資源簡介

廣西大學附屬中學2024-2025學年下學期九年級開學考試數學
一、單選題
1．2024年6月5日，是二十四節氣的芒種，二十四節氣是中國勞動人民獨創的文化遺產，能反映季節的變化，指導農事活動．下面四副圖片分別代表“芒種”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心對稱圖形的是（ ）
A． B． C． D．
2．年我國的北斗衛星導航系統星座部署完成，其中一顆中高軌道衛星高度大約是米．將數字用科學記數法表示為（ ）
A． B． C． D．
3．下列計算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如圖，轉動質地均勻的正六邊形轉盤一次，當轉盤停止轉動時，指針指向的數小于4的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．不等式組的解集在數軸上表示為（ ）
A． B．
C． D．
6．如圖為甲、乙、丙、丁四名射擊運動員在賽前的某次射擊選拔賽中，各射擊10次成績的折線圖和表示平均數的水平線，經過計算，四人成績的方差關系為：s甲2＝s乙2，s丙2＝s丁2，要從中選擇一名成績好又發揮穩定的運動員參加比賽，應該選擇（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．如圖，在Rt中，，，將繞點C順時針旋轉至使得點恰好落在上，則旋轉角度為（ ）
A． B． C． D．
8．小明與家人乘車去翠湖游玩然后返回家中，小明與小明家的距離與所用時間的對應關系如圖所示，以下說法錯誤的是（ ）
A．小明全家去翠湖時的平均速度為
B．小明全家停車游玩了4.5小時
C．小明全家返回時的平均速度為
D．小明全家出發后，距家90千米時，所用時間為小時
9．如圖，圓錐體的高，底面圓半徑，則該圓錐體的側面積是（ ）
A． B． C． D．
10．一次函數與二次函數在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
11．李老師逛超市時看中一套碗，她將碗疊成一列（如圖），測量后發現：用2個碗疊放時總高度為，用4個碗疊放時總高度為．若將8個碗疊成一列能放入消毒柜，則這個消毒柜的內置高度至少有（）
A． B． C． D．
12．如圖，在平面直角坐標系中，四邊形的邊與軸的正半軸重合，，軸，對角線交于點．已知的面積為4.若反比例函數的圖象恰好經過點，則的值為（ ）
A． B． C． D．12
二、填空題
13．在平面直角坐標系中，點關于原點對稱的點的坐標是 ．
14．已知3是關于的方程的一個根，則這個方程的另一個根是 .
15．已知二次函數的圖象上，當時，隨的增大而減小，則的取值范圍是 ．
16．如圖，在中，，．正方形的邊長為，它的頂點D，E，G分別在的邊上，則的長為 ．
三、解答題
17．（1）計算：；
（2）分式化簡：．
18．如圖，在中，，D是的中點，，，．
(1)求證：四邊形是矩形；
(2)若，求的長．
19．如圖所示的拱橋，用弧表示橋拱．

(1)若弧所在圓的圓心為，是弦的垂直平分線，請你利用尺規作圖，找出圓心．（不寫作法，但要保留作圖痕跡）
(2)若拱橋的跨度（弦的長）為，拱高（弧的中點到弦的距離）為，求拱橋的半徑．
20．數學文化有利于激發學生數學興趣．某校為了解學生數學文化知識掌握的情況，從該校七、八年級學生中各隨機抽取10名學生參加了數學文化知識競賽，并對數據（百分制）進行整理、描述和分析（成績均不低于70分，用表示，共分三組：A．，B．，C．），下面給出了部分信息：
七年級10名學生的競賽成績是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．
八年級10名學生的競賽成績在B組中的數據是：80，83，88，88．
七、八年級抽取的學生競賽成績統計表
年級 平均數 中位數 眾數
七年級 86 87
八年級 86 90
根據以上信息，解答下列問題：
(1)填空：________，________，________；
(2)根據以上數據，你認為該校七、八年級中哪個年級學生數學文化知識較好？請說明理由（寫出一條理由即可）；
(3)該校七年級學生有500人，八年級學生有400人．估計該校七、八年級學生中數學文化知識為“優秀”的總共有多少人？
21．如圖，等邊的邊長為4，點在邊上運動，過點作于點，過點作，交于點，連接，設，的面積為．
(1)求與的函數關系式，并確定自變量的取值范圍；
(2)當為何值時，的面積有最大值？并求出最大值；
22．綜合與實踐
【問題提出】
在探究“四點共圓的條件”的數學活動課上，小霞小組通過探究得出：在平面內，一組對角互補的四邊形的四個頂點共圓．請應用此結論，解決以下問題：
如圖1，中，，．點是邊上的一動點（點不與，重合），將線段繞點A順時針旋轉到線段，連接．
【初步感知】
（1）求證：A，，，四點共圓；
【深入探究】
（2）如圖2，當時，是四邊形的外接圓，求證：是的切線；
【延伸探究】
（3）已知，，點是邊的中點，此時是四邊形的外接圓，求出圓心與點距離的最小值．
23．如圖，拋物線過點，頂點為．拋物線（其中為常數，且），頂點為．

(1)求出的值和點的坐標．
(2)當時，作直線，當與的交點到軸的距離恰為6時，求與軸交點的橫坐標．
(3)設與的交點A，B的橫坐標分別為，，且，點在上，橫坐標為．點在上，橫坐標為，若點是到直線的距離最大的點，最大距離為，點到直線的距離恰好也為，請用含和的式子表示．
參考答案
1．D
解：A．不是中心對稱圖形，故A選項不合題意；
B．不是中心對稱圖形，故B選項不合題意；
C．不是中心對稱圖形，故C選項不合題意；
D．是中心對稱圖形，故D選項合題意；
故選：D．
2．B
解：
故選：B．
3．B
解：A. ，計算錯誤；
B. ，計算正確；
C. ，計算錯誤；
D. ，計算錯誤；
故選：B．
4．D
解：∵任意轉動正六邊形轉盤一次，有6種等可能結果，當轉盤停止轉動時，指針指向小于4的數的有1、2、3這3種結果，
∴指針指向大于4的數的概率是．
故選：D．
5．C
解：解不等式得，
∴不等式組的解集為，
∴解集在數軸上表示如圖：
故選：C．
6．A
解：由折線統計圖知甲、丙的平均成績高于乙、丁，
由甲成績相對于平均成績的波動幅度小于丙成績相對于平均成績的波動幅度，
∴這四人中甲的平均成績好又發揮穩定，
故選A．
7．B
解：由題意得：，
∴；
∵，
∴，
∴，
故選：B．
8．D
A． 小明全家去翠湖時的平均速度為，原說法正確，不符合題意；
B． 小明全家停車游玩了小時，原說法正確，不符合題意；
C． 小明全家返回時的平均速度為，原說法正確，不符合題意；
D． 小明全家出發后，距家90千米時，所用時間為或小時，原說法錯誤，符合題意；
故選：D．
9．C
解：∵圓錐的母線長是 ，
∴底面周長是
∴圓錐體的側面積是：
故選C．
10．B
解：A、二次函數圖象開口向上，對稱軸在軸右側，
，，
一次函數圖象應該過第一、三、四象限，A錯誤；
B、二次函數圖象開口向上，對稱軸在軸左側，
，，
一次函數圖象應該過第一、二、三象限，B正確；
C、二次函數圖象開口向下，對稱軸在軸右側，
，，
一次函數圖象應該過第一、二、四象限，C錯誤；
D、二次函數圖象開口向下，對稱軸在軸左側，
，，
一次函數圖象應該過第二、三、四象限，D錯誤．
故選：B．
11．C
解：設一個碗的高度為，增加一個碗高度增加，
由題意得：
解得：
個碗疊成一列高度為，
即將8個碗疊成一列正好能放入消毒柜，則這個消毒柜的高度至少有，
故選：C．
12．B
解：過點M作ME⊥x軸于點E，如圖所示：
∵軸，
∴ME∥BD，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵的面積為4，
∴，
∵，
∴，
由題可知△OMB、△OBD的高是相同的，則有，
∴，
∵ME∥BD，
∴，
∴，
∴，
由反比例函數k的幾何意義可得：，
∵，
∴；
故選B．
13．
解：在平面直角坐標系中，點關于原點對稱的點的坐標是，
故答案為：．
14．2
方程另一根為x，由根與系數的關系得：x+3=5，解得：x=2．
故答案為2．
15．
解：二次函數的圖象開口向上，對稱軸為直線，
∴當時，隨的增大而減小，
∵當時，隨的增大而減小，
∴，
故答案為：．
16．
解：過點作，則：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
設，則：，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
∴，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案為：．
17．（1）3；（2）
解：（1）
；
（2）
．
18．(1)證明見解析
(2)
（1）證明：∵， D是BC的中點，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴四邊形是矩形．
（2）由（1）可知四邊形是矩形．
∴，，，
∵D是的中點，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴
即，
∴．
19．(1)見解析
(2)拱橋的半徑為米
（1）解：如圖所示，作的垂直平分線，交于點，

（2）解：如圖，

設為的中點，交于點，
∵，
∴，，
設拱橋的半徑為，在中，，，
∵，
∴
解得：
∴拱橋的半徑為米．
20．(1)88；87；40
(2)八年級學生數學文化知識較好，理由見解析
(3)310人
（1）解：八年級C組的人數為人，而八年級B組有4人，則把八年級10名學生的成績按照從低到高排列，處在第5名和第6名的成績分別為88分，88分，
∴八年級學生成績的中位數；
∵七年級10名學生成績中，得分為87分的人數最多，
∴七年級的眾數；
由題意得，，
∴；
故答案為：88；87；40；
（2）解：八年級學生數學文化知識較好，理由如下：
∵兩個年級10名學生的平均成績相同，但是八年級學生成績的中位數和眾數都比七年級學生成績的高，
∴八年級學生數學文化知識較好；
（3）解：人，
∴估計該校七、八年級學生中數學文化知識為“優秀”的總共有310人．
21．(1)
(2)當時，的面積有最大值，最大值為
（1）解：∵等邊的邊長為4，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，又，
∴，則，
∵，
∴，，，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴的面積，
∵D在上，
∴，即，
∴；
（2）解：由于，
∵，，
∴當時，y取最大值，最大值為，
答：當時，的面積有最大值，最大值為．
22．（1）見解析；（2）見解析；（3）
（1）證明：由旋轉的性質可得，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴A、B、D、E四點共圓；
（2）證明：如圖所示，連接，
∵，
∴，
∵是四邊形的外接圓，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵是的半徑
∴是的切線；
（3）解：如圖所示，作線段的垂直平分線，分別交于G、F，連接，
∵，
∴，
∵點M是邊的中點，，
∴，，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴，
在中，，
∴，
由得，
∴，
∵是四邊形的外接圓，
∴點P一定在的垂直平分線上，
∴點P在直線上，
∴當時，有最小值，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∴圓心P與點M距離的最小值為．
23．(1)，
(2)或
(3)
（1）解：∵拋物線過點，頂點為Q．
∴，
解得：，
∴拋物線為：，
∴；
（2）解：當時，，
∴頂點，而，
∴設為，
∴，
解得：，
∴為；
如圖，由題意，時兩直線重合不符合題意，
∴，
解得，
∴交點，交點，
當直線過點時，
由直線，設直線為，
∴，
解得：，
∴直線為：，
當時，，
此時直線與軸交點的橫坐標為；
同理當直線過點，
直線為：，
當時，，
此時直線與軸交點的橫坐標為，
綜上，直線與軸交點的橫坐標為或；
（3）解：如圖，∵，，
∴是由通過旋轉，再平移得到的，兩個函數圖象的形狀相同，
如圖，連接交于，連接，，，，
∴四邊形是平行四邊形，
當點M是到直線PQ的距離最大的點，最大距離為d，點N到直線PQ的距離恰好也為d，
此時與B重合，與A重合，
∵，，
∴的橫坐標為，
∵，，
∴的橫坐標為，
∴，
解得：；

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