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第十三章
數學 人教版 八年級上冊
三角形
小結
腰和底不等的等腰三角形
知識清單
1. 三角形的三邊關系：
2. 三角形的分類
三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.
按邊分
按角分
不等邊三角形
等腰三角形
等邊三角形
直角三角形
銳角三角形
鈍角三角形
3. 三角形的高、中線與角平分線
高：頂點與對邊垂足間的線段，三條高或其延長線
相交于一點，如圖 .
中線：頂點與對邊中點間的線段，三條中線相交于
一點（重心），如圖 .
角平分線：三條角平分線相交于一點，如圖 .
4. 三角形的內角和與外角
(1)三角形的內角和等于180°；
(2)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內
角的和；
(3)三角形的外角和為360°.
例1 已知兩條線段的長分別是3cm、8cm ，要想拼成一個三角形，且第三條線段a的長為奇數，問第三條線段應取多長？
解：由三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊得 8-3又∵第三邊長為奇數,
∴ 第三條邊長為 7cm或9cm.
精講互動
三角形兩邊之和大于第三邊，可以用來判斷三條線段能否組成三角形，在運用中一定要注意檢查是否任意兩邊的和都大于第三邊，也可以直接檢查較小兩邊之和是否大于第三邊.三角形的三邊關系在求線段的取值范圍以及在證明線段的不等關系中有著重要的作用.
1.以線段3、4、x-5為邊組成三角形，那么x的取值范圍是 .
6歸納
小試牛刀
例2 等腰三角形的周長為16，其一邊長為6，求另
兩邊長.
解：由于題中沒有指明邊長為6的邊是底還是腰，
∴分兩種情況討論： 當6為底邊長時，腰長為(16-6)÷2=5，這時另兩邊長分別為5,5；
當6為腰長時，底邊長為16-6-6=4，這時另兩邊長分別為6,4.
綜上所述，另兩邊長為5,5或6,4.
【變式題】 一個三角形有兩條邊相等，周長為20㎝,三角形的一邊長為5㎝，那么其它兩邊長分別為 .
歸納
等腰三角形的底邊長不確定時，要分兩種情況討論，還要注意三邊是否構成三角形.
2.若(a-1)2+|b-2|=0,則以a,b為邊長的等腰三角形的周長為 .
5
針對訓練
7.5cm、7.5cm
例3 如圖，CD為△ABC的AB邊上的中線，△BCD的周長比△ACD的周長大3cm，BC=8cm，求邊AC的長．
解：∵CD為△ABC的AB邊上的中線，
∴AD=BD，
∵△BCD的周長比△ACD的周長大3cm，
∴（BC+BD+CD）-（AC+AD+CD）=3，
∴BC-AC=3，
∵BC=8，
∴AC=5．
例4 如圖，D是△ABC的邊BC上任意一點，E、F分別是線段AD、CE的中點，且△ABC的面積為24，求△BEF的面積．
解：∵點E是AD的中點，
∴S△ABE= S△ABD，S△ACE= S△ADC，
∴S△ABE+S△ACE= S△ABC= ×24=12，
∴S△BCE= S△ABC= ×24=12，
∵點F是CE的中點，
∴S△BEF= S△BCE= ×12=6．
3.下列四個圖形中，線段BE是△ABC的高的是（　　）
歸納
三角形的中線分該三角形為面積相等的兩部分.
小試牛刀
C
4.如圖，①AD是△ABC的角平分線，則∠_____=∠____= ∠_____，
②AE是△ABC的中線，則_____=_____= _____，
③AF是△ABC的高線，則∠_____=∠_____=90°．
BAD
CAD
CAB
CE
BE
BC
AFB
AFC
例5 ∠A ,∠B ,∠C是△ABC的三個內角，且分別滿足下列條件，求∠A，∠B，∠C中未知角的度數.
(1)∠A－∠B＝16°，∠C＝54°；
(2)∠A:∠B:∠C＝2:3:4.
解:(1)由∠C＝54°知∠A＋∠B＝180°－54°＝126°①,
又∠A－∠B＝16°②,由①②解得∠A＝71°,∠B＝55°;
(2)設∠A＝2x，∠B＝3x，∠C=4x ，
則2x + 3x + 4x = 180° ，解得 x=20°，
∴∠A＝40°,∠B＝60°，∠C＝80°.
若題中沒有給出任意角的度數，僅給出數量關系，常用方程思想設未知數列方程求解.
例6 如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度數．
解：設∠1=∠2=x，則∠4=∠3=2x．
因為∠BAC=63°，
所以∠2+∠4=117°，即x+2x=117°，
所以x=39°,
所以∠3=∠4=78°，
∠DAC=180°-∠3-∠4=24°.
歸納
5.在△ABC中,三個內角∠A,∠B,∠C滿足∠B-∠A=∠C-
∠B，則∠B= .
小試牛刀
60°
6.如圖，在△ABC中，CE，BF是兩條高，
若∠A=70°，∠BCE=30°，則∠EBF的度數是 ，∠FBC的度數是 .
7.如圖，在△ABC中，兩條角平分線
BD和CE相交于點O，若∠BOC=132°，
那么∠A的度數是 .
A
B
C
E
F
A
B
C
D
E
O
20°
40°
84°
思想方法之分類討論思想
例7 已知等腰三角形的兩邊長分別為10 和6 ，則
三角形的周長是　　　　　．
【解析】 由于沒有指明等腰三角形的腰和底，所以要分兩種情況討論：第一種10為腰，則6為底，此時周長為26；第二種10為底，則6為腰，此時周長為22.
26或22
【易錯提示】別忘了用三邊關系檢驗能否組成三角形這一重要解題環節.
思想方法之轉化
例8 如圖，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度數.
A
B
C
D
(
(
(
51 °
20 °
30 °
思路點撥：添加適當的輔助線將圖形問題轉化為三角形問題.
A
B
C
D
(
(
20 °
30 °
解法一：連接AD并延長于點E.
在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，
在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.
因為∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
E
)
)
1
2
)
3
)
4
你發現了什么結論？
A
B
C
D
(
(
(
51 °
20 °
30 °
E
)
1
解法二：延長BD交AC于點E.
在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，
在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
所以∠BDC
=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
解法三:連接延長CD交AB于點F（解題過程同解法二）.
)
2
F
解題的關鍵是正確的構造三角形，利用三角形外角的性質及轉化的思想，把未知角與已知角聯系起來求解.
總結
三角形
與三角形有關的線段
三角形內角和：180°
三角形外角和：360°
三角形的邊：三邊關系定理
高線：計算三角形的面積
中線：把三角形面積平分
角平分線：把三角形的一個內角分成相等的兩個小角
與三角形有關的角
內角與外角關系
三角形的分類
課堂小結
謝謝聆聽

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