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江西省上饒市第四中學2025年5月九年級數學中考模擬卷
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1． ， 0， 3，這四個數中， 最小的數是（ ）
A． B．0 C．3 D．
2．下列因式分解正確的是（ ）
A． B．
C． D．
3．對某中學2000名學生進行身高調查，隨機抽取了200名學生，下列說法錯誤的是（ ）
A．總體是該中學2000名學生的身高 B．個體是每個學生
C．樣本是所抽取的200名學生的身高 D．樣本容量是200
4．我們知道光的反射是一種常見的物理現象.如圖，某 V 型路口放置如圖所示的兩個平面鏡，，兩個平面鏡所成的夾角為，位于點 D 處的甲同學在平面鏡 中看到位于點A處的乙同學的像，其中光的路徑為入射光線 經過平面鏡反射后，又沿射向平面鏡，在點 C 處再次反射，反射光線為，已知入射光線，反射光線 ，則等于（ ）
A． B． C． D．
5．關于x的二次函數（a為常數且），下列說法正確的是（　　）
A．函數圖象的對稱軸為直線
B．函數圖象必經過點和
C．當時，y隨x的增大而增大
D．當時，函數圖象與x軸無交點
6．如圖，將面積為4的等腰三角形紙片沿圖中的虛線剪成四塊圖形，這四塊圖形恰好能拼成一個沒有縫隙的正方形，則該等腰三角形的底邊長為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
7．若代數式有意義，則實數x的取值范圍是 ．
8．DeepSeek全稱杭州深度求索人工智能基礎技術研究有限公司，是一家創新型科技公司．數據顯示，隨著訪問量急速上升，2025年2月1日DeepSeek成為史上最快突破3000萬日活躍用戶量的應用．數據3000萬用科學記數法表示為 ．
9．若正n邊形的中心角為，則 ．
10．若，是方程的兩個實數根，則的值為 ．
11．圭表（如圖1）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節氣的天文儀器，它包括一根直立的標桿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標桿垂直的長尺（稱為“圭”）．如圖2，利用土圭之法記錄了兩個時刻長為6尺的標桿的影長，發現第一時刻光線與標桿的夾角和第二時刻光線與地面的夾角相等，測得第一時刻的影長為尺，則第二時刻標桿的影長 尺．
12．在平面直角坐標系中，點在直線上，點的橫坐標為，若線段繞點旋轉后，得到點的對應點，且點在第一象限內，則點的坐標為 ．
三、解答題
13．（1）計算：；
（2）解方程．
14．如圖，在平行四邊形中，，分別是，的中點．求證：．
15．小明參加某個智力挑戰賽節目，答對最后的兩道單選題就可以順利通關．第一道單選題有4個選項，第二道單選題有3個選項，這兩道題小明都不會，不過小明還有一個“求助”沒有用（使用“求助”可以讓主持人在其中一題的選項中去掉一個錯誤選項）
(1)如果小明第一道題不使用“求助”，那么小明答對第一道題的概率是______；
(2)若小明將“求助”留在第二道題使用，請用畫樹狀圖或列表方法求小明通關概率；
(3)從概率的角度分析，建議小明在第______道題使用“求助”．
16．如圖，這是的方格，每個小正方形的頂點稱為格點，的頂點均在格點上，并畫出了的外接圓，請僅用無刻度的直尺，在給定的方格中按要求作圖（保留作圖痕跡）．
(1)在圖1中的上作點，使得，
(2)在圖2中的上作點，使得．
17．如圖，已知直線l交x軸，y軸于A，B兩點，動點在直線l上，且滿足：．
(1)直接寫出直線l的解析式為：　　；
(2)若反比例函數的圖象與直線相交于C、D兩點，連接，已知點C的橫坐標為8，求的面積．
18．如圖，有甲、乙兩條數軸．甲數軸上的三點A，B，C所對應的數依次為，2，32，乙數軸上的三點D，E，F所對應的數依次為0，x，12．
(1)計算A，B，C三點所對應的數的和，并求的值；
(2)當點A與點D上下對齊時，點B，C恰好分別與點E，F上下對齊，求x的值．
19．近年來，隨著科技的飛速發展，人工智能（）逐漸走進人們的日常生活. 技術已廣泛應用于手機、家居、醫療、教育等領域，為社會進步做出了巨大貢獻.某研究小組對不同人工智能軟件使用情況進行調查統計，為人工智能的開發者提供一些參考.
【數據收集與整理】
研究小組對市面上不同的軟件進行整理，請使用者進行評價打分.從使用較好甲、乙兩款軟件的評價得分中，分別隨機抽取了20個使用者的打分（百分制）數據，進行整理.成績均高于90分（成績得分用x表示，共分為五組：A：；B：；C：；D：；E：）
下面給出了部分信息：甲款軟件20名使用者打分為：
92，94，94，94，95，95，97，97，97，98，99，99，99，100，100，100，100，100，100，100.
乙款軟件20名使用者打分在B等級的數據是：97，97，98，98，98，98.
甲、乙兩款軟件抽取的使用者打分統計表
類型 平均數 眾數 中位數
甲款軟件 a
乙款軟件 99 b
（1）上述表中_______；_______；
【數據分析與運用】
（2）下列結論一定正確的是_______.
①甲乙兩款樣本數據的中位數均在A組；
②得分96分以上的樣本數據甲乙一樣多；
③甲乙兩款樣本數據的滿分一樣多.
（3）根據甲、乙兩款軟件樣本的特征數，試估計哪款軟件更優，并說明理由.
20．如圖，內接于，是的直徑，點在上，點是的中點，過點作，垂足為點，的延長線交的延長線于點．
(1)求證：是的切線；
(2)若，，求的長．
21．某學校操場的主席臺安裝了如圖1所示的遮陽棚，其截面示意圖如圖2所示，其中四邊形是矩形，主席臺高為1米.上午某時刻，經過點的太陽光線恰好照射在上的點處，測得，主席臺受遮陽棚遮擋所形成的陰影區域的寬度為米.一段時間后，經過點的太陽光線恰好照射在上的點處，測得，陰影區域的寬度為米，點，，，，，，均在同一豎直平面內.（結果精確到米，參考數據：，，，，，）
(1)求點距離地面的高度；
(2)當太陽光線與地面夾角為時，若要使主席臺受遮陽棚遮擋所形成的陰影區域寬度為米，點需在原高度的基礎上向上或向下移動多少米？
22．課本再現
（1）如圖1，在正方形中，是邊上的動點，連接．過點作于點，且交于點，則與之間的數量關系是___________；
【數學模型】
（2）如圖2，在正方形中，是邊上的動點，連接．過點作于點，連接，當是以為底的等腰三角形時，求的長；
【模型遷移】
（3）如圖3，在四邊形中，，，，點E，F分別在邊上，且，垂足為G，求的值．
23．綜合與實踐
問題提出
如圖，在中，，過點A作于點D，，點E從點B出發沿向點A運動，速度為1個單位長度/秒，點P從點D出發沿向點C運動，速度為2個單位長度/秒，過點E作，過點P作，點P在點E出發2秒后出發，當一動點到達終點時另一動點也停止運動．設點E的運動時間為t秒，的面積為S．
初步感知
（1）如圖1，當時，解答下列問題：
（1）若，則S的值為________；
（2）S關于t的函數解析式為________．
（2）如圖2，當時，經探究發現S是關于t的二次函數，并繪制成如圖3所示的不完整的圖象．請根據圖象信息，解答下列問題：
①求圖象最高點的坐標，并直接寫出自變量t的取值范圍；
②連接，若四邊形是平行四邊形，求S的值．
延伸探究
（3）當時，是否存在某一時刻t，使以點A，E，F為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
江西省上饒市第四中學2025年5月九年級數學中考模擬卷參考答案
題號 1 2 3 4 5 6
答案 A B B C D D
1．A
【詳解】解： ．
∴ 最小的數是，
故選：A．
2．B
【詳解】解：A、，故此選項錯誤，不符合題意；
B、，正確，符合題意；
C、，不是因式分解，故此選項錯誤，不符合題意；
D、，無法分解因式，故此選項錯誤，不符合題意；
故選：B．
3．B
【詳解】解：A、總體是該中學2000名學生的身高，說法正確，此選項不符合題意；
B、個體是每個學生的身高，原說法錯誤，此選項符合題意；
C、樣本是所抽取的200名學生的身高，說法正確，此選項不符合題意；
D、樣本容量是200，說法正確，此選項不符合題意；
故選：B．
4．C
【詳解】如圖所示，由光的反射定律，可以知道，
，
，
故選：C ．
5．D
【詳解】解：∵二次函數（，a為常數），
∴該函數的對稱軸為直線，故選項A不符合題意；
∵當時，，當時，．
∴函數圖象必經過點和，故選項B不符合題意；
∵a的正負不確定，
∴當時，y隨x的增大如何變化無法確定，故選項C不符合題意；
∵當時，該函數圖象開口向下，，
∴當時，函數圖象與x軸無交點，故選項D符合題意．
故選：D．
6．D
【詳解】解：如圖，等腰三角形紙片沿圖中虛線剪成四塊圖形，能拼成一個沒有縫隙的正方形和矩形，
根據題意，得，
∴，
解得： (負值舍去)，
∴正方形的邊長與等腰三角形的底邊長的比為：
，
∵將面積為4的等腰三角形紙片沿圖中的虛線剪成四塊圖形，這四塊圖形恰好能拼成一個沒有縫隙的正方形，
∴，即：，
∴，即：．
故選：D．
7．
【詳解】解：若代數式有意義，
則有，解得：．
故答案為：．
8．
【詳解】解：3000萬，
故答案為：．
9．15
【詳解】解：∵正n邊形的中心角為，
∴，
∴．
故答案為：15．
10．4
【詳解】解：∵，是方程的兩個實數根，
∴，，
∴，
故答案為：．
11．
【詳解】解：根據題意得：尺，尺，，
∴，
∵，
∴，
∴尺．
即第二時刻標桿的影長15尺．
故答案為：15
12．或或
【詳解】解：在中，當時，，
∴，
設，
∵，
∴，
解得或，
∴或；
如圖所示，過點作軸， 過點A、分別作直線的垂線，垂足分別為E、F，
由旋轉的性質可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
同理可得，；

綜上所述，點C的坐標為或或；
故答案為：或或．
13．（1）；（2），
【詳解】（1）解：
；
（2）解：
，
解得，．
14．見解析
【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵E、F分別是，中點，
∴，，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∴．
15．(1)
(2)
(3)二
【詳解】（1）解：根據題意得：小明答對第一道題的概率是；
故答案為：；
（2）解：設第一題的四個選項是A，B，C，D，不妨設正確答案是C．
第二題三個選項是1，2，3，
正確答案是2．“求助”用在第二道題．
去掉一個錯誤答案1．列表如圖1．

小明通關概率為；
（3）解：若“求助”用在第一道題．不妨設去掉一個錯誤答案A．列表如圖2．

小明通關概率為；
∵，
∴建議小明“求助”用在第二道題．
故答案為：二．
16．(1)見解析
(2)見解析
【詳解】（1）解∶如圖，點D即為所求，
根據勾股定理得，，，，
∴，，，
∴是直角三角形，
∴；
（2）解∶如圖，點E即為所求，
根據勾股定理得，，，，
∴，，，
∴是直角三角形，
∴．
17．(1)
(2)30
【詳解】（1）解：∵動點在直線l上，且滿足：，
∴直線的解析式為．
故答案為：；
（2）∵，
∴當時，，解得，
∴，
當時，，
∴，
∵反比例函數的圖象經過點，
∴，
∴反比例函數解析式為．
令，解得，
∴，
∴
．
18．(1)，
(2)
【詳解】（1）解：∵甲數軸上的三點A，B，C所對應的數依次為，2，32，
∴，，，
∴；
（2）解：∵點A與點D上下對齊時，點B，C恰好分別與點E，F上下對齊，
∴，
∴，
解得：；
19．（1），；（2）②；（3）甲款軟件更優，理由見解析
【詳解】解：（1）∵甲款打分中，100分出現了7次，次數最多，
∴甲款打分的眾數為100分，即；
把乙款20個打分按照從高到低的順序排列，中位數是第10名和第11名打分的平均數，
∵乙款打分中，A等級的人數為人，
B等級從大到小排序為：98，98，98，98，97，97
第10名和第11名的打分為98分，98分，
∴乙款打分的中位數為分，即．
（2）解：根據題意，得甲的中位數是，在A組；乙的中位數是，在B組；故①錯誤；
樣本數據甲得分96分以上的人數為14人；樣本數據乙得分96分以上的人數為人；故②正確；
樣本數據甲得滿分的人數為7人；而樣本數據乙的眾數為99分，故乙滿分人數一定小于；故③錯誤．
（3）甲款軟件更優，理由如下：
因為甲、乙兩款軟件的平均數相同，而甲款軟件的眾數和中位數都大于乙款軟件的眾數和中位數
∴甲款軟件更優．
20．(1)見解析
(2)
【詳解】（1）證明：連接，
∵點是的中點，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∵是半徑，
∴是的切線；
（2）解：如圖
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∵，
∴，
∵，
∴為等邊三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的長為．
21．(1)米
(2)向下移動米
【詳解】（1）解：過點作于點，交于點，
則四邊形為矩形，米，
設的長度為米，
由題意得，在中，，，，
．
在中，，，，
．
米，米，
米，
米，
即．
解得：，
米．
答：點距離地面的高度約為米；
（2）解：由（1）知，
∴米，
∴米，
設改變后的長度為米，
同理，米，
∵為米，
∴，解得，
，
∴點需在原高度的基礎上向下移動米．
22．（1）；（2）；（3）．
【詳解】（1）解：，
∵正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案為：；
（2）解：作于點，
∵是以為底的等腰三角形，
∴，，
同（1）理，，
∴，
∴，
設，則，
∵，
由勾股定理得，
解得，
∴，，
∵，即，
∴；
（3）解：過C作于N，交的延長線于點M，

∵，即，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，而，
∴，
設，則，設，則，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得（舍去），
∴．
23．（1）①；②；（2）①最高點，；②；（3）存在，或或
【詳解】解：（1）①當時，記交于點，過點E作于點M，如圖：
由題意得，
∵，
∴，
∴，
∵， ，，
∴由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形為平行四邊形，
∴
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
當時，
故答案為：，；
解：②，解析見①，
故答案為：；
（2）①當時，如圖，過點E作于點M，記交于點，
此時
同上：
∴，
∴，
∵，
∴最高點為：；
②如圖：
∵，
∴四邊形是平行四邊形時，，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，
∴，
∴；
（3）存在，理由如下：
當時，如圖：
由題意得：，
解得：；
當時，如圖：
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
解得：
當時，如圖，過點作于點K，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
綜上：或或．

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