資源簡介

/ 讓教學更有效 高效備課 | 數學學科
16.2 整式的乘法（第2課時 單項式乘多項式）
教學設計
一、內容和內容解析
1. 內容
本節課是在學生學習了單項式乘法的基礎上，學習的一種“式”的運算，它又是學習多項式與多項式相乘、用提公因式法分解因式以及將某些一元二次方程整理成一般形式的基礎。
2. 內容分析
“單項式乘以多項式”是整式乘法的重要組成部分，從知識邏輯來看，單項式與多項式相乘的本質是將多項式轉化為多個單項式的和，再運用“乘法分配律”轉化為單項式乘單項式的運算，體現了“轉化”的數學思想。同時，這一內容是后續學習“多項式乘多項式”“提公因式法分解因式”以及“一元二次方程化為一般形式”的基礎，在整式運算體系中起到承上啟下的作用。從學生認知來看，本節課需要學生在理解算理的基礎上掌握運算步驟，發展運算能力，并初步體會數形結合和程序化思想。
基于以上分析，確定本節課的教學重點為：單項式與多項式相乘的法則的運用。
二、目標和目標解析
1. 目標
（1）理解單項式與多項式相乘的法則，能運用單項式與多項式相乘的法則進行計算。
（2）理解算理，發展學生的運算能力和“幾何直觀”觀念，體會轉化、數形結合和程序化思想。
2. 目標解析
（1）學生不僅能記住“用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加”的法則，更要理解法則的推導過程（基于乘法分配律和單項式乘法法則）；在應用層面，需能準確識別單項式和多項式的項，按法則分步計算，解決單項式乘多項式問題，做到運算結果正確、步驟規范。
（2）“理解算理”要求學生明確法則的本質是乘法分配律的應用和轉化思想的體現；“發展運算能力”指通過練習提升運算的準確性和熟練度；“幾何直觀觀念”可通過圖形面積驗證法則，幫助學生從直觀上理解抽象的運算；“體會轉化思想”體現在將多項式轉化為單項式的和，再將單項式乘多項式轉化為單項式乘單項式；“程序化思想”則要求學生掌握運算的步驟，培養規范運算的意識。
三、教學問題診斷分析
1. 應用法則時漏乘多項式的項
學生可能在計算時忽略不含字母的項，導致運算錯誤.應對策略：在計算前先標出多項式的各項，并用箭頭標注單項式與每一項的乘法關系；設計對比練習（如正確與錯誤過程的辨析），強化“不漏乘”的意識。
2. 單項式與多項式的項相乘時，符號或系數出錯
在進行與負系數相關的計算時，學生可能混淆“減號”和“系數的負號”，導致符號判斷錯誤。應對策略：分步書寫，先確定符號，再進行后續運算，分步突破符號難點；設計含負系數、多字母的練習題，強化符號和系數運算的準確性。
基于以上分析，確定本節課的教學難點為：單項式與多項式相乘的法則的運用。
四、教學過程設計
（一）復習引入
問題1 你能說一說單項式與單項式的乘法法則嗎？
答 一般地，單項式與單項式相乘，把它們的系數、同底數冪分別相乘作為積的因式，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式.
問題2　計算單項式乘以單項式時，需要注意：
1.按“先算乘方，再算乘法”的順序運算；
2.不要漏掉只在一個單項式里含有的字母因式；
3.此法則對于多個單項式相乘仍然成立．
設計意圖：通過問題1喚醒學生對舊知的記憶，為后續將單項式乘多項式轉化為單項式乘單項式做知識鋪墊。問題2聚焦單項式乘單項式運算中的注意事項，幫助學生規避運算常見錯誤，提升運算準確性，為單項式乘多項式的準確計算筑牢習慣基礎。
（二）合作探究
問題3　為了擴大綠地面積，要把街心花園的一塊長為p m，寬為b m的長方形綠地，向兩邊分別加寬a m和c m，你能用幾種方法表示擴大后的綠地面積？不同的表示方法之間有什么關系？
方法1 先求擴大后的綠地的邊長，再求面積，
即p(a+b+c). ①
方法2 先分別求原來綠地和新增綠地的面積，再求它們的和，
即pa+pb+pc. ②
由于①②表示同一個數量，所以
p(a+b+c) = pa + pb + pc.
設計意圖：問題3用“長方形綠地拓寬”的生活場景，讓學生用兩種方法表示面積。借助幾何圖形的直觀性，把抽象的單項式乘多項式運算，轉化為可觀察、易理解的面積計算，降低法則理解難度，為后續從乘法分配律推導一般法則，提供直觀、具體的依托，讓學生先從幾何角度“看見”法則的存在。
追問1 你能根據乘法分配律得到這個等式嗎？
追問2 想一想如何計算單項式乘以多項式？
歸納 單項式與多項式的乘法法則
一般地，單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.
設計意圖：追問1引導學生用乘法分配律解釋p(a+b+c) =pa+pb+pc，把“單項式乘多項式”和已學的“乘法分配律”關聯，讓學生明白，單項式乘多項式的本質是乘法分配律的應用，實現“未知”到“已知”的轉化。追問2引導學生自主歸納“單項式乘多項式”的運算方法。把零散的感知，提煉成清晰、可操作的運算步驟，讓學生從“理解算理”過渡到“掌握算法”，學會規范運用法則解題。
（三）典例分析
例2 計算：
(1) ( 4x2)(3x+1) ； (2) (ab2 2ab)·ab ；
(3) (x 3y)(xy2)2 ； (4) x(y z) y(z x)+z(x y) .
解 (1)原式=( 4x2)(3x)+( 4x2)·1=( 4×3)(x2·x)+( 4x2)= 12x3 4x2 ；
(2)原式=ab2·ab+( 2ab)·ab=a2b3 a2b2 ；
(3)原式=(x 3y)·x2y4=x·x2y4+( 3y)·x2y4=x3y4 3x2y5 ；
(4)原式=xy+x( z)+( y)z+( y)( x)+zx+z( y)=xy xz yz+yx+zx zy=2xy 2yz.
設計意圖：例2的4道小題，覆蓋單項式乘多項式的不同場景：（1）單項式為負系數、多項式含兩項，強化符號與項數的處理；（2）單項式和多項式含分數系數，訓練系數的計算；（3）含冪的乘方，體現“先乘方，再乘法”的運算順序；（4）綜合考查整式混合運算。通過多樣題型，讓學生全面練習“單項式乘多項式”法則，鞏固“轉化為單項式乘單項式”的核心思路。
方法總結
(1)把單項式與多項式相乘的問題轉化為單項式與單項式相乘的問題；
(2)與數的混合運算一樣，整式的混合運算要注意運算順序：
先算乘方（冪的乘方，積的乘方），再算乘法（單×單，單×多），最后加減（合并同類項）.
設計意圖：通過方法總結提煉思想方法、梳理運算體系，讓學生從“會做題”到“懂方法、明體系”，為后續整式運算（多項式乘多項式、整式混合運算等）筑牢基礎。
（四）鞏固練習
1. 下面的計算是否正確 如果不正確，應當怎樣改正
(1)( 2x)(x2 x)= 2x3 2x2 ； (2)a(b c)+b(c a)+c(a b)=0.
不正確，原式= 2x3+2x2 . 正確.
2. 計算：
(1)3a(5a 2b) ； (2) 2xy(2xy2 3xy) ； (3)(x 3y)( 6x) ； (4)( 2ab)2(2a b+1).
解 （1）原式=(3a·5a)+[3a·( 2b)]=15a2 6ab.
（2）原式=[( 2xy)·2xy2)+[( 2xy)·( 3xy)]= 4x2y3+6x2y2.
（3）原式=[x·( 6x)]+[( 3y)·( 6x)]= 6x2+18xy.
（4）原式=4a2b2(2a b+1)= 4a2b2(2a)+4a2b2( b)+4a2b2·1= 8a3b2 4a2b3+4a2b2.
3. 化簡 x(x 1)+2x(x+1) 3x(2x 5) .
解 原式=x2 x+2x2+2x 6x2+15x= 3x2+16x.
4. 求值 x2(x 1) x(x2+x 1)，其中x=.
解 原式=x3 x2 x3 x2+x
= 2x2+x.
當x=時，原式= 2×()2 + =0.
設計意圖：學完新知識后及時進行課堂鞏固練習，不僅可以強化學生對新知的記憶，加深學生對新知的理解，還可以及時反饋學習情況，幫助學生查漏補缺，幫助教師及時調整教學策略。
歸納總結
（六）感受中考
1．（2024·遼寧）下列計算正確的是（ D ）
A． B．
C． D．
2．（2022·山東臨沂）計算的結果是（ B ）
A．1 B．
C． D．
3．（2025·浙江）化簡求值：，其中．
解
，
當時，原式．
設計意圖：在學習完新知識后加入中考真題練習，不僅可以幫助學生明確考試方向，熟悉考試題型，檢驗學習成果，提升應考能力，還可以提升學生的學習興趣和動力。
（七）小結梳理
設計意圖：用思維導圖幫助學生梳理冪的運算性質與整式乘法的聯系，讓學生直觀感知冪的運算性質的基礎作用。同時體現“單項式×單項式”與“單項式×多項式”的聯系，并在此基礎上展望后繼知識的學習，構建清晰、完整的知識網絡，強化對整式乘法相關知識的整體認知。
（八）布置作業
1.必做題：習題16.2 第2題，第7(1)題.
2.實踐性作業：每個小組準備單項式、多項式卡片各3張.(均為關于a，b的整式)
1. 組內自由組合出題：每位組員隨機抽取單項式、多項式卡片各1張，組成一道“單項式乘以多項式”的計算題，然后完成計算.
2. 交換題目與組員互批：檢查組員計算過程和結果是否正確，若發現錯誤，需標注錯誤位置并寫出正確解法.
五、教學反思
21世紀教育網(www.21cnjy.com)(共27張PPT)
16.2 整式的乘法
第2課時 單項式乘多項式
第十六章 整式的乘法
人教版(新教材)數學八年級上冊
目錄
CONTENT
情景引入
1
合作探究
2
典例分析
3
鞏固練習
4
歸納總結
5
感受中考
6
小結梳理
7
布置作業
8
學習目標
理解單項式與多項式相乘的法則，能運用單項式與多項式相乘的法則進行計算.
一
理解算理，發展學生的運算能力和“幾何直觀”觀念，體會轉化、數形結合和程序化思想.
二
復習引入
問題1 你能說一說單項式與單項式的乘法法則嗎？
答 一般地，單項式與單項式相乘，把它們的系數、同底數冪分別相乘作為積的因式，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式.
復習引入
問題2 計算單項式乘以單項式時，需要注意：
1.按“先算 ，再算 ”的順序運算；
2.不要漏掉 ；
3.此法則對于 仍然成立．
乘方
乘法
只在一個單項式里含有的字母因式
多個單項式相乘
合作探究
問題3　為了擴大綠地面積，要把街心花園的一塊長為p m，寬為b m的長方形綠地，向兩邊分別加寬a m和c m，你能用幾種方法表示擴大后的綠地面積？不同的表示方法之間有什么關系？
方法1 先求擴大后的綠地的邊長，再求面積，
即p(a+b+c). ①
合作探究
問題3　為了擴大綠地面積，要把街心花園的一塊長為p m，寬為b m的長方形綠地，向兩邊分別加寬a m和c m，你能用幾種方法表示擴大后的綠地面積？不同的表示方法之間有什么關系？
方法2 先分別求原來綠地和新增綠地的面積，
再求它們的和，即pa+pb+pc. ②
合作探究
問題3　為了擴大綠地面積，要把街心花園的一塊長為p m，寬為b m的長方形綠地，向兩邊分別加寬a m和c m，你能用幾種方法表示擴大后的綠地面積？不同的表示方法之間有什么關系？
由于①②表示同一個數量，所以
p(a+b+c) = pa + pb + pc.
乘法分配律
想一想如何計算單項式乘以多項式？
合作探究
單項式與多項式的乘法法則
一般地，單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.
典例分析
例2 計算：
(1) ( 4x2)(3x+1) ； (2) (ab2 2ab)·ab ；
(3) (x 3y)(xy2)2 ； (4) x(y z) y(z x)+z(x y) .
解 (1)原式=( 4x2)(3x)+( 4x2)·1
=( 4×3)(x2·x)+( 4x2)
= 12x3 4x2 ；
單項式乘以單項式
(2)原式=ab2·ab+( 2ab)·ab
=a2b3 a2b2 ；
典例分析
單項式乘以單項式
例2 計算：
(1) ( 4x2)(3x+1) ； (2) (ab2 2ab)·ab ；
(3) (x 3y)(xy2)2 ； (4) x(y z) y(z x)+z(x y) .
(3)原式=(x 3y)·x2y4
=x·x2y4+( 3y)·x2y4
=x3y4 3x2y5 ；
典例分析
單項式乘以單項式
多項式乘以單項式
例2 計算：
(1) ( 4x2)(3x+1) ； (2) (ab2 2ab)·ab ；
(3) (x 3y)(xy2)2 ； (4) x(y z) y(z x)+z(x y) .
(4)原式=xy+x( z)+( y)z+( y)( x)+zx+z( y)
=xy xz yz+yx+zx zy
=2xy 2yz.
典例分析
單項式乘以單項式
合并同類項
例2 計算：
(1) ( 4x2)(3x+1) ； (2) (ab2 2ab)·ab ；
(3) (x 3y)(xy2)2 ； (4) x(y z) y(z x)+z(x y) .
典例分析
方法總結
(1)把單項式與多項式相乘的問題轉化為單項式與單項式相乘的問題．
(2)與數的混合運算一樣，整式的混合運算要注意運算順序：
先算乘方， 再算乘法， 最后加減.
冪的乘方
積的乘方
單×單
單×多
合并同類項
鞏固練習
1. 下面的計算是否正確 如果不正確，應當怎樣改正
(1) ( 2x)(x2 x)= 2x3 2x2 ；
(2) a(b c)+b(c a)+c(a b)=0.
不正確
正確
+2x2
2. 計算：
(1) 3a(5a 2b) ； (2) 2xy(2xy2 3xy) ；
(3) (x 3y)( 6x) ； (4) ( 2ab)2(2a b+1).
鞏固練習
解 （1）原式=(3a·5a)+[3a·( 2b)]=15a2 6ab.
（2）原式=[( 2xy)·2xy2)+[( 2xy)·( 3xy)]= 4x2y3+6x2y2.
（3）原式=[x·( 6x)]+[( 3y)·( 6x)]= 6x2+18xy.
鞏固練習
解 （4）原式=4a2b2(2a b+1)
= 4a2b2(2a)+4a2b2( b)+4a2b2·1
= 8a3b2 4a2b3+4a2b2.
2. 計算：
(1) 3a(5a 2b) ； (2) 2xy(2xy2 3xy) ；
(3) (x 3y)( 6x) ； (4) ( 2ab)2(2a b+1).
3. 化簡 x(x 1)+2x(x+1)-3x(2x 5) .
鞏固練習
解 原式=x2 x+2x2+2x 6x2+15x
=-3x2+16x.
4. 求值 x2(x 1) x(x2+x 1)，其中x=.
鞏固練習
解 原式=x3 x2 x3 x2+x
= 2x2+x.
當x=時，原式= 2×()2 + =0.
歸納總結
整式的乘法——單項式乘以多項式 法則 一般地，單項式與多項式相乘，就是用 。
去乘 ，再把 相加.
聯系 單項式與單項式相乘 單項式與多項式相乘
運算順序 先算 ，再算 ，最后 .
單項式
多項式的每一項
所得的積
轉化
乘方
乘法
加減
感受中考
1.（2024·遼寧）下列計算正確的是（ ）
A. a2+a3=2a5 B. a2·a3=a6
C.(a2)3=a5 D. a(a+1)= a2+ a
D
感受中考
2.（2022·山東臨沂）計算a(a+1)-a的結果是（ ）
A.1 B. a2
C.a2+2a D.a2 a+1
B
感受中考
3.（2025·浙江）化簡求值：x(5 x)+x2+3，其中x=2．
解 x(5 x)+x2+3
=5x x2+x2+3
=5x+3，
當x=2時，原式=5×2+3=13.
小結梳理
冪的運算性質
am · an =am+n
(am)n =amn
(ab)n =anbn
整式的乘法
單項式×單項式
單項式×多項式
？
轉化
布置作業
必做題：習題16.2 第2題，第7(1)題.
1
實踐性作業：
每個小組準備單項式、多項式卡片各3張.(均為關于a，b的整式)
1. 組內自由組合出題：每位組員隨機抽取單項式、多項式卡片各1張，組成一道“單項式乘以多項式”的計算題，然后完成計算.
2. 交換題目與組員互批：檢查組員計算過程和結果是否正確，若發現錯誤，需標注錯誤位置并寫出正確解法.
2
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