABD≌△CBD需要幾個條件？
目前有哪些條件？還缺什么條件？
A
B
C
D
E
？
？
證法1：在△ABE和△CBE中，
∴△ABE≌△CBE(SSS).
∴∠ABE＝∠CBE.
在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD(SAS).
∴AD＝CD.
例1 如圖，點E在BD上，AB＝BC，AE＝CE. 求證：AD＝CD.
A
B
C
D
E
？
？
證法2：在△ABE和△CBE中，
∴△ABE≌△CBE(SSS).
∴∠AEB＝∠CEB.
∴∠AED＝∠CED.
在△AED和△CED中，
∴△AED≌△CED(SAS).
∴AD＝CD.
例1 如圖，點E在BD上，AB＝BC，AE＝CE. 求證：AD＝CD.
證明：在和中，
， .
在和中，
， .
1.如圖，四邊形 的對角線與相交于點，， .
求證： .
活學活用
例2 如圖，AB⊥BD，ED⊥BD，垂足分別為B，D，點C在BD上，AB＝CD，BC＝DE. 求證：AC與CE垂直且相等.
A
B
C
D
E
分析：
1. AC、CE屬于哪兩個三角形？
2. 在△ABC和△CDE中，有哪些條件？
3. 要證AC⊥CE，只要證哪個角是90°？
如何得到這個角是90°？
例2 如圖，AB⊥BD，ED⊥BD，垂足分別為B，D，點C在BD上，AB＝CD，BC＝DE. 求證：AC與CE垂直且相等.
A
B
C
D
E
證明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠B＝∠D＝90°.
在△ABC和△CDE中，
∴△ABC≌△CDE (SAS).
∴∠A＝∠ECD，AC＝CE.
∵∠B＝90°，
∴∠A＋∠ACB＝90°.
∴∠ECD＋∠ACB＝90°.
∴∠ACE＝90°.
∴AC與CE垂直且相等.
2.如圖，已知AB∥CD，OA＝OD，AE＝DF. 求證：BE∥CF.
解題思路：利用角的關系推出直線間的位置關系，角的關系一般由三角形全等得到，然后尋找判定三角形全等所需的條件.
證明： ∵ AB∥CD， ∴ ∠DCO＝∠ABO，∠CDO＝∠BAO.
在△AOB和△DOC中，
∴△AOB≌△DOC(AAS). ∴ OB＝OC.
∵OA＝OD，AE＝DF，∴OA＋AE＝OD＋DF，即OE＝OF.
在△COF和△BOE中，∴△COF≌△BOE(SAS).
∴∠F＝∠E，∴ BE//CF.
你還有不同的方法證明嗎？
活學活用
另解:
由△AOB≌△DOC，得AB＝DC，
由∠CDO＝∠BAO，得∠CDF＝∠BAE.
在△ABE和△DCF中，
所以△ABE≌△DCF(SAS).所以∠E＝∠F. 所以BE//CF.
活學活用
2.如圖，已知AB∥CD，OA＝OD，AE＝DF. 求證：BE∥CF.
解題思路：利用角的關系推出直線間的位置關系，角的關系一般由三角形全等得到，然后尋找判定三角形全等所需的條件.
已知條件 是否全等 圖形(或反例) 形式結論
三邊
兩邊一角 兩邊夾角
兩邊對角 (非直角)
兩角一邊 兩角夾邊
兩角對邊
三角
SSS
SAS
ASA
AAS
是
是
否
是
是
否
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
1.如圖，已知△ABC的六個元素，則下面甲、乙、丙三個三角形中和△ABC全等的圖形是(　　)
A.甲和乙
B.乙和丙
C.只有乙
D.只有丙
B
2.如圖，AB=AC，AD=AE，下列結論中錯誤的是(　　)
A.∠B=∠C
B.BD=CE
C.BE⊥CD
D.△ABE≌△ACD
C
3.如圖，點B，F，C，E都在一條直線上，AC=DF，BC=EF.添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△DEF的是(　　)
A.∠ACE=∠DFB
B.∠ACB=∠DFE
C.∠B=∠E
D.AB=DE
C
4.如圖，已知，，要直接證明 .
（1）若以“ ”為依據，則可添加條件__________；
（2）若以“ ”為依據，則可添加條件_________；
（3）若以“ ”為依據，則可添加條件_______________.
5.在和中，與交于點 ，且，
（1）請說明： ；
（2）當 時，求 的度數.
解：（1）在和中， ，
，，，即.
在和 中， .
，
， ．

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