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第八章8.3.2 圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積
一、單選題
1.已知一圓柱的底面半徑為2，體積為，若該圓柱的底面圓周都在球的表面上，則球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
2.一個正方體表面積與一個球表面積相等，那么它們的體積比是（ ）
A. B. C. D.
3.一個由兩個圓柱組合而成的密閉容器內裝有部分液體，小圓柱底面半徑為，大圓柱底面半徑為，如圖①放置容器時，液面以上空余部分的高為，如圖②放置容器時，液面以上空余部分的高為，則等于（ ）
A. B. C. D.
4.青銅大圓鼎（圖1），厚立方耳、深鼓腹、圓底，三柱足略有蹄意，收藏于甘肅省博物館。它的主體部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（圖2），忽略鼎壁厚度，已知半球的半徑為米，圓柱的高近似于半球的半徑，則此鼎的容積約為（ ）
A. 立方米 B. 立方米 C. 立方米 D. 立方米
5.設正四棱錐的底面中心為，以為球心的球面與正四棱錐的所有棱均相切，若正四棱錐的體積為，則球的體積為（ ）
A. B. C. D.
6.我國有著豐富悠久的“印章文化”，古時候的印章一般用貴重的金屬或玉石制成，本是官員或私人簽署文件時代表身份的信物，后因其獨特的文化內涵，也被作為裝飾物來使用。圖1是明清時期的一個金屬印章擺件，除去頂部的環可以看作是一個正四棱柱和一個正四棱錐組成的幾何體；如圖2，已知正四棱柱和正四棱錐的體積之比為，且該幾何體的頂點均在體積為的球的表面上，則該幾何體的表面積為（ ）
A. B. C. D.
二、多選題
7.沙漏是古代的一種計時裝置，它由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，細沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙時。如圖，某沙漏由上下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為，細沙全部在上部時，其高度為圓錐高度的（細管長度忽略不計）。假設該沙漏每秒鐘漏下的沙，且細沙全部漏入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆。以下結論正確的是（ ）
A. 沙漏中的細沙體積為
B. 沙漏的體積是
C. 細沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為
D. 該沙漏的一個沙時大約是秒
8.已知三棱柱的底面為直角三角形，側棱長為，體積為，若此三棱柱的頂點均在同一球面上，則該球半徑的長度可以為（ ）
A. B. C. D.
9.如圖，在棱長為的正方體中，為線段的中點，為線段上的動點（含端點），則下列結論正確的有（ ）
A. 三棱錐的體積為
B. 直線與下底面所成角的正弦值為
C. 為線段的中點時，過，，三點的平面截正方體所得截面的周長為
D. 三棱錐的外接球體積的最大值為
三、填空題
10.如圖所示，已知一個組合體上面是一個正四棱柱，下面是一個半球，正四棱柱的底面邊長為，高為，半球的半徑為，則該幾何體的體積是_______，表面積是_______。
11.已知底面是正六邊形的六棱錐的七個頂點均在球的表面上，底面正六邊形的邊長為。若該六棱錐體積的最大值為，則球的表面積為_____。
12.已知圓臺的上下底面半徑分別為，側面積為，在圓臺內部放置一個正四面體，使其可以任意轉動，則該正四面體的體積的最大值為____。
四、解答題
13.如圖，正四棱臺是一塊鐵料，上、下底面的邊長分別為和，，分別是上、下底面的中心，棱臺高為。
(1) 求正四棱臺的表面積；
(2) 若將這塊鐵料最大限度地打磨為一個圓臺，求圓臺的體積。
14.在一個如圖所示的直角梯形內挖去一個扇形，恰好是梯形的下底邊的中點，將所得平面圖形繞直線旋轉一圈，求所得幾何體的表面積和體積。
15.如圖，在直徑為的半圓內有一個直角三角形，其中，，將圖中陰影部分，以所在直線為旋轉軸旋轉形成一個幾何體，求該幾何體的表面積及體積。
一、單選題
1.答案：B
解析：設圓柱的高為，底面半徑為，由題意可得，解得。因為該圓柱的底面圓周都在球的表面上，設球的半徑為，則，即，，所以球的表面積為。 故選：B。
2.答案：A
解析：設正方體的棱長為，球的半徑為，由得，。
3.答案：B
解析：在圖①中，液面以上空余部分的體積為；在圖②中，液面以上空余部分的體積為。因為，所以 。
4.答案：B
解析：已知半球半徑米，圓柱底面半徑米，圓柱高米，則此鼎容積立方米。答案選B。
5.答案：B
解析：如圖，
取的中點，正方形的中心為，連接，。設球的半徑為，則，球與正四棱錐的各棱均相切，則底面正方形棱長為。過作，則， ，，為等腰直角三角形，，，為等腰直角三角形，所以。正四棱錐的體積為，所以，，球的半徑為，則球的體積為。 故選：B。
6.答案：A
解析：因為球的體積為，所以球的半徑。因為正四棱柱和正四棱錐的體積之比為，且共一個底面，所以正四棱柱和正四棱錐的高相等。設正四棱柱和正四棱錐的高都為，設正四棱柱的底面正方形的邊長為，作底面，交平面于，易知，分別為中心，根據對稱性可知該幾何體的外接球的直徑為正四棱柱的體對角線，設球心為，則為中點，所以，即。又，，，，。作，則為中點，且 ，該幾何體的表面積為。
故選：A。
二、多選題
7.答案：AC
解析：對于A，設細沙在上部時，細沙的底面半徑為，則，所以細沙的體積為，故A正確；對于B，沙漏的體積，故B錯誤；對于C，設細沙流入下部后的高度為，根據細沙體積不變可知：，解得，故C正確；對于D，該沙漏的一個沙時為：秒，故D錯誤。
8.答案：BCD
解析：因為三棱柱內接于球，所以棱柱各側面均為平行四邊形且內接于圓，所以棱柱的側棱都垂直底面，所以該三棱柱為直三棱柱。設底面三角形的兩條直角邊長為，，因為三棱柱的高為，體積是，所以，即。將直三棱柱補成一個長方體，則直三棱柱與長方體有同一個外接球，所以球的半徑。又因（當且僅當時取等號），，因此該球的半徑可以取，與。
9.答案：ABD
解析：對于A：為線段上的動點，又平面，所以，正確；對于B：連接，因為面，所以為直線與下底面所成角，所以，正確；
對于C：連接，，明顯有，所以過，，三點的平面截正方體所得截面為四邊形，四邊形的周長為，錯誤；
對于D：因為，，兩兩垂直，所以三棱錐的外接球半徑為，故當最大時，三棱錐的外接球半徑最大，此時，，此時體積為，正確。
故選：ABD。
三、填空題
10.答案： ；
解析：組合體體積 。因為該幾何體的表面積為正四棱柱的四個側面面積 + 半球的表面積 + 半球的上面大圓的面積，所以幾何體的表面積為。
11.答案：
解析：根據幾何知識可知，當六棱錐為正六棱錐時，體積最大。因為底面正六邊形的邊長為，所以底面外接圓的半徑為，正六棱錐的底面積。設正六棱錐的高為，，即，解得。設六棱錐外接球的半徑為，可得，解得。球的表面積為。
12.答案：
解析：圓臺的上下底面中心分別為，，上底面半徑，下底面半徑 ，由側面積為，圓臺母線長 。
設圓臺內能放置的最大球的球心為，且與底面和母線分別切于，兩點，則，所以， ，則，可得球的半徑，球的直徑為，即此時球與圓臺上底面不相切，該球的內接正四面體就是在圓臺內可以任意轉動的最大的正四面體，正四面體可擴成正方體，正四面體的棱是正方體的面對角線，
正四面體的外接球也是正方體的外接球。設正方體的棱長為，則有， ，則正四面體的體積為 。故答案為： 。
四、解答題
13.答案：
(1) 解：如圖，正四棱臺的每個側面皆為全等的等腰梯形。
分別取，的中點，，連接，，，過點作于，則，，， ，故由勾股定理可得： ，所以正四棱臺的表面積為 ；
(2) 若要這塊鐵料最大限度打磨為一個圓臺，則圓臺的上下底面圓與正四棱臺的上下底面正方形相切，高為正四棱臺的高。則圓臺的上底面半徑，下底面半徑，高，則圓臺的體積為。
14.答案：解：根據題意知，將所得平面圖形繞直線旋轉一圈后，所得幾何體是上部是圓錐，下部是圓柱挖去一個半球體的組合體。
則該組合體的表面積為；
組合體的體積為。
15.答案：解：如圖，設點對應的直徑的另一端點為，連接。該平面圖形旋轉后形成的幾何體是半個球挖掉半個圓錐。由題知，半圓半徑，，，。
，，，。
。

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