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全等三角形
第十四章
數(shù)學(xué) 人教版 八年級上冊
§14.3 角的平分線的性質(zhì)（2）
第2課時 角的平分線判定
一、學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.掌握角的平分線的判定.
2.理解角的平分線判定與角的平分線性質(zhì)的區(qū)別.(難點）
3.靈活運(yùn)用性質(zhì)與判定進(jìn)行有關(guān)的證明和計算.（重點）
O
D
P
P到OA的距離
P到OB的距離
角平分線上的點
幾何語言描述：
∵ OC平分∠AOB，
且PD⊥OA， PE⊥OB.
∴ PD= PE.
A
C
B
角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.
1.敘述角平分線的性質(zhì)定理
不必再證全等
E
復(fù)習(xí)引入
2.我們知道，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.那么到角的兩邊的距離相等的點是否在角的平分線上呢？
到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.
情景引入
P
A
O
B
C
D
E
角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上．
問題：交換角的平分線的性質(zhì)中的已知和結(jié)論，你能得到什么結(jié)論，這個新結(jié)論正確嗎？
角平分線的性質(zhì)：
角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.
∵ OC平分∠AOB，
且PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD= PE
幾何語言：
猜想:
思考：這個結(jié)論正確嗎？
探究新知
已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E，PD=PE.求證：點P在∠AOB的角平分線上.
證明：
作射線OP，
∴點P在∠AOB 角的平分線上.
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
（全等三角形的對應(yīng)角相等）.
OP=OP（公共邊），
PD= PE（已知 ），
B
A
D
O
P
E
∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP
探究新知
判定定理：
角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.
P
A
O
B
C
D
E
應(yīng)用所具備的條件：
（1）位置關(guān)系：點在角的內(nèi)部；
（2）數(shù)量關(guān)系：該點到角兩邊的距離相等.
定理的作用：判斷點是否在角平分線上.
應(yīng)用格式：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴點P 在∠AOB的平分線上.
探究新知
活動1 分別畫出下列三角形三個內(nèi)角的平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？
發(fā)現(xiàn)：三角形的三條角平分線相交于一點
探究新知
活動2 分別過交點作三角形三邊的垂線，用刻度尺量一量，每組垂線段，你發(fā)現(xiàn)了什么？
發(fā)現(xiàn)：過交點作三角形三邊的垂線段相等
你能證明這個結(jié)論嗎？
探究新知
已知：如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點P，
求證：點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.
證明：過點P作PD，PE，PF分別垂直于AB，BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn).
∵BM是△ABC的角平分線，
點P在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即點P到三邊AB，BC，CA的距離相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
探究新知
想一想：點P在∠A的平分線上嗎？這說明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？
點P在∠A的平分線上.
結(jié)論：三角形的三條角平分線交于一點，并且這點到三邊的距離相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
M
E
N
A
B
C
P
O
D
1.如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于點O，過點O作OM⊥AC,若OM＝4,
(1)求點O到△ABC三邊的距離和.
溫馨提示：不存在垂線段———構(gòu)造應(yīng)用
12
例題與練習(xí)
1.應(yīng)用角平分線性質(zhì)：
存在角平分線
涉及距離問題
2.聯(lián)系角平分線性質(zhì)：
距離
面積
周長
條件
知識與方法
角的平分線的性質(zhì)
圖形
已知 條件
結(jié)論
P
C
P
C
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的平分線的判定
1. 如圖，某個居民小區(qū)C附近有三條兩兩相交的道路MN、OA、OB，擬在MN上建造一個大型超市，使得它到OA、OB的距離相等，請確定該超市的位置P.
小區(qū)C
P
A
O
B
M
N
例題與練習(xí)
2. 如圖所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于點E，PF∥AC交BC于點F，點P是AD上一點，且點D到PE的距離與到PF的距離相等，判斷AD是否平分∠BAC，并說明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵D到PE的距離與到PF的距離相等，
∴點D在∠EPF的平分線上．
∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
3
4
1
2
P
3.已知：如圖，OD平分∠POQ，在OP、OQ邊上取OA＝OB，點C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求證：CM＝CN.
證明：∵OD平分線∠POQ，
∴∠AOD=∠BOD.
在△AOD與△BOD中，
∵OA=OB，∠AOD=∠BOD，OD=OD，
∴△AOD≌△BOD.
∴∠ADO=∠BDO.
∵CM⊥AD，CN⊥BD，∴CM=CN.
4.如圖，已知∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F，
求證：點F在∠DAE的平分線上．
證明：
過點F作FG⊥AE于G，F(xiàn)H⊥AD于H，F(xiàn)M⊥BC于M.
∵點F在∠BCE的平分線上， 　　　　FG⊥AE， FM⊥BC.
∴FG＝FM.
又∵點F在∠CBD的平分線上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC，
∴FM＝FH，
∴FG＝FH.
∴點F在∠DAE的平分線上.　　　
G
H
M
A
B
C
F
E
D
角平分線
的判定定理
內(nèi)容
角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上
作用
判斷一個點是否在角的平分線上
結(jié)論
三角形的角平分線相交于內(nèi)部一點
課堂小結(jié)
謝謝 !
謝謝聆聽

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