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人教新版 九上 數學
同步課件
2025年秋人教九上數學情境課堂教學課件
第二十二章 二次函數
22.1 二次函數的圖象和性質
21.1.2 二次函數y=ax 的圖象和性質
1. 會用描點法畫出形如 y=ax 的二次函數圖象，了解拋物線的有關概念.
2. 通過觀察圖象能說出二次函數 y=ax 的圖象特征和性質.
3. 在類比探究二次函數 y=ax 的圖象和性質的過程中，進一步體會研究函數圖象和性質的基本方法和數形結合的思想.
重點
難點
1. 八年級我們學習了一次函數的什么內容？順序是什么？
概念
圖象
性質
2. 還記得如何研究圖象和性質的嗎？
列表、描點、連線 函數圖象 圖象的性質；
思考 (1)二次函數的圖象是否仍是一條直線呢？若不是，那是什么呢？
(2)系數的符號(正負)與函數圖象、性質是否有關呢？
本節課我們將從最簡單的二次函數 y=x 開始，逐步深入地討論一般二次函數的圖象和性質.
做一做 畫出二次函數 y=x 的圖象.
1.列表：在 y = x2 中，自變量 x 可以是任意實數，
列表表示幾組對應值；
9
4
1
0
1
4
9
為了便于計算和圖象的準確性，我們取的x和y均為整數
x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
y = x2 ... ...
還記得如何用描點法畫一個函數的圖象嗎？
點擊查看：會變化的二次函數y=ax2的圖象
2.描點：根據表中x， y 的數值在坐標平面中描出點(x，y)；
3.連線：再用平滑的曲線順次連接各點，就得到 y=x 的圖象.
-3 -2 -1 1 2 3
9
8
7
6
5
4
3
2
1
問題1 觀察二次函數的圖象，它的形狀類似于什么？
投籃
擲鉛球
二次函數 y=x 的圖象是一條曲線，它的形狀類似于投籃時或擲鉛球時球在空中所經過的路線，只是這條曲線開口向上. 這條曲線叫做拋物線 y=x .
實際上，二次函數的圖象都是拋物線，它們的開口或者向上或者向下.
一般地，二次函數 y=ax +bx+c的圖象叫做拋物線 y=ax +bx+c.
-3 -2 -1 1 2 3
9
8
7
6
5
4
3
2
1
拋物線y = x2 與它的對稱軸的交點(0,0)叫做拋物線的頂點，它是拋物線y = x2的最低點.
x取值關于原點對稱時，y值相同——y軸是拋物線y = x2 的對稱軸.
當取更多個點時，二次函數 y=x 的圖象如下：
問題2 根據以往學習函數圖象特征的經驗，說說二次函數 y = x2 的圖象有哪些特征
1. y＝x2 的圖象是一條拋物線；
2. 圖象開口向上；
3. 圖象關于 y 軸對稱；
4. 頂點 (0，0)；
5. 圖象有最低點．
-3 -2 -1 1 2 3
9
8
7
6
5
4
3
2
1
問題3 觀察二次函數 y=x 的圖象，y 隨 x 如何變化？
從二次函數 y=x 的圖象可以看出：
在對稱軸的左側，拋物線從左到右下降→當 x＜0 時，y 隨 x 的增大而減小；
在對稱軸的右側，拋物線從左到右上升→當 x＞0 時，y 隨 x 的增大而增大.
-3 -2 -1 1 2 3
9
8
7
6
5
4
3
2
1
例1 在同一直角坐標系中，畫出函數 ，y=2x2的圖象.
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
x ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ...
... ...
1.列表：
4.5
8
x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ...
y=2x2 ... ...
8
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
8
2.描點：
3.連線：
-4 -2 2 4
8
6
4
2
問題4 函數 ，y=2x2的圖象與函數 y=x2 的圖象相比，有什么共同點和不同點？
-4 -2 2 4
8
6
4
2
共同點：開口向上，對稱軸是 y 軸，頂點是原點；
不同點：開口大小不同， x2的系數越大，拋物線的開口越小.
二次函數
a的符號
圖象
開口方向
頂點坐標
對稱軸
增減性
最值
問題5 當a＞0時，二次函數 y=ax2 的圖象有什么特點？
y=ax2(a≠0)
a＞0
向上
（0，0）
y軸
在對稱軸的左側（即x＜0），y隨x的增大而減小
在對稱軸的右側（即x＞0），y隨x的增大而增大
當x=0時，
a越大，拋物線的開口越小.
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ...
y = -x2 ... ...
1.列表：
做一做 畫出二次函數 y =- x2， ，y=-2x2 的圖象.
-8
-4.5
-2
-0.5
0
-0.5
-2
x ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ...
... ...
-4.5
-8
x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ...
y=-2x2 ... ...
-8
-4.5
-2
-0.5
0
-0.5
-2
-4.5
-8
2.描點：
3.連線：
y =- x2
問題6 函數 y=-x2， ，y=-2x2的圖象之間，有什么共同點和不同點？
共同點：開口向下，對稱軸是 y 軸，頂點是原點；
不同點：開口大小不同， x2的系數越小，拋物線的開口越小.
二次函數
a的符號
圖象
開口方向
頂點坐標
對稱軸
增減性
最值
y=ax2(a≠0)
a＜0
向下
（0，0）
y軸
在對稱軸的左側（即x＜0），y隨x的增大而增大
在對稱軸的右側（即x＞0），y隨x的增大而減小
問題7 當a＜0時，二次函數y=ax2的圖象有什么特點？
當x=0時，
a越小，拋物線的開口越小.
問題8 觀察右邊圖象，拋物線y =ax2與y =-ax2 （a＞0） 的圖象有什么特點？
二次項系數互為相反數時，開口方向相反，開口大小相同，它們關于x軸對稱.
|a|越大，拋物線的開口越小.
y =- x2
變式 二次函數y =ax2 與y =-2x2 的形狀相同，開口大小一樣，開口方向相反，則a=_____.
2
例2 夕夕用軟件繪制拋物線 y =4x2 時，將“4”按成了“5”，和原圖象相比，發生改變的是( )
A.開口方向 B.開口大小
C.對稱軸 D.頂點坐標
B
1.(2024廣東)若點(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函數y=x2的圖象上，則( )
A. y3>y2>y1
B. y2>y1>y3
C. y1>y3>y2
D. y3>y1>y2
A
解：根據題意，得k+2≠0且k2+k-4=2，
解得k1=-3，k2=2，
∵當x<0時，y隨x的增大而增大，
∴二次函數的圖象的開口向下，即k+2＜0，
∴k=-3.
2.已知函數 是二次函數，且當x＜0時，y隨x的增大而增大.
(1)求k的值；
(2)直接寫出頂點坐標和對稱軸.
(2)由(1)得y=-x2，
∴頂點坐標為(0，0)，對稱軸為y軸.
3. 已知二次函數 y = x2，若 x≥m 時，y 最小值為 0，求實數 m 的取值范圍．
解：在二次函數 y = x2 中，
當 x = 0 時，y 有最小值，且 y最小值 = 0.
∵ 當 x≥m 時，y最小值 = 0，
∴ m≤0．
4.已知：如圖，直線 y＝3x＋4 與拋物線 y＝x2 交于 A、B 兩點，求出 A、B 兩點的坐標，并求出兩交點與原點所圍成的三角形的面積
B
解：由題意的
解得 或
∴ 此兩函數的交點坐標為A (4，16)，B ( 1，1)．
∵ 直線 y＝3x＋4 與 y 軸相交于點 C (0，4)，即 CO＝4，
∴
∴ S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.
二次函數 y=ax2(a≠0) a的符號 a＞0 a＜0
圖象
頂點坐標 對稱軸 增減性
最值
1.二次函數y=ax2的圖象和性質：
（0，0）
y軸
當x=0時，y最小值=0
當x= 0時，y最大值=0
在對稱軸的左側（即x＜0），y隨x的增大而減小；在對稱軸的右側（即x＞0），y隨x的增大而增大
在對稱軸的左側（即x＜0），y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側（即x＞0），y隨x的增大而減小
y=ax2
a 的符號決
定開口方向
的大小決
定開口大小
a＞0，
開口
向上
a＜0，
開口
向下
越大，
開口越小
2.二次函數y=ax2的開口方向及大小：
Thanks!
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