資源簡介

(共22張PPT)
人教新版 九下 數學
同步課件
2025年秋人教九上數學情境課堂教學課件
第二十二章 二次函數
22.1 二次函數的圖象和性質
22.1.1 二次函數
主題情境·運動會中的數學問題
1.理解并掌握二次函數的概念和一般形式.
2.能根據實際問題中的數量關系列出二次函數解析式.
為了保障學生的身心健康，培養集體協作精神，鍛煉堅強的毅力，某校舉辦了校運動會. 數學小組成員琳琳、婷婷和聰聰在校運動會期間分別發現了一些有趣的數學情境問題.
解：變量為半圓半徑 x，兩個半圓面積之和 y，
x為自變量，y為因變量.
問題1 如圖，是琳琳畫出的操場跑道示意圖，可看成由兩個半圓和一個矩形組成. 設半圓形的半徑為 x，兩個半圓的面積之和為 y.
（1）問題中有哪些變量？其中哪些是自變量？哪些是因變量？
（2）半徑x與面積 y之間的關系該怎么表示？(π取3)
解：y = 3x2 . ①
問題2 婷婷發現在運動會期間，八年級共有n個班參加籃球比賽. 若每兩班之間進行一場比賽，比賽的場次數m與球隊數n有什么關系？
點撥：每支隊伍都要與除自己之外的( n一1)支隊伍比賽一次，則共比賽_________場(包含重復比賽場數),由于兩支隊伍比賽是相互的，應只算一次，所以去掉重復的次數，共比賽_________場.
解：比賽的場次數為
即 ②
問題3 聰聰通過調查發現，由于學生參加校運動會的積極性非常高，所以今年學校增加了每個項目的參賽人數. 已知今年有300名同學參賽，今年比去年的參賽人數增加了t 倍，若按照這樣的增長速度，預計兩年后的參賽人數 f 與 t 之間有怎樣的關系？
點撥：這是一個等比增長的模式，推導出參賽人數與增長倍數之間的關系式，并確定增長倍數的值來進行求解.
解：兩年后參賽人數 f = 300(1＋t)·(1＋t)=300(1＋t)2，
即 f = 300t2＋600t＋300. ③
思考1 針對以上三個式子：
是不是函數這一問題，琳琳和聰聰有了不同的看法，于是婷婷想尋求你的幫助，你認為誰說得對？
是函數，因為對于x(n, t)的每一個確定的值，y(m, f)都有唯一確定的值與其對應.
琳琳
不是函數，因為對于y(m, f)的每一個確定的值，x(n, t)的值不一定是唯一的.
聰聰
琳琳說得對，聰聰對于函數的概念記憶有誤.
思考2 觀察上面的關系式①②③，它們有什么共同點？
溫馨提示：類比一次函數y=kx+b(k≠0)的特征.
1.函數關系式都是整式；
2.化簡后自變量的最高次數是2；
3.二次項系數不為0.
上述概念中的a為什么不能是0？b和c可否為0？若b和c各自為0或均為0，上述函數的式子可以改寫成怎樣呢？
當a=0時，可寫成y=bx+c；
當b=0時，可寫成y=ax +c；
當c=0時，可寫成y=ax +bx；
當b=0，c=0時，可寫成y=ax .
不是二次函數
溫馨提示
(1)等號左邊是變量y，右邊是關于自變量x的整式；
(2)a，b，c為常數，且a≠0，b，c任意；
(3)等式的右邊最高次數為2，可以沒有一次項和常數項，但不能沒有二次項，即a≠0.
歸納總結
一般地，形如 (a，b，c是常數，a≠0)的函數，叫做二次函數. 其中，x是自變量，a，b，c分別是函數解析式的二次項系數、一次項系數和常數項.
二次項
一次項
常數項
同學們，可以自己舉出具體的二次函數嗎？
例1 (1)下列函數中，哪些是二次函數？為什么？
① y=ax2+bx+c ② y=3-2x ③y=x2 ④
⑤ ⑥y=x +x +25 ⑦ y=(x+3) -x ⑧y=(2x+1) -6x
不一定是，缺少a≠0的條件.
不是，x的最高次數是3.
不是、化簡以后是一次函數
不是，等式右邊不是整式
(2) 你能指出上述二次函數的二次項系數，一次項系數和常數項嗎？
二次函數關系式 二次項系數 一次項系數 常數項
y=3-2x
y=x2
y=-x -2x
y=(2x+1) -6x
-2
0
3
1
0
0
-1
-2
0
4
-2
1
=-2x +3
=4x -2x+1
溫馨提示
確定二次函數的各項系數要注意：
1.先化簡成 的形式
2.注意各項系數的符號.
在判斷二次函數時，必須滿足：
1.函數的關系式是整式；
2.自變量的最高次數是2；
3.二次項系數不等于0.
方法總結
思考3 如何判斷一個函數是不是二次函數？
例2 當m 取何值時，函數y=（m2+m）xm2-2m-1+（m-5）x+m2是關于x 的二次函數？并求出二次函數的解析式.
解：由題意，得
①m -2m-3=0，(m-3)(m+1)=0，m = 3或-1
②m(m+1) ≠ 0，m ≠ 0 或m ≠ -1
∴ m = 3.
∴當 m = 3 時，該函數是二次函數，
解析式為：y = (32+3)x32-2×3-1+(3-5)x+32，
即y = 12x2-2x+9.
1.下列函數解析式中，一定為二次函數的是（　　）
A．
B．
C．
D．
一次函數
當a≠0時為二次函數
函數右邊為分式，不是整式，不是二次函數
C
2.下面問題中，y與x滿足的函數關系是二次函數的是________．
①等腰三角形ABC的周長為16cm，底邊BC長為y cm，腰AB長為x cm，y與x之間的關系；
②底面圓的半徑為5cm的圓柱中，側面積y(cm )與圓柱的高x(cm)的關系；
③某商品每件進價為80元，在某段時間內以每件x元出售，可賣出（100-2x）件．利潤y（元）與每件售價x（元）的關系．
③
③y=(x-80)(100-2x)=100x-2x2-8000+160x=-2x2+260x-8000，y是x的二次函數
①y=-2x+16，y是x的一次函數；
②y=2π×5x=10πx，y是x的正比例函數
3.己知函數 y=(a2-3)x2+(a+ )x-7．
(1)若這個函數是一次函數，求出a的值；
解：由題意得， ，解得
(2)若這個函數是二次函數，求出a的取值范圍.
解：由題意得， ，解得 且
4.一農民用40 m長的籬笆圍成一個一邊靠墻的長方形菜園，和墻垂直的一邊長為x m，菜園的面積為y m2，求y與x之間的函數關系式，并說出自變量的取值范圍. 當x=12 m時，計算菜園的面積.
解：由題意得：y=x(40-2x)
即y=-2x +40x(0＜x＜20)
當x=12m時，菜園的面積為
y=-2x +40x
=-2×12 +40×12
=192(m )
x
40-2x
一般地，形如 y=ax +bx+c ( a，b，c是常數，a≠ 0 ) 的函數，叫做二次函數. 其中，x是自變量，a，b，c分別是函數解析式的二次項系數、一次項系數和常數項.
1.函數的關系式是整式；
2.自變量的最高次數是2；
3.二次項系數不等于0.
判斷方法
定義
二次
函數
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