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16.2 整式的乘法（第4課時 整式除法）
教學設(shè)計
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
1. 內(nèi)容
整式的除法是整式四則運算的重要組成部分，是整式加法、減法、乘法的拓展和延伸。因此，只有在熟練運用轉(zhuǎn)化方法的前提下，才能夠取得較好效果。本節(jié)課的同底數(shù)冪的除法是單項式除法的核心。多項式除以單項式的知識引入是建立在學生已學習的單項式除以單項式的知識基礎(chǔ)之上的，根據(jù)除法與乘法互為逆運算的關(guān)系和同底數(shù)冪的除法法則，推導出多項式除以單項式的法則.
2. 內(nèi)容分析
本節(jié)課聚焦整式的除法，涵蓋同底數(shù)冪的除法、單項式除以單項式、多項式除以單項式等內(nèi)容。從知識體系來看，整式除法是整式四則運算的關(guān)鍵延伸，既是對整式加、減、乘法的深化，也為后續(xù)分式運算、代數(shù)式化簡等知識奠定基礎(chǔ)。其中，同底數(shù)冪的除法是整式除法的核心基礎(chǔ)，單項式除以單項式需依托同底數(shù)冪的除法法則推導，而多項式除以單項式則需要轉(zhuǎn)化為單項式除以單項式來解決，三者層層遞進，均體現(xiàn)“轉(zhuǎn)化”思想，凸顯了數(shù)學知識由簡到繁、以舊引新的邏輯關(guān)聯(lián)。
基于以上分析，確定本節(jié)課的教學重點為：探究同底數(shù)冪除法的性質(zhì)和單項式除以單項式，多項式除以單項式的法則。
二、目標和目標解析
1. 目標
（1）理解同底數(shù)冪除法的性質(zhì)和單項式除以單項式，多項式除以單項式的法則，并會應(yīng)用法則計算。
（2）體會知識間邏輯關(guān)系、類比探究在研究除法問題時的價值；體會轉(zhuǎn)化思想在整式除法中的作用。
2. 目標解析
（1）要求學生不僅能理解同底數(shù)冪除法的性質(zhì)和單項式除以單項式的法則，更要能將法則應(yīng)用于具體計算，強調(diào)從“理解”到“運用”的轉(zhuǎn)化，確保學生掌握整式除法的基本運算技能，為后續(xù)復雜運算提供保障。
（2）引導學生通過類比（如同底數(shù)冪乘法與除法的類比、單項式乘法與除法的類比）探究知識間的邏輯關(guān)系，體會除法問題中“逆推”與“轉(zhuǎn)化”的價值，從而深化對數(shù)學思想方法的理解，提升邏輯推理與知識遷移能力。
三、教學問題診斷分析
1. 法則混淆，誤將指數(shù)相減記為相加
學生常把“同底數(shù)冪相除，指數(shù)相減”錯記成“指數(shù)相加”。對策：通過乘除互逆關(guān)系推導法則，結(jié)合實例對比，讓學生直觀理解“指數(shù)相減”的由來；同時設(shè)計對比練習，強化兩者的區(qū)別。
2. 單項式除以單項式：漏寫被除式中獨有的字母
當被除式含除式?jīng)]有的字母時，容易遺漏該字母。對策：明確“被除式中獨有的字母及其指數(shù)需完整保留”的規(guī)則，訓練時要求圈出被除式中獨有的字母，強制提醒保留。
基于以上分析，確定本節(jié)課的教學難點為：會用單項式除以單項式，多項式除以單項式的法則進行運算。
四、教學過程設(shè)計
（一）復習引入
在整式的運算中，有時還會遇到兩個整式相除的情況．像利用數(shù)的乘法研究數(shù)的除法那樣，可以利用整式的乘法來研究整式的除法． 首先來看同底數(shù)冪相除的情況．
設(shè)計意圖：通過思維導圖喚醒學生對舊知的記憶，明確整式除法與整式乘法的互逆關(guān)系，凸顯冪的運算性質(zhì)的基礎(chǔ)作用，為后續(xù)知識的學習作鋪墊。
（二）合作探究
問題1　填空：
（1）∵(22)×23=25， ∴25÷23=(22)；
（2）∵(104)×103=107，∴107÷103=(104)；
（3）∵(a4)×a3=a7， ∴a7÷a3=(a4)；
（4）∵(am n)×an=am， ∴am÷an=(am n). (a≠0，m，n都是正整數(shù)，m＞n.)
追問1 你能用文字語言描述這個規(guī)律嗎？
答 同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.
歸納 同底數(shù)冪的除法的運算性質(zhì)
一般地，我們有：am÷an = am-n (a≠0，m，n都是正整數(shù)，m＞n).
追問2 為什么a≠0？
答 整式的除法中，除式不能為0.(類比數(shù)的除法)
思考 am÷am=？ (a≠0，m是正整數(shù).)
分析 根據(jù)除法的意義可知所得的商為1．
按照同底數(shù)冪的除法來計算， 有am÷am=am m=a0．
規(guī)定 同底數(shù)冪的除法的特殊情況
a0=1.(a≠0)
文字語言 任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1.
設(shè)計意圖：先通過具體數(shù)字、字母的冪運算，讓學生觀察規(guī)律，歸納出同底數(shù)冪除法的運算法則，自然引出零指數(shù)冪的規(guī)定，逐步構(gòu)建冪運算的完整體系。
問題2　填空：
∵( 4a2x3 )×(3ab2)=12a3b2x3，
∴(12a3b2x3)÷(3ab2)=( 4a2x3 ).
追問 想一想如何計算單項式除以單項式？
歸納 單項式除以單項式的法則
一般地，單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式．
設(shè)計意圖：延續(xù)“乘除互逆”思路，以具體單項式乘法為依托，逆向推導除法結(jié)果，引導學生分解“系數(shù)、同底數(shù)冪、單獨字母”三部分運算，歸納出單項式除法的分步計算法則 。
問題3　填空：
∵(a+b)m=am+bm，
∴(am+bm)÷m=(a+b).
追問 想一想如何計算單項式除以單項式？
歸納 多項式除以單項式的法則
一般地，多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加．
設(shè)計意圖：同樣利用“乘除互逆”，讓學生直觀感知“多項式除以單項式需拆分為各項除以單項式再相加”，歸納出多項式除以單項式的運算法則 ，實現(xiàn)從單項式運算到多項式運算的拓展，完善整式除法的知識框架。
（三）典例分析
例4 計算：
(1) x8÷x2 ； (2) (ab)5÷(ab)2 .
解 (1)原式=x8 2=x6 .
(2)原式=(ab)5 2=(ab)3=a3b3.
例5 計算：
(1) (28x4y2)÷(7x3y) ； (2) ( 5a5b3c)÷(15a4b) ； (3) (12a3 6a2+3a)÷(3a) .
解 (1)原式=(28÷7)x4 3y2 1
=4xy.
(2)原式=[( 5)÷15]a5 4b3 1c
=ab2c.
(3)原式=(12a3)÷(3a) (6a2)÷(3a)+(3a)÷(3a)
=4a2 2a+1.
設(shè)計意圖：通過具體例題，讓學生熟悉運算步驟，理解運算法則，為后續(xù)整式的混合運算筑牢基礎(chǔ)。
（四）鞏固練習
1. 計算：
(1) x7÷x5 ； (2) m8÷m8 ；
(3) ( a)10÷( a)7 ； (4) (xy)5÷(xy)3 .
解 （1）原式=x7 5 =x2.
（2）原式=1.
（3）原式=( a)10 7=( a)3= a3.
（4）原式=(xy)5 3=(xy)2=x2y2.
2. 計算：
(1) (10ab3)÷( 5ab) ； (2) ( 8a2b3)÷(6ab2) ；
(3) ( 21x2y4)÷( 3x2y3) ； (4) (6×108)÷(3×105).
解 （1）原式=[10÷( 5)]a1 1b3 1 = 2b2 .
（2）原式=[( 8)÷6]a2 1b3 2 = ab.
（3）原式=[( 21)÷( 3)]x2 2y4 3 =7y.
（4）原式=(6÷3)×108 5=2×103.
3. 計算：
(1) (6ab+5a)÷a ；(2) (15x2y 10xy2)÷(5xy) .
解 （1）原式=(6ab)÷a+(5a)÷a
=6b+5 .
（2）原式=(15x2y)÷(5xy) (10xy2)÷(5xy)
=3x 2y.
設(shè)計意圖：學完新知識后及時進行課堂鞏固練習，不僅可以強化學生對新知的記憶，加深學生對新知的理解，還可以及時反饋學習情況，幫助學生查漏補缺，幫助教師及時調(diào)整教學策略。
歸納總結(jié)
（六）感受中考
1．（2025·山東青島）下列計算正確的是（ D ）
A． B． C． D．
2．（2025·湖北）下列運算的結(jié)果為的是（ C ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川樂山）若m、n滿足，則 16 ．
4．（2022·江蘇揚州）掌握地震知識，提升防震意識．根據(jù)里氏震級的定義，地震所釋放出的能量與震級的關(guān)系為（其中為大于0的常數(shù)），那么震級為8級的地震所釋放的能量是震級為6級的地震所釋放能量的 1000 倍．
設(shè)計意圖：在學習完新知識后加入中考真題練習，不僅可以幫助學生明確考試方向，熟悉考試題型，檢驗學習成果，提升應(yīng)考能力，還可以提升學生的學習興趣和動力。
（七）小結(jié)梳理
設(shè)計意圖：用思維導圖幫助學生梳理冪的運算性質(zhì)與整式乘除法的聯(lián)系，讓學生直觀感知冪的運算性質(zhì)的基礎(chǔ)作用。同時體現(xiàn)整式的乘除法之間的互逆關(guān)系，構(gòu)建清晰、完整的知識網(wǎng)絡(luò)，強化對整式乘除法相關(guān)知識的整體認知。
（八）布置作業(yè)
1.必做題：習題16.2 第4，5(1)(4)，6題.
2.探究性作業(yè)：習題16.2 第8，10題.
五、教學反思
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)(共27張PPT)
16.2 整式的乘法
第4課時 整式除法
第十六章 整式的乘法
人教版(新教材)數(shù)學八年級上冊
目錄
CONTENT
情景引入
1
合作探究
2
典例分析
3
鞏固練習
4
歸納總結(jié)
5
感受中考
6
小結(jié)梳理
7
布置作業(yè)
8
學習目標
理解同底數(shù)冪除法的性質(zhì)和單項式除以單項式，多項式除以單項式的法則，并會應(yīng)用法則計算.
一
體會知識間邏輯關(guān)系、類比探究在研究除法問題時的價值；體會轉(zhuǎn)化思想在整式除法中的作用.
二
復習引入
冪的運算性質(zhì)
am · an =am+n
(am)n =amn
(ab)n =anbn
整式的除法
互逆運算
整式的乘法
單項式×單項式
單項式×多項式
多項式×多項式
基
礎(chǔ)
am ÷ an =？
基
礎(chǔ)
互逆運算
合作探究
問題1　填空：
（1）∵( )×23=25　 ， ∴25÷23=( )；
（2）∵( )×103=107 ， ∴107÷103=( )；
（3）∵( )×a3=a7　 ， ∴a7÷a3=( )；
（4）∵( )×an=am ， ∴am÷an=( ).
(a≠0，m，n都是正整數(shù)，m＞n.)
22
22
104
104
a4
a4
am n
am n
追問1 你能用文字語言描述這個規(guī)律嗎？
答 同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.
合作探究
am ÷ an = am n (a≠0，m，n都是正整數(shù)，m＞n).
文字語言：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.
同底數(shù)冪的除法的運算性質(zhì)
一般地，我們有：
追問2 為什么a≠0？
答 整式的除法中，除式不能為0.(類比數(shù)的除法)
合作探究
思考 am÷am=？ (a≠0，m是正整數(shù).)
分析 根據(jù)除法的意義可知所得的商為1．
按照同底數(shù)冪的除法來計算， 有am÷am=am-m=a0．
a0=1.(a≠0)
文字語言：任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1.
同底數(shù)冪的除法的特殊情況
規(guī)定：
解 (1)原式=x8 2=x6 .
(2)原式=(ab)5 2=(ab) =a b3.
典例分析
例4 計算：
(1) x8÷x2 ; (2) (ab)5÷(ab)2 .
整體思想
單項式÷單項式
單項式÷多項式
多項式÷多項式
合作探究
冪的運算性質(zhì)
am · an =am+n
(am)n =amn
(ab)n =anbn
整式的乘法
整式的除法
am ÷ an =am n
互逆運算
多項式÷單項式
基
礎(chǔ)
基
礎(chǔ)
單項式×單項式
單項式×多項式
多項式×多項式
互逆運算
轉(zhuǎn)化
合作探究
問題2　填空：
∵( )×(3ab2)=12a3b2x3，
∴(12a3b2x3)÷(3ab2)=( ).
4a2x3
4a2x3
(12 a3 b2 x3)÷(3 a b2)=4 a2 x3.
系數(shù)：12÷3=4.
同底數(shù)冪：a3÷a=a2，b2÷b2=b0=1.
只在被除式里含有的字母：x3.
想一想如何計算單項式除以單項式？
合作探究
單項式除以單項式的法則
一般地，單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式．
典例分析
例5 計算：
(1) (28x4y2)÷(7x3y) ； (2) ( 5a5b3c)÷(15a4b) ；
解 (1)原式=(28÷7)x4 3y2 1
=4xy.
(2)原式=[( 5)÷15]a5 4b3 1c
= ab2c.
合作探究
問題3　填空：
∵( )m=am+bm，
∴(am+bm)÷m=( ).
a+b
( am + bm )÷ m
= a + b .
想一想如何計算多項式除以單項式？
a+b
多項式除以單項式
單項式除以單項式
bm÷m
am÷m
= +
合作探究
多項式除以單項式的法則
一般地，多項式除以單項式，先把這個多項式
的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加．
典例分析
例5 計算：
(3) (12a3 6a2+3a)÷(3a)
(3)原式=(12a3)÷(3a) (6a2)÷(3a)+(3a)÷(3a)
=4a2 2a+1.
鞏固練習
1. 計算：
(1) x7÷x5 ； (2) m8÷m8 ；
(3) ( a)10÷( a)7 ； (4) (xy)5÷(xy)3 .
解 （1）原式=x7 5 =x2.
（2）原式=1.
（3）原式=( a)10 7=( a)3= a3.
（4）原式=(xy)5 3=(xy)2=x2y2.
2. 計算：
(1) (10ab3)÷( 5ab) ； (2) ( 8a2b3)÷(6ab2) ；
(3) ( 21x2y4)÷( 3x2y3) ； (4) (6×108)÷(3×105).
鞏固練習
解 （1）原式=[10÷( 5)]a1 1b3 1 = 2b2 .
（2）原式=[( 8)÷6]a2 1b3 2 =ab.
（3）原式=[( 21)÷( 3)]x2 2y4 3 =7y.
（4）原式=(6÷3)×108 5=2×103.
3. 計算：
(1) (6ab+5a)÷a ；(2) (15x2y 10xy2)÷(5xy) .
鞏固練習
解 （1）原式=(6ab)÷a+(5a)÷a
=6b+5 .
（2）原式=(15x2y)÷(5xy) (10xy2)÷(5xy)
=3x 2y.
歸納總結(jié)
整式的除法 同底數(shù)冪的除法 同底數(shù)冪相除，底數(shù) ，指數(shù) .
單項式除以單項式 一般地，單項式相除，把 與 分別相除作為商的因式，對于 ，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式．
多項式除以單項式 一般地，多項式除以單項式，先把 除以 ，再把 相加．
不變
相減
系數(shù)
同底數(shù)冪
只在被除式里含有的字母
這個多項式的每一項
這個單項式
所得的商
感受中考
1.(2025·山東青島)下列計算正確的是( )
A. x2+x3=x5 B. x2·x3=x6
C. (2xy)2=2x2x2 D. x8÷x4=x4
D
感受中考
2.(2025·湖北)下列運算的結(jié)果為m6的是( )
A. m3+m3 B. m2·m3
C. (m2)3 D. m4÷m2
C
感受中考
3.(2023·四川樂山)若m、n滿足3m n-4=0，則8m÷2n= .
16
感受中考
4.(2022·江蘇揚州)掌握地震知識，提升防震意識，根據(jù)里氏震級的定義，地震所釋放出的能量E與震級n的關(guān)系為E=k×101.5n(其中k為大于0的常數(shù))，那么震級為8級的地震所釋放的能量是震級為6級的地震所釋放能量的 倍.
1000
小結(jié)梳理
單項式÷單項式
單項式÷多項式
多項式÷多項式
冪的運算性質(zhì)
am · an =am+n
(am)n =amn
(ab)n =anbn
整式的乘法
整式的除法
am ÷ an =am-n
互逆運算
多項式÷單項式
基
礎(chǔ)
基
礎(chǔ)
單項式×單項式
單項式×多項式
多項式×多項式
互逆運算
轉(zhuǎn)化
布置作業(yè)
必做題：習題16.2 第4，5(1)(4)，6題.
1
探究性作業(yè)：習題16.2 第8，10題.
2
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