資源簡介

1.1 探索勾股定理
第2課時 驗證勾股定理
第一章 勾股定理
1.學會用幾種方法驗證勾股定理．（重點）
2.能夠運用勾股定理解決簡單問題．（重點，難點）
學習目標


據(jù)不完全統(tǒng)計，驗證的方法有400多種，你有自己的方法嗎？
問題：上節(jié)課我們認識了勾股定理，你還記得它的內容嗎？那么如何驗證勾股定理呢 ？
導入新課
思考·交流
為了計算圖中大正方形的面積，小明對這個大正方形適當割補后，分別得到圖1-5、圖1-6。
（1）將所有三角形和正方形的面積用含a,b,c的式子表示出來。
（2）圖1-5，圖1-6中正方形ABCD的面積分別是多少？你有哪些表示方式？
（3）你能分別利用圖1-5，圖1-6驗證勾股定理嗎？
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
c
a
b
c
a
b
b
c
a
b
c
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
【方法點撥】我們利用拼圖的方法，將形的問題與數(shù)的問題結合起來，再進行整式運算，從理論上驗證了勾股定理．
驗證方法一：畢達哥拉斯證法
大正方形的面積可以表示為 ;
也可以表示為 .
(a+b)2
c2 +4? ab
因為 (a+b)2 = c2 + 4x??????????ab
?
a2+2ab+b2 = c2 +2ab
所以 a2+b2=c2
c
a
b
c
a
b
b
c
a
b
c
大正方形的面積可以表示為 ;
也可以表示為 .
因為 c2= 4? ab +(b-a)2
=2ab+b2-2ab+a2
=a2+b2
所以 a2+b2=c2
c2
4? ab+(b-a)2
驗證方法二：趙爽弦圖法
b
c
a
b
c
a
A
B
C
D
如圖，梯形由三個直角三角形組合而成，利用面積公式，列出代數(shù)關系式,得
化簡,得
驗證方法三：美國總統(tǒng)證明法
例1.在一次軍事演習中，紅方偵查員王叔叔在距離一條東西向公路400m處偵察，發(fā)現(xiàn)一輛藍方汽車在這條公路上疾駛。他用紅外測距儀測得汽車與他相距400m；過了10s，測得汽車與他相距500m。你能幫王叔叔計算藍方汽車這10s的平均速度嗎？
公路
B
C
A
400m
500m
解:由勾股定理，得AB2=BC2+AC2，
即 5002=BC2+4002，
所以BC=300.
藍方汽車10s行駛了300m,那么它1s行駛的
距離為300÷10=30m
即藍方汽車這10s的平均速度為30m/s。
如果一個三角形是鈍角三角形或銳角三角形，那么它的三邊長仍然滿足“較長邊的平方等于另外兩邊的平方和”嗎？觀察下圖,說說你的判斷和理由，并與同伴進行交流。
思考·交流
1.湖的兩端有A、Ｂ兩點，從與ＢA方向成直角的BC方向上的點C處測得CA=130米,CB=120米,則AB為（ )
A
B
C
A.50米 B.120米 C.100米 D.130米
130
120
?
A
練一練
A
B
C
2.如圖,太陽能熱水器的支架AB長為90 cm,與AB垂直的BC長為120 cm.太陽能真空管AC有多長?
解：在Rt△ABC中,由勾股定理,
得 AC2=AB2+BC2，
AC2=902+1202，
AC=150(cm).
答:太陽能真空管AC長150 cm.
例2.如圖，高速公路的同側有A，B兩個村莊，它們到高速公路所在直線MN的距離分別為AA1＝2km，BB1＝4km，A1B1＝8km.現(xiàn)要在高速公路上A1、B1之間設一個出口P，使A，B兩個村莊到P的距離之和最短，求這個最短距離和．
解：作點B關于MN的對稱
點B′，連接AB′，交A1B1于
P點，連BP.
則AP＋BP＝AP＋PB′＝AB′，
易知P點即為到點A，B距離之和最短的點．
過點A作AE⊥BB′于點E，
則AE＝A1B1＝8km，B′E＝AA1＋BB1＝2＋4＝6(km)．
由勾股定理，得B′A2＝AE2＋B′E2＝82＋62，
所以AB′＝10(km)．即AP＋BP＝AB′＝10km，
故出口P到A，B兩村莊的最短距離和是10km.
變式：如圖，在一條公路上有A、B兩站相距25km，C、D為兩個小鎮(zhèn)，已知DA⊥AB,CB ⊥AB, DA=15km,CB= 10km，現(xiàn)在要在公路邊上建設一個加油站E，使得它到兩鎮(zhèn)的距離相等，請問E站應建在距A站多遠處?
D
A
E
B
C
15
10
25-x
x
1.在直角三角形中，滿足條件的三邊長可以是 ．(寫出一組即可)
【解析】答案不唯一，只要滿足式子a2+b2=c2即可.答案：3，4，5（滿足題意的均可）
2.如圖，王大爺準備建一個蔬菜大棚，棚寬8m，高6m，長20m，棚的斜面用塑料薄膜遮蓋，不計墻的厚度，陽光透過的最大面積是_________.
200m2
當堂檢測
3.如圖,一根旗桿在離地面9 m處折斷,旗桿頂部落在離旗桿底部12 m處.旗桿原來有多高?
12 m
9 m
解：設旗桿頂部到折斷處的距離為x m，
根據(jù)勾股定理得
解得x=15, 15+9=24(m).
答：旗桿原來高24 m.
4.如圖，某住宅小區(qū)在施工過程中留下了一塊空地（圖中的四邊形ABCD），經測量，在四邊形ABCD中，AB=3m，BC=4m，AD=13m，∠B=∠ACD=90°．小區(qū)為美化環(huán)境，欲在空地上鋪草坪，已知草坪每平方米100元，試問鋪滿這塊空地共需花費多少元？
解：在Rt△ABC中,由勾股定理, 得 AC2=AB2+BC2，所以AC=5m，
在Rt△ACD中,由勾股定理, 得 CD2=AD2－AC2，所以CD=12m，
S草坪=SRt△ABC+SRt△ACD= 12 AB?BC+ 12 AC?DC
= 12 (3×4+5×12)=36 m2．
故需要的費用為36×100=3600元．
?
5.如圖，折疊長方形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊的F點處，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的長.
D
A
B
C
E
F
解：在Rt△ABF中,由勾股定理,
得 BF2=AF2－AB2=102－82
BF=6(cm).
所以CF=BC－BF=4.
設EC=x ，則EF=DE=8－x ，
在Rt△ECF中,根據(jù)勾股定理,
得 x2+ 42=(8－x)2 解得 x=3.
所以EC的長為3 cm.
6.如圖，某儲藏室入口的截面是一個半徑為1.2m的半圓形，一個長、寬、高分別為1.2m，1m，0.8m的箱子能放進儲藏室嗎？請說明理由．
解：能放進儲藏室，理由如下：
設四邊形ABCD是矩形，則AB∥CD，AB＝CD＝1.2m，OA＝1.2m，
作OE⊥AB交AB于點E，則OE平分AB，連接OA，
所以AE＝0.6，
所以OE2＝OA2﹣AE2＝1.22﹣0.62＝1.08，
因為0.82＝0.64，1.08＞0.64，
所以長，寬，高分別是1.2m，1m，0.8m的箱子能放進儲藏室．
試一試
探索勾股定理
勾股定理的驗證
勾股定理的簡單運用
課堂小結
a
b
c
青入
青方
青
出
青出
青入
朱入
朱方
朱出
青朱出入圖
知識鏈接
a
b
c
A
B
C
D
E
F
O
達·芬奇對勾股定理的證明
Ⅰ
Ⅱ
A
a
B
C
b
D
E
F
O
Ⅰ
Ⅱ
A′
B′
C′
D′
E′
F′
如圖，過 A 點畫一直線 AL 使其垂直于 DE， 并交 DE 于 L，交 BC 于 M.通過證明△BCF≌△BDA，利用三角形面積與長方形面積的關系，得到正方形ABFG與矩形BDLM等積，同理正方形ACKH與 矩形MLEC也等積，于是推得
歐幾里得證明勾股定理

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