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江西省上饒市第四中學2024-2025學年下學期八年級數學期中考試試卷　
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．下列式子中，屬于最簡二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．以下列各組數據中的三個數作為三角形的邊長，其中能構成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．6，7，8 D．9，40，42
3．下列運算正確的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知在四邊形中，，，添加下列條件，不能保證四邊形是矩形的是( )
A． B． C． D．
5．如圖，在菱形中，E，F分別是，的中點，，則的長為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．不確定
6．《九章算術》是古代東方數學代表作，書中記載：今有開門去閫(讀，門檻的意思)一尺，不合二寸，問門廣幾何？題目大意是：如圖1、2(圖2為圖1的平面示意圖)，推開雙門，雙門間隙的距離為寸，點和點距離門檻都為尺(尺寸)，則的長是（ ）
A．寸 B．寸 C．寸 D．寸
二、填空題
7．要使根式有意義，則x應滿足的條件是 ．
8．寫出一個能與合并的二次根式
9．如圖，四邊形是平行四邊形，已知，，則 ．
10．如圖，已知菱形中，對角線與交于點，，，則該菱形的面積是 ．

11．如圖，網格中每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C都在格點上，以A為圓心，為半徑畫弧，交最上方的網格線于點D，則的長為 ．
12．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A的坐標為，點C的坐標為，四邊形是平行四邊形，點D、E份別在邊、上，且，．動點P、Q在的一組鄰邊上，以點D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，其面積為 ．
三、解答題
13．計算：
(1)；
(2)；
14．如圖，在平行四邊形中，點E、F分別在上，且．求證：四邊形是平行四邊形．
15．已知的三邊分別為a、b、c且滿足，
(1)求a、b、c的值；
(2)試判斷的形狀．
16．如圖，正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點．

(1)在圖1中以格點為頂點畫一個面積為10的正方形；
(2)在圖2中以格點為頂點畫一個三角形，使三角形三邊長分別為2、、；
(3)如圖3，點A、B、C是小正方形的頂點，求的度數．
17．一個矩形的長a=，寬b=．
（1）該矩形的面積=　　，周長=　?。?br/>（2）求a2+b2+ab的值．
18．如圖，已知矩形中，對角線，相交于點O，過點C作，過點D作，與相交于點E．
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若，，求四邊形的面積．
19．已知 的對角線相交于點 O ，E ，F 分別是 的中點，連接．
(1)如圖 1 ，求證：；
(2)如圖 2 ，連接，若，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖 2 中的所有與面積相等的鈍角等腰三角形．
20．杭州紙傘館有制作精美的紙傘，如圖，四條長度相等的傘骨圍成菱形，傘骨連結點A固定在傘柄頂端，傘圈C能沿著傘柄滑動．小聰通過測量發現：當傘完全張開時，傘柄的中點O到傘骨連結點B，D的距離都等于的一半，若夾角，求的度數．
21．如圖，等腰中，，交于D點，E點是的中點，分別過D，E兩點作線段的垂線，垂足分別為G，F兩點．
(1)求證：四邊形為矩形；
(2)若，，求的長．
22．像、、，兩個含有二次根式的代數式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個代數式互為有理化因式．例如，與、與等都是互為有理化因式．在進行二次根式計算時，利用有理化因式，可以化去分母中的根號．請完成下列問題：
(1)計算：______；
(2)計算：；
(3)已知有理數、滿足，直接寫出、的值．
23．如圖，在正方形中，點E是對角線上的一動點，連接，過點E作
交直線于點F，連接．
(1)發現問題
如圖1，當點F落在邊上時，猜想的形狀： ．
(2)深入探究
如圖2，當點F落在邊的延長線上時，①中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．
(3)解決問題
當點E是在射線上運動，且， 時，求的面積．
江西省上饒市第四中學2024-2025學年下學期八年級數學期中考試試卷參考答案
題號 1 2 3 4 5 6
答案 B B A C A C
1．B
【詳解】解：A、的被開方數中的因數不是整數，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
B、是最簡二次根式，故本選項符合題意；
C、的被開方數中的因數不是整數，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
D、的被開方數中含有能開方的因數，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；
故選：B．
2．B
【詳解】解：，故選項A不符合題意；
，故選項B符合題意；
，故選項C不符合題意；
，故選項D不符合題意；
故選B．
3．A
【詳解】解：A、，故該選項符合題意；
B、，，故該選項不符合題意；
C、，故該選項不符合題意；
D、，故該選項不符合題意；
故選：A．
4．C
【詳解】解：如圖1，，，
四邊形是平行四邊形，，
，
，
，
四邊形是矩形，
故A不符合題意；
如圖，，，
四邊形是平行四邊形，
，
，
，
，
，
四邊形是矩形，
故B不符合題意；
如圖，
在和中，
，
，
，
，
四邊形可能是等腰梯形，也可能是平行四邊形，
不能保證四邊形是矩形，
故C符合題意；
如圖，，，
，
，
，
，
，
四邊形是矩形，
故D不符合題意，
故選：C．
5．A
【詳解】解：在菱形中， ，
∴，
∵E，F分別是，的中點，
∴，
故選：A
6．C
【詳解】設OA=OB=AD=BC=，過D作DE⊥AB于E，
則DE=10，OE=CD=1，AE=．
在Rt△ADE中，
，即，
解得．
故門的寬度（兩扇門的和）AB為101寸．
故選：C．
7．
【詳解】根據題意得：，
解得：，
故答案為：．
8．（答案不唯一）
【詳解】解：寫出的同類二次根式即可，
故答案為：（答案不唯一）
9．/70度
【詳解】解：∵，，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
故答案為：．
10．
【詳解】解：根據菱形面積等于對角線乘積的一半可得：．
故答案為：．
11．/
【詳解】解：如圖，連接，則，
中，由勾股定理可得， ，
又∵，
∴，
故答案為：．
12．或或
【詳解】解：過點C作CH⊥OA于點H，如圖所示：
∵點A的坐標為，點C的坐標為，
∴，，，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，，
∴，即點H與點D重合，
由動點P、Q在的一組鄰邊上，以點D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，則可分：
①點P在OC上，點Q在BC上，如圖所示：
∴點O與點P重合，
∴；
當DE為對角線時，如圖所示：
則；
②點Q在OC上，點P在OA上，如圖所示：
∴點C、Q重合，
∴；
③點Q在OA上，點P在AB上，如圖所示：
∴點B、P重合，
∴；
綜上所述：當動點P、Q在的一組鄰邊上，以點D、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，其面積為或或；
故答案為或或．
13．(1)
(2)
【詳解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
14．見解析
【詳解】解：∵在中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四邊形是平行四邊形．
15．(1)
(2)直角三角形
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴是直角三角形．
16．(1)見解析
(2)見解析
(3)
【詳解】（1）解：如圖1的正方形的邊長是，面積是10；

（2）如圖2的三角形的邊長分別為2，，；

（3）如圖3，連接，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
即．
17．（1）1；4；（2）23．
【詳解】解：（1）矩形的面積=ab=(+)×(-)=6-5=1；
周長=2(a+b)=2×(++-)=4．
故答案為：1；4．
（2）由（1）得：a+b=2，ab=1，
原式=(a+b)2-ab
=(2)2 1
=23．
18．(1)見解析
(2)24
【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，
，，，
，
∵，，
四邊形是平行四邊形，
又∵，
四邊形是菱形；
（2）解：∵四邊形是矩形，
，，
∴，
∵，
，
∵四邊形是菱形，
．
19．(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：四邊形為平行四邊形，
，
點分別為的中點，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）知，，
，F 分別是的中點，
，
，
，
是等邊三角形，
，
，
是等邊三角形，
，
，
，
，
同理，與面積相等的鈍角等腰三角形還有
綜上所述，所有與面積相等的鈍角等腰三角形有．
20．
【詳解】解：∵是菱形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．(1)見解析
(2)4
【詳解】（1）證明：∵，，
∴點D是的中點．
∵E點是的中點，
∴是的中位線．
∴
∵，，
∴，
∴．
∴四邊形是平行四邊形．
又∵，
∴平行四邊形為矩形；
（2）解：∵交于D點，E點是的中點，，
∴，
由（1）知，四邊形為矩形，則，
在直角中，，，
由勾股定理得：．
∵，，
∴．
即的長為4．
22．(1)
(2)
(3)，
【詳解】（1）解：，
故答案為：；
（2）
；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∵、都是有理數，
∴，，
解得，．
23．(1)等腰直角三角形
(2)（1）中結論仍然成立，理由見解析
(3)的面積為5或
【詳解】（1）解：如圖所示，過點E分別作、的垂線，垂足分別為M、N，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴四邊形是矩形，，
∴四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
故答案為：等腰直角三角形；
（2）解：（1）中結論仍然成立，
理由如下：如圖所示，過點E分別作、的垂線，垂足分別為G、H，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴四邊形是矩形，，
∴四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴；
∴是等腰直角三角形．
（3）解：如圖2﹣1，當點E在線段上時，
∵四邊形是正方形，，
∴，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
∴，
由（2）可知，
又∵，
∴．
如圖2﹣2，當點E在延長線上時，過點E分別作直線，直線的垂線，垂足分別為H、G，
同理可得四邊形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴．
綜上所述，的面積為5或．

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