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第八章8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積
一、單選題
1.如圖，八面體的每個面都是正三角形，并且4個頂點，，，在同一平面內，若四邊形是邊長為2的正方形，則這個八面體的表面積為（ ）
A. 8 B. 16 C. D.
2.一個直角三角形的兩條直角邊長分別為1和2，將該三角形分別繞這兩個直角邊所在直線旋轉得到的兩個圓錐的體積的比值為（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
3.正方體的八個頂點中，有四個恰好為正四面體的頂點，則正方體的表面積與正四面體的表面積之比為（ ）
A. B. C. D.
4.已知棱長為2，各面均為等邊三角形的四面體，則其表面積為（ ）
A. 12 B. C. D.
5.如圖所示，四面體的體積為，點為棱的中點，點，分別為線段的三等分點，點為線段的中點，過點的平面與棱，，分別交于，，，設四面體的體積為，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
6.已知正方體的棱長為2，一只螞蟻在該正方體的表面上爬行，在爬行過程中，它到點的直線距離均為，它爬行的軌跡是一條封閉的曲線，則曲線的長度是（ ）
A. B. C. D.
二、多選題
7.用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，得到上、下兩部分幾何體且上下兩部分的高之比為，則關于上下兩幾何體的說法正確的是（ ）
A. 側面積之比為 B. 側面積之比為
C. 體積之比為 D. 體積之比為
8.在長方體上任意選取不共面的4個頂點，由這4個頂點構成的幾何體中，則（ ）
A. 存在三個面為直角三角形的四面體
B. 存在每個面都是直角三角形的四面體
C. 存在每個面都是全等三角形的四面體
D. 四面體的體積為該長方體體積的六分之一
9.如圖，四邊形為正方形，平面，，，記三棱錐，，的體積分別為，，，則（ ）
A. B.
C. D.
三、填空題
10.如圖，是棱長為的正方體的棱的中點，沿正方體表面從點到點的最短路程是______。
11.如圖①，一個正三棱柱容器，底面邊長為，高為，內裝水若干，將容器放倒，把一個側面作為底面，如圖②，這時水面恰好為中截面，則圖①中容器內水面的高度是_________。
12.三棱錐的三條側棱兩兩垂直，長分別為1，2，3，則這個三棱錐的體積為______。
四、解答題
13.如圖，在四棱錐中，側面底面，底面為矩形，，為的中點，。
(1) 求證：；
(2) 若與平面所成的角為，，求四棱錐的的體積。
14.已知一個正三棱柱的側面展開圖是一個長為，寬為的矩形，求此正三棱柱的體積。
15.正四棱臺的底面邊長分別為和，側面積為，求其體積。
一、單選題
1.答案：C
解析：每個面的面積為，所以該圖形的表面積為。 故選：C。
2.答案：B
解析：繞長為的直角邊所在直線旋轉得到的圓錐的體積為，繞長為的直角邊所在直線旋轉得到的圓錐的體積為，體積的比值為。
3.答案：B
解析：正方體的棱長為，此時正四面體的棱長為，則正方體的表面積為，正四面體的表面積為，兩者之比為。 故選：B。
4.答案：C
解析：棱長為，各面均為等邊三角形的四面體，其表面積為：。 故選：C。
5.答案：C
解析：連接，點為棱的中點，點為線段的中點，點，分別為線段的三等分點。
所以；
令，則，。
，，，四點共面，（當且僅當時取等號），。
設點到平面的距離為，則點到平面的距離為，又，，
，即的最小值為。 故選：C。
6.答案：D
解析：根據題意可知，封閉的曲線上的點到點的距離均為，在正方體上形成的封閉曲線如圖所示。
曲線只能在側面，側面和上底面上。在側面上，曲線是以點為圓心，半徑為的四分之一圓，其長度為。同理，在側面上，曲線是以點為圓心，半徑為的四分之一圓，其長度為。在上底面上，曲線是以點為圓心，半徑為的四分之一圓，其長度為。故曲線的長度為。
二、多選題
7.答案：BD
解析：依題意，上部分為小棱錐，下部分為棱臺，所以小棱錐與原棱錐的底面邊長之比為，高之比為，所以小棱錐與原棱錐的側面積之比為，體積之比為，即小棱錐與棱臺的側面積之比為，體積之比為。
8.答案：ABC
解析：如圖—四面體符合選項的要求；如圖—四面體符合選項的要求；如圖二當為正方體時容易知道正四面體符合的要求，且的體積不是長方體的六分之一故不正確。 故選：ABC。
9.答案：CD
解析：如圖，連接交于，連接，。
設，則，。
因為平面，，所以平面，
所以，
。
因為平面，平面，所以，又，且，，平面，所以平面。因為，平面，所以，。
易知，，，，，所以，所以。又，，平面，所以平面，
所以，
所以，，，，所以選項，不正確，選項，正確。故選。
三、填空題
10.答案：
解析：由題意，若以為軸展開，則，兩點連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長度分別為，，故兩點之間的距離是。若以為軸展開，則，兩點連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長度分別為，，故兩點之間的距離是。故沿正方體表面從點到點的最短路程是。
11.答案：
解析：設題圖①中容器內水面的高度為，水的體積為，則。又題圖②中水組成了一個直四棱柱，其底面積為，高度為，則，故。
12.答案：
解析：如圖所示，設，，，且，，兩兩垂直，所以。
四、解答題
13.答案
(1) 證明：連接，因，為的中點，故。
側面底面，側面底面，側面，平面，因為平面，，，
，，，平面，平面，，又，，，平面，故平面，所以。
(2) 解：在矩形中，由(1)得，所以，故。
側面底面，側面底面，因為底面為矩形，所以，平面，平面，平面，，為直線與平面所成的角，，，，
連接，則，所以平面，為四棱錐的的高，
在中，，，，。
14.答案：解 設正棱柱的高為，底面等邊三角形的邊長為。
①若正三棱柱的底面周長為，則高，，，，。
②若正三棱柱的底面周長為，則高，，，，，
故該正三棱柱的體積為或。
15.答案：解：正四棱臺的大致圖形如圖所示，其中，，取的中點，的中點，則為斜高。
設，分別是上、下底面的中心，則四邊形為直角梯形。
，。
在直角梯形中，，，
，
該正四棱臺的體積為。

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