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2025年秋期湘教版數學（2024）八年級上冊期末試題
一、單選題
1．如圖，在三角形中，，平分，平分，其角平分線相交于，則（　　）
A． B． C． D．
2．下列計算正確的是（　　）
A．x2 x3＝x6 B．x6÷x4＝x2
C．（x3）2＝x9 D．（x3y2）3＝x6y5
3．數學課上老師布置了“測量錐形瓶內部底面的內徑”的探究任務，善思小組想到了以下方案：如圖，用螺絲釘將兩根小棒，的中點固定，只要測得，之間的距離，就可知道內徑的長度．此方案依據的數學定理或基本事實是（　　）
A．邊角邊 B．角邊角
C．邊邊邊 D．全等三角形的對應角相等
4．下列計算正確的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列各圖中，分別是三角形的邊長，由甲、乙、丙三個三角形中標注的信息，能確定與左側全等的是（　　）
A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．只有丙
6．如圖，已知是的角平分線，是邊上的高，若，，則的大小是（　　）
A． B． C． D．
7．如圖，，點A和點D是對應頂點，點B和點E是對應頂點，過點A作，垂足為點F，若，則的度數為（　　）
A． B． C． D．
8．如圖，D，E分別在等邊三角形的邊的延長線上，，，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
9．如圖，已知，P為下方一點，G，H分別為，上的點，，（，且，均為銳角），與的角平分線交于點F，平分，交直線于點E，下列結論：①；②；③若，則．其中正確結論的序號是（　　）
A．①②③ B．②③ C．③ D．②
10．如圖，圓柱形玻璃杯高為11cm，底面周長為30cm，在杯內壁離杯底5cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處爬行到內壁B處的最短路線長為（　　）(杯壁厚度不計)
A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm
二、填空題
11．已知：，，則 　 　．
12．如圖，，，若要證明，需要補充的個條件是　 　．（寫出一個即可）
13．如圖，，平分，，下列結論：①；②；③；④若，則，其中結論正確的是　 　（填序號）
14．如圖，于C，E是上一點，，平分平分，則：與之間的數量關系為　 　．
15．如圖中，與的平分線相交于H，過點H作交于E，交于F，于D，以下四個結論①；②；③點H到各邊的距離相等；④若B，H，D三點共線時，一定為等腰三角形．其中正確結論的序號為 　 　．
16．如圖，以的邊、為腰分別向外作等腰直角、，連結、、，過點的直線分別交線段、于點、，以下說法：①當時，；②；③若，，，則；④當直線時，點為線段的中點．正確的有　 　．(填序號)
三、計算題
17．計算：．
18．用簡便方法計算.
（1） ；
（2） ；
（3） .
19．因式分解：．
四、解答題
20．如圖，AD平分∠BAC，AB=AC， ABD與 ACD全等嗎？說明理由．
21．已知，，求代數式的值
22．已知兩個正方形的邊長分別為 和 ， 且 ， 兩個正方形的周長差為 ， 它們的面積相差 ．
（1） 求 的值．
（2）求這兩個正方形的邊長．
23．一架梯子AB長25m，如圖斜靠在一面墻上，梯子底端B離墻7m．
（1）這個梯子的頂端距地面有多高？
（2）如果梯子的頂端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向也滑動了4m嗎？如果不是，梯子的底端在水平方向上滑動了多長的距離呢？
24．現有A、B兩種商品，已知買一件A商品要比買一件B商品少30元，用160元全部購買A商品的數量與用400元全部購買B商品的數量相同．
（1）求A、B兩種商品每件各是多少元？
（2）如果小亮準備購買A、B兩種商品共10件，總費用不超過380元，且不低于300元，問有幾種購買方案，哪種方案費用最低？（羅湖實驗聶霞供）
25．如圖①，點P、Q分別是邊長為4cm的等邊邊AB、BC上的動點，點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，且它們的速度都為1cm/s，設運動時間為t（s).
（1）當t＝　 　s時，△PBQ是等邊三角形；
（2）連接AQ、CP，交于點M，則在P、Q運動的過程中， ∠CMQ的度數是否發生變化？若變化，說明理由；若不變，請求出它的度數；
（3）求t為何值時，△PBQ是直角三角形；
（4）如圖②，若點P、Q在運動到終點后繼續在射線AB、BC上向前運動，直線AQ、CP交于點M ，請直接寫出∠CMQ的度數．
答案解析部分
1．【答案】C
【知識點】三角形內角和定理
2．【答案】B
【知識點】同底數冪的乘法；同底數冪的除法；積的乘方運算；冪的乘方運算
3．【答案】A
【知識點】三角形全等的判定-SAS
4．【答案】A
【知識點】同底數冪的乘法；同底數冪的除法；完全平方公式及運用；冪的乘方運算
5．【答案】C
【知識點】三角形全等的判定
6．【答案】D
【知識點】三角形的角平分線、中線和高；三角形內角和定理
7．【答案】A
【知識點】三角形全等及其性質；直角三角形的性質
8．【答案】A
【知識點】等邊三角形的判定與性質；三角形全等的判定-SAS
9．【答案】A
【知識點】平行線的性質；三角形外角的概念及性質；角平分線的概念
10．【答案】B
【知識點】勾股定理的實際應用-最短路徑問題
11．【答案】
【知識點】同底數冪的除法
12．【答案】
【知識點】三角形全等的判定
13．【答案】①②④
【知識點】平行線的性質；角平分線的性質
14．【答案】2∠H+∠ACF=180°
【知識點】平行線的性質；三角形外角的概念及性質；角平分線的性質
15．【答案】②③④
【知識點】三角形內角和定理；角平分線的性質；等腰三角形的判定與性質
16．【答案】①②④
【知識點】三角形全等及其性質；直角三角形全等的判定-HL；等邊三角形的判定與性質；勾股定理
17．【答案】
【知識點】二次根式的乘除混合運算
18．【答案】（1）解：
（2）解：
.
（3）解：
=
=(7.2+7.8)×(7.2-7.8)
=-15×0.6
=-9.
【知識點】平方差公式及應用；因式分解的應用
19．【答案】解：
=
=
=
【知識點】因式分解﹣十字相乘法
20．【答案】解： ．
理由如下：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
在 ABD與 ACD中，
，
∴
【知識點】三角形全等的判定-SAS
21．【答案】50
【知識點】因式分解的應用；求代數式的值-整體代入求值
22．【答案】（1）解 ∵兩個正方形的周長差為
∴4x-4y=96
∴x-y=24
∵面積相差
∴x2-y2=960
∴(x+y)(x-y)=960
∴x+y=40
故答案為：24，cm，40cm.
（2）由（1）知：，解得：
∴這兩個正方形的邊長為：32cm，8cm.
故答案為：32cm，8cm.
【知識點】因式分解的應用
23．【答案】（1）這個梯子的頂端距地面有24米高；（2）梯子底部在水平方向不是滑動了4米，而是8米．
【知識點】勾股定理的實際應用-梯子滑動問題
24．【答案】（1）解：設A商品每件x元，則B商品每件（30+x）元，
根據題意，得：，
經檢驗：是原方程的根且符合題意，
答：A商品每件20元，則B商品每件50元．
（2）解：設購買A商品a件，則購買B商品共（10-a）件，
列不等式組：300≤20 a+50 （10-a）≤380，
解得：4≤a≤6.7，
∵a取整數，
∴a=4，5，6．
答：有三種方案：
①A商品4件，則購買B商品6件；費用：4×20+6×50=380（元），
②A商品5件，則購買B商品5件；費用：5×20+5×50=350（元），
③A商品6件，則購買B商品4件；費用：6×20+4×50=320（元），
方案③費用最低．
【知識點】分式方程的實際應用-銷售問題；一元一次不等式組的實際應用-銷售問題
25．【答案】（1）2
（2）解：∠CMQ＝60°不變．
∵點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發 ，且它們的速度都為1cm/s.
∴AP＝BQ，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AB＝AC，
在△ABQ與△CAP中，
，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ＝∠ACP，
∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°；
（3）解：設時間為t（s），則AP＝BQ＝t（cm）， PB=（4-t）（cm），
①當∠PQB＝90°時，
∵∠ABC＝60°，
∴PB＝2BQ，即4-t＝2t，
∴；
②當∠QPB＝90°時，
∵∠ABC＝60°，
∴BQ＝2BP，即t＝2（4-t），
∴；
∴當t為或時，△PBQ為直角三角形；
（4）解：∵△ABC是等邊三角形，
∴BC＝AC，∠ABC＝∠CAP＝60°，
∴∠PBC＝∠ACQ＝120°，
∵AP＝BQ，
∴BP＝CQ，
在△PBC與△QCA中，
，
∴△PBC≌△QCA（SAS），
∴∠BPC＝∠MQC，
又∵∠PCB＝∠MCQ，
∴∠CMQ＝∠PBC＝180°-60°＝120°．
【知識點】全等三角形的實際應用；等邊三角形的性質；直角三角形的性質
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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