資源簡介

/ 讓教學更有效 高效備課 | 數學學科
16.3.2 完全平方公式（第2課時 添括號）
教學設計
一、內容和內容解析
1. 內容
本節課是在學生已經掌握平方差公式、完全平方公式以及去括號法則的前提下展開的。添括號法則可以看作是去括號法則的逆運用，是對整式變形能力的進一步延伸，為處理更復雜的多項式乘法提供了工具。
2. 內容分析
添括號法則不僅是整式乘法運算的重要補充，也為后續學習因式分解、分式化簡、二次根式運算等內容奠定基礎，是初中階段“式的運算”中體現整體思想的關鍵環節。添括號法則作為去括號法則的逆運算，其價值在于為復雜多項式乘法提供轉化工具——將不符合公式特征的多項式通過添括號轉化為可直接應用乘法公式的形式，從而簡化運算。這一法則不僅完善了整式變形的知識體系，更對提升學生靈活運用公式解決問題的能力起到關鍵作用，是連接基礎公式與復雜運算的橋梁，在培養學生運算能力和數學思維方面具有重要作用。
基于以上分析，確定本節課的教學重點為：理解添括號法則，能運用添括號法則將多項式變形。
二、目標和目標解析
1. 目標
（1）理解添括號法則，能運用添括號法則將多項式變形，進而結合平方差公式、完全平方公式解決較復雜的整式乘法問題。
（2）在運用添括號法則簡化計算的過程中，體會“整體思想”和“轉化思想”在數學中的應用，提升觀察、分析多項式結構的能力，發展運算能力和邏輯推理素養。
2. 目標解析
（1）要求學生在明確法則核心的基礎上，能根據多項式結構和乘法公式的需求，主動對多項式進行添括號變形，并結合平方差公式、完全平方公式解決某些復雜運算，實現從“不能用公式”到“能用公式”的轉化。
（2）學生在運用添括號法則時，需將括號內的多項式視為一個整體，感悟整體思想；同時，通過添括號將復雜問題轉化為已學的公式應用問題，理解轉化思想的價值。在這一過程中，學生需精準分析多項式的項與符號特征，判斷如何添括號才能契合公式結構，從而逐步提升觀察分析能力，在規范變形與運算中強化邏輯推理，發展運算素養。
三、教學問題診斷分析
學生可能出現的問題：一是添括號時符號處理錯誤，尤其是括號前為“ ”時，容易漏改括號內部分項的符號；二是難以根據公式需求確定添括號的位置，對“將哪幾項括起來作為整體”缺乏判斷。
應對策略：教學中可通過對比去括號與添括號的互逆過程，用“倒推”方式強化符號規則，并設計符號專項練習；針對整體感知薄弱的問題，結合具體例題，引導學生標注“整體項”，幫助學生建立結構化思維，減少變形失誤。
基于以上分析，確定本節課的教學難點為：能運用添括號法則和乘法公式解決較復雜的整式乘法問題。
四、教學過程設計
（一）復習引入
問題1 在研究特殊的多項式相乘時，我們學習了哪兩個乘法公式？你能用符號語言描述這兩個公式嗎？
答 平方差公式：(a+b)(a b)=a2 b2.
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.
問題2 運用乘法公式計算：(x+2y 3)(x 2y+3).
有些整式相乘需要先作適當變形，然后再用公式.
追問 如何將三項式相乘轉化為二項式相乘？
答 運用整體思想，將其中兩項看成一個整體.
此時要在式子中添括號，如何添括號呢？
設計意圖：通過問題1，引導學生回顧平方差公式和完全平方公式，喚醒學生對已學乘法公式的記憶，鞏固基礎知識；問題2呈現需要變形后運用公式計算的整式乘法，制造認知沖突，引出添括號法則的學習需求。借助追問，啟發學生運用整體思想，思考將三項式相乘轉化為二項式相乘的方法，為后續探究添括號法則、解決復雜整式乘法問題做鋪墊。
（二）合作探究
問題3 你還記得去括號法則嗎？
答 去括號就是用括號外的數乘括號內的每一項，再把所得的積相加.
追問 利用去括號法則填空：
a+(b+c)= a+b+c ；a (b+c)= a b c .
反過來，就得到
a+b+c =a+(b+c)； a b c =a (b+c).
歸納 添括號法則
添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號.
設計意圖：先通過問題3回顧去括號法則，激活學生已有的知識儲備。接著讓學生在運用去括號法則填空的過程中，自然地反向推導，自主探究出添括號法則。這樣的設計，既借助舊知（去括號法則）搭建新知（添括號法則）的學習橋梁，降低了學習難度，又通過“反向思考”的方式，培養了學生的逆向思維和歸納概括能力。
（三）典例分析
例5 添括號：
(1) x2+2x 1= ( x2 2x+1 ).
(2) a2+4b2 4b+1=a2+( 4b2 4b+1 ).
(3) 2(a+b)2 a b=2(a+b)2 ( a+b ).
例6 運用乘法公式計算：
(1) (x+2y–3)(x–2y+3) ； (2) (a+b+c)2.
解 (1)原式=[x+(2y–3)][x–(2y–3)]
= x2–(2y–3)2
= x2–(4y2–12y+9)
= x2–4y2+12y–9.
追問 為什么要把后兩項看成一個整體？
(2)原式= [(a+b)+c]2
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
追問 還有其他的添括號方法嗎？
(2)原式= [a+(b+c)]2
= a2+2a(b+c)+(b+c)2
=a2+2ab+2ac+b2+2bc+c2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
方法總結
(1)選用平方差公式進行計算時，需要將相同項看成一個整體，相反項看成一個整體.
(2)選用完全平方公式進行計算時，需要將多項式分為兩組.
設計意圖：例5通過不同形式的添括號練習，讓學生強化對添括號法則的理解與應用，熟練掌握添括號的操作技巧，突破添括號變形的難點。例6聚焦乘法公式與添括號法則的結合，展示 “添括號湊公式結構” 的解題思路。借助追問，引導學生理解 “將多項式合理分組，轉化為乘法公式適用形式” 的必要性，掌握利用整體思想，結合添括號法則，靈活運用平方差、完全平方公式解決復雜整式乘法問題的方法。
（四）鞏固練習
1. 在等號右邊的括號內填上適當的項.
(1) a+b c=a+( b c ) ； (2) a b+c=a ( b c ) ；
(3) a+b c=a ( b+c ) ； (4) a+b+c=a ( b c ) .
2. 下列去括號與添括號變形中，正確的是（ C ）.
A. 2a (3b c)=2a 3b c B. 3a+2(2b 1)=3a+4b 1
C. a+2b 3c=a+(2b 3c) D. m n+a b=m (n+a b)
3. 運用乘法公式計算：
(1) (x+y 1)(x y 1) ； (2) (2x+y+z)(2x y z) .
解 (1)原式=[(x–1)+y][(x–1)–y]
= (x–1)2–y2
= (x2–2x+1)–y2
= x2–2x+1–y2.
(2)原式=[2x+(y+z)][2x–(y+z)]
= (2x)2–(y+z)2
= 4x2–(y2+2yz+z2)
= 4x2–y2–2yz–z2.
4. 運用乘法公式計算：
(1) (a+2b–1)2 ； (2) (2x–y+1)2 .
解 (1)原式= [(a+2b)–1]2
= (a+2b)2–2(a+2b)+12
=a2+4ab+4b2–2a–4b+1.
(2)原式= [(2x–y)+1]2
= (2x–y)2+2(2x–y)+12
=4x2–4xy+y2+4x–2y+1.
設計意圖：學完新知識后及時進行課堂鞏固練習，不僅可以強化學生對新知的記憶，加深學生對新知的理解，還可以及時反饋學習情況，幫助學生查漏補缺，幫助教師及時調整教學策略。
歸納總結
（六）感受中考
1．（2025·吉林長春）已知，則代數式的值為 3 ．
解：∵，
∴，
2．（2024·江蘇蘇州）若，則 4 ．
解：∵，
∴，
3．（2023·遼寧沈陽）當時，代數式的值為 2 ．
解：
當時，原式.
設計意圖：在學習完新知識后加入中考真題練習，不僅可以幫助學生明確考試方向，熟悉考試題型，檢驗學習成果，提升應考能力，還可以提升學生的學習興趣和動力。
（七）小結梳理
設計意圖：通過思維導圖清晰展示添括號法則在多項式乘法運算中的 “橋梁” 作用，讓學生理解知識間的邏輯關聯，明白復雜多項式乘法可利用整體思想，通過添括號，轉化為適用于乘法公式的形式，從而簡化運算。
（八）布置作業
1.必做題：習題16.3 第3題.
2.探究性作業：(小組合作)
（2023·重慶B卷）在多項式x y z m n（其中x>y>z>m>n)中，對相鄰的兩個字母間任意添加絕對值符號，添加絕對值符號后仍只有減法運算，然后進行去絕對值運算，稱此為“絕對操作”．
例如：x y |z m| n=x y z+m n，|x y| z |m n|=x y z m+n，...
下列說法正確的是 .(填序號)
①存在“絕對操作”，使其運算結果與原多項式相等；
②不存在“絕對操作”，使其運算結果與原多項式之和為0；
③所有的“絕對操作”共有7種不同運算結果．
五、教學反思
21世紀教育網(www.21cnjy.com)(共26張PPT)
16.3.2 完全平方公式
第2課時 添括號
第十六章 整式的乘法
人教版(新教材)數學八年級上冊
目錄
CONTENT
情景引入
1
合作探究
2
典例分析
3
鞏固練習
4
歸納總結
5
感受中考
6
小結梳理
7
布置作業
8
學習目標
理解添括號法則，能運用添括號法則將多項式變形，進而結合平方差公式、完全平方公式解決較復雜的整式乘法問題.
一
在運用添括號法則簡化計算的過程中，體會“整體思想”和“轉化思想”在數學中的應用，提升觀察、分析多項式結構的能力，發展運算能力和邏輯推理素養.
二
復習引入
問題1 在研究特殊的多項式相乘時，我們學習了哪兩個乘法公式？你能用符號語言描述這兩個公式嗎？
答 平方差公式：(a+b)(a b)=a2 b2.
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.
復習引入
問題2 運用乘法公式計算：(x+2y 3)(x 2y+3).
追問 如何將三項式相乘轉化為二項式相乘？
答 運用整體思想，將其中兩項看成一個整體.
有些整式相乘需要先作適當變形，然后再用公式.
此時要在式子中添括號，如何添括號呢？
a+(b+c)
a (b+c)
；
.
= ；
= .
合作探究
問題3 你還記得去括號法則嗎？
追問 利用去括號法則填空：
答 去括號就是用括號外的數乘括號內的每一項，再把所得的積相加.
a+b+c
a b c
= ；
= .
合作探究
反過來，就得到
a+b+c
a b c
a+(b+c)
a (b+c)
添 括 號 法則
添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里的各項都改變符號.
典例分析
例5 添括號：
(1) x2+2x 1= ( ).
(2) a2+4b2 4b+1=a2+( ).
(3) 2(a+b)2 a b=2(a+b)2 ( ).
x2 2x+1
4b2 4b+1
a+b
典例分析
例6 運用乘法公式計算：
(1) (x+2y–3)(x–2y+3) ；
解 (1)原式=[x+(2y–3)][x–(2y–3)]
= x2–(2y–3)2
= x2–(4y2–12y+9)
= x2–4y2+12y–9.
為什么要把后兩項看成一個整體？
相同項
相反項
平方差公式
完全平方公式
典例分析
例6 運用乘法公式計算：
(2) (a+b+c)2.
解 (2)原式= [(a+b)+c]2
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
還有其他的添括號方法嗎？
完全平方公式
完全平方公式
典例分析
例6 運用乘法公式計算：
(2) (a+b+c)2.
解 (2)原式= [a+(b+c)]2
= a2+2a(b+c)+(b+c)2
=a2+2ab+2ac+b2+2bc+c2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
典例分析
方法總結
(1)選用平方差公式進行計算時，需要將相同項看成一個整體，相反項看成一個整體.
(2)選用完全平方公式進行計算時，需要將多項式分為兩組.
鞏固練習
1. 在等號右邊的括號內填上適當的項.
(1) a+b c=a+( ) ； (2) a b+c=a ( ) ；
(3) a+b c=a ( ) ； (4) a+b+c=a ( ) .
b c
b c
b+c
b c
鞏固練習
2. 下列去括號與添括號變形中，正確的是（　　）.
A. 2a (3b c)=2a 3b c B. 3a+2(2b 1)=3a+4b 1
C. a+2b 3c=a+(2b 3c) D. m n+a b=m (n+a b)
C
3. 運用乘法公式計算：
(1) (x+y 1)(x y 1) ； (2) (2x+y+z)(2x y z) .
鞏固練習
解 (1)原式=[(x–1)+y][(x–1)–y]
= (x–1)2–y2
= (x2–2x+1)–y2
= x2–2x+1–y2.
3. 運用乘法公式計算：
(1) (x+y 1)(x y 1) ； (2) (2x+y+z)(2x y z) .
鞏固練習
解 (2)原式=[2x+(y+z)][2x–(y+z)]
= (2x)2–(y+z)2
= 4x2–(y2+2yz+z2)
= 4x2–y2–2yz–z2.
4. 運用乘法公式計算：
(1) (a+2b–1)2 ； (2) (2x–y+1)2 .
鞏固練習
解 (1)原式= [(a+2b)–1]2
= (a+2b)2–2(a+2b)+12
=a2+4ab+4b2–2a–4b+1.
4. 運用乘法公式計算：
(1) (a+2b–1)2 ； (2) (2x–y+1)2 .
鞏固練習
解 (2)原式= [(2x–y)+1]2
= (2x–y)2+2(2x–y)+12
=4x2–4xy+y2+4x–2y+1.
歸納總結
添括號法則 法則 添括號時，如果括號前面是 ，括到括號里的各項都 .
；如果括號前面是 ，括到括號里的各項都 .
運用乘法公式計算 (1)選用平方差公式進行計算時，需要將 看成一個整體，
看成一個整體.
(2)選用完全平方公式進行計算時，需要將多項式分為 .
正號
不變
相反項
相同項
符號
負號
改變符號
兩組
感受中考
1.(2025·吉林長春)已知x2+2x=4，則代數式7–x2–2x的值為 .
3
解 ∵x2+2x=4，
∴7–x2–2x =7–(x2+2x) =7–4 =3.
解 ∵a=b+2，
∴(b–a)2= [b–(b + 2)]2=(b–b–2)2=(–2)2=4.
感受中考
2.(2024·江蘇蘇州)若a=b+2，則(b–a)2= .
4
感受中考
2
解 原式=2a+4b–3a–5b+5= –a–b+5= –(a+b)+5.
當a+b=3時，原式= –3+5=2.
3.(2023·遼寧沈陽)當a+b=3時，代數式2(a+2b)–(3a+5b)+5的值為 .
小結梳理
多項式×多項式
(a+b+c)(a b c)
(a+b+c)2
添括號
整體思想
乘法公式
(a+b)(a b)=a2 b2
(a±b)2=a2±2ab+b2
多項式×多項式
[a+(b+c)][a (b+c)]
[a+(b+c)]2
布置作業
必做題：習題16.3 第3題.
1
探究性作業：(小組合作)
（2023·重慶B卷）在多項式x y z m n（其中x>y>z>m>n)中，對相鄰的兩個字母間任意添加絕對值符號，添加絕對值符號后仍只有減法運算，然后進行去絕對值運算，稱此為“絕對操作”．例如：x y |z m| n=x y z+m n，|x y| z |m n|=x y z m+n，...下列說法正確的是 .(填序號)
①存在“絕對操作”，使其運算結果與原多項式相等；
②不存在“絕對操作”，使其運算結果與原多項式之和為0；
③所有的“絕對操作”共有7種不同運算結果．
2
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