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第八章8.1基本立體圖形
一、單選題
下列說法正確的是( )
A. 多面體至少有3個面
B. 有2個面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺
C. 各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體
D. 棱柱的側(cè)棱相等，側(cè)面是平行四邊形
將棱長為4的正方體表面涂成紅色，將其適當(dāng)分成長棱長為1的小正方體，則各面均沒有顏色的小正方體個數(shù)占總的小正方體個數(shù)的( )
A.
B.
C.
D.
如圖，棱錐的高，截面平行于底面，與截面交于點，且．若四邊形的面積為36，則四邊形的面積為( )
A. 12
B. 16
C. 4
D. 8
下列幾何體表 圓錐的是( )
A. B.
C. D.
下列幾何體是旋轉(zhuǎn)體的是 ( )
A. 五棱柱
B. 六棱錐
C. 八棱臺
D. 球
已知圓錐的側(cè)面積為，圓錐的側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的底面圓半徑為 ( )
A.
B.
C.
D.
如圖所示，觀察四個幾何體，其中判斷正確的是 ( )
A. ①是棱臺
B. ②是圓臺
C. ③是棱錐
D. ④不是棱柱
如果棱臺的兩底面積分別是，，中截面的面積是，那么 ( )
A.
B.
C.
D.
已知圓柱及其側(cè)面展開圖如圖所示，則該圓柱的側(cè)面積為 ( )
A.
B.
C.
D.
二、多選題
若空間幾何體的頂點數(shù)和空間幾何體的頂點數(shù)之和為12，則和可能分別是 ( )
A. 三棱錐和四棱柱
B. 四棱錐和三棱柱
C. 四棱錐和四棱柱
D. 五棱錐和三棱柱
下列說法正確的是 ( )
A. 圓柱的底面是圓面
B. 經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面
C. 圓臺的任意兩條母線的延長線可能相交，也可能不相交
D. 夾在圓柱的兩個截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體
在直三棱柱中，，且，為線段上的動點，則 ( )
A.
B. 三棱錐的體積不變
C. 的最小值為
D. 當(dāng)是的中點時，過，，三點的平面截三棱柱外接球所得的截面面積為
三、填空題
如圖，在棱長為2的正方體中，點為線段上的動點，則取得最小值 ．當(dāng)為線段中點時，平面截正方體所得的截面面積為 ．
如果用半徑為的半圓形鐵皮卷成一個圓錐筒，那么這個圓錐筒的高是 ．
從一個底面半徑和高都是的圓柱中挖去一個以圓柱上底面為底，下底面中心為頂點的圓錐，得到如圖所示的幾何體．如果用一個與圓柱下底面距離為，并且平行于底面的平面去截這個幾何體，則截面面積為 ．
四、解答題
如圖，長方體被一個平面截成兩個幾何體，其中．請說出這兩個幾何體的名稱．
如圖所示，直角梯形分別以，，，所在直線為軸旋轉(zhuǎn)，試說明所得幾何體的形狀．
一、單選題
答案：D
解析：
對于A，多面體至少有4個面，故選項A錯誤；
對于B，有2個面平行，其余各面都是梯形，但各側(cè)棱的延長線不能交于一點，則該幾何體不是棱臺，故選項B錯誤；
對于C，各側(cè)面都是正方形的四棱柱，可以是底面為菱形的直棱柱，不一定是正方體，故選項C錯誤；
對于D，由棱柱定義知，棱柱的各側(cè)棱平行且相等，故側(cè)面是平行四邊形，故選項D正確。
故選：D。
答案：B
解析：如圖所示，大正方體分割為個，各面均沒有顏色的小正方體有個，所以答案為。
故選：B。
答案：C
解析：由題意可知，四邊形與四邊形相似，且，所以四邊形的面積為。
故選：C。
答案：C
解析：A圖表示圓柱，B圖表示球，C圖表示圓錐，D圖表示四棱柱。
故選：C。
答案：D
解析：根據(jù)一個平面圖形繞著它的一條邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體，球是由半圓繞著直徑旋轉(zhuǎn)得到的幾何體，所以球是旋轉(zhuǎn)體；一個幾何體圍成它的各個面都是多邊形，這個幾何體是多面體，由此判斷五棱柱、六棱柱、八棱臺都是多面體。
故選：D。
答案：A
解析：設(shè)圓錐底面圓半徑為，母線長為，則，解得，由圓錐的側(cè)面積為，得，即，所以。
故選：A。
答案：C
解析：
對于選項A，棱臺是由棱錐截得的，且上下底面應(yīng)該是相似的圖形，圖①中的幾何體不符合這兩個條件，所以①不是棱臺，故A錯誤；
對于選項B，圓臺的定義要求上下兩個面平行，而圖②中幾何體的上、下兩個面不平行，所以②不是圓臺，故B錯誤；
對于選項C，底面是三角形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，所以③是棱錐，故C正確；
對于D，有兩個面互相平行，其余各面是平行四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊平行的幾何體為棱柱，圖④滿足以上條件，所以④是棱柱，故D錯誤。
故選：C。
答案：A
解析：設(shè)棱臺的高為，棱臺上面截去的棱錐的高為，則，，所以，即。
故選：A。
答案：C
解析：由圖可知圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形，所以該圓柱的側(cè)面積為。
故選：C。
二、多選題
答案：AD
解析：
對于A中，由三棱錐的頂點數(shù)為4個，四棱柱的頂點數(shù)為8個，所以兩個幾何體的頂點數(shù)之和為12個，符合題意；
對于B中，由四棱錐的頂點數(shù)為5個，三棱柱的頂點數(shù)為6個，所以兩個幾何體的頂點數(shù)之和為11個，不符合題意；
對于C中，由四棱錐的頂點數(shù)為5個，四棱柱的頂點數(shù)為8個，所以兩個幾何體的頂點數(shù)之和為13個，不符合題意；
對于D中，由五棱錐的頂點數(shù)為6個，三棱柱的頂點數(shù)為6個，所以兩個幾何體的頂點數(shù)之和為12個，符合題意。
故選：AD。
答案：AB
解析：由圓柱定義易得選項A，B正確（B選項見下圖即可）；圓臺的母線延長必相交于一點，故選項C錯誤；一條平面曲線繞著它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)面；該定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸；封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫作旋轉(zhuǎn)體。故圓柱夾在兩個平行于底面的截面間的幾何體才是旋轉(zhuǎn)體，故選項D錯誤。
故選：AB。
答案：ABD
解析：連接，如圖所示：
直三棱柱中，，為正方形，，，平面，平面，，平面，，平面，平面，，A選項正確；
由直三棱柱的結(jié)構(gòu)特征，，故三棱錐的體積為定值，B選項正確；
設(shè)，，，，，，其幾何意義是點和點到點的距離之和，最小值為點到點的距離，為，C選項錯誤；
當(dāng)是的中點時，，，，，，，，設(shè)點到平面的距離為，由，得，，直三棱柱是正方體的一半，外接球的球心為的中點，外接球的半徑，點到平面的距離為，則過三點的平面截三棱柱外接球所得截面圓的半徑為，截面面積為，D選項正確。
故選：ABD。
三、填空題
答案：；
解析：
將側(cè)面繞著旋轉(zhuǎn)，使得側(cè)面和側(cè)面在同一平面內(nèi)，易知，當(dāng)三點共線時，取得最小值。
當(dāng)為線段中點時，記的中點為，的中點為，由正方體性質(zhì)可知，，，所以為平行四邊形，所以，易知，，所以為平行四邊形，所以，所以四點共面，即平面截正方體所得的截面為四邊形，因為，所以四邊形為菱形，所以。
答案：3
解析：半徑為的半圓弧長為，圓錐的底面圓的周長為，圓錐的底面半徑為，所以圓錐的高。
答案：
解析：題圖中的幾何體的軸截面如圖所示，
，所以是等腰直角三角形，又，則，設(shè)，則，又，故，所以所求截面面積。
四、解答題
答案：解：剩下的幾何體為五棱柱，截去的幾何體為三棱柱。
答案：解：如圖（1）所示，以所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，可得到一個圓柱和一個同底的圓錐；
如圖（2）所示，以所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，可得到一個圓臺挖去同上底的圓錐和一個與圓臺同下底的圓錐；
如圖（3）所示，以所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，可得到一個圓柱挖去一個同底的圓錐；
如圖（2）所示，以所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，可得到一個圓臺。

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