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絕密★啟用前
2024-2025學年甘肅省武威九中八年級（下）期末數學試卷
注意事項:
1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效。
3.考試結束后，本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.若二次根式有意義，則的取值范圍為
A. B. C. D.
2.下列計算正確的是( )
A. B. C. D.
3.如圖，在中，，，，則( )
A.
B.
C.
D.
4.如圖， 中，的平分線交于，，，則的長( )
A. B. C. D.
5.如圖，已知在矩形中，于點，，則的度數是( )
A.
B.
C.
D. 以上都不對
6.如圖，在中，，，點，分別是邊，中點，點在線段上，且，則的長為( )
A.
B.
C.
D.
7.在端午節到來之前，學校食堂推薦了，，三家粽子專賣店，對全校師生愛吃哪家店的粽子作調查，以決定最終向哪家店采購，下面的統計量中最值得關注的是( )
A. 方差 B. 平均數 C. 中位數 D. 眾數
8.下列各點在正比例函數圖象上的是( )
A. B. C. D.
9.如圖，一次函數的圖象與的圖象相交于點，則方程組的解為( )
A.
B.
C.
D.
10.如圖，甲乙兩人以相同路線前往離學校千米的地方參加植樹活動，圖中，分別表示甲乙兩人前往目的地所行駛的路程與時間的關系根據圖象判斷下列說法錯誤的是( )
A. 甲比乙早出發
B. 甲行駛的路程與時間的函數關系式為
C. 甲的速度是，乙的速度是
D. 乙出發后兩人相遇，這時他們離學校
二、填空題：本題共8小題，每小題3分，共24分。
11.化簡 ______．
12.中國結寓意團圓美滿，以獨特的東方神韻體現中國人民的智慧和深厚的文化底蘊小豐家有一個菱形中國結裝飾如圖所示，其示意圖如圖所示，測得，，則菱形的面積為______．
13.一次函數的圖象向上平移個單位長度后，所得圖象的解析式為______．
14.如圖，在平面直角坐標系中，點，，點為線段的中點，則點的坐標為______．
15.若點，在一次函數圖象上，則 ______填，或．
16.已知，，是一個三角形的三條邊，且滿足，則這個三角形的面積是______．
17.如圖，將矩形紙片折疊，使邊落在對角線上，折痕為，且點落在對角線處若，，則 ______．
18.有一個邊長為的正方形，經過一次“生長”后在它的上側生長出兩個小正方形如圖，且三個正方形所圍成的三角形是直角三角形；再經過一次“生長”后變成了圖，如此繼續“生長”下去，則“生長”第次后所有正方形的面積和為______．
三、解答題：本題共8小題，共66分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
19.本小題分
計算：
；
．
20.本小題分
先化簡，再求值：，其中．
21.本小題分
為大力弘揚中華優秀傳統文化，引導學生從千年中華傳統文化中汲取養分，推動文化自信自強某校開展了“誦國家經典，承傳統文化”朗誦比賽活動，七年級和八年級各有名學生參加競賽，學校為了解這兩個年級的成績情況，進行了抽樣調查，過程如下：
收集數據
從七、八兩個年級各隨機抽取名學生，在這次競賽中他們的成績如下：
七年級
八年級
整理數據
成績
人數
年級
七年級
八年級
說明：優秀成績為，良好成績為，合格成績為
分析數據
兩組樣本數據的平均分、中位數、眾數、方差如表所示：
平均分 中位數 眾數 方差
七年級
八年級
請解答下列問題：
______； ______；
估計八年級參加此次競賽的學生中達到良好成績以上的學生有多少名？
小明認為七，八年級競賽成績的平均數相等，因此兩個年級的成績一樣好，你認為小明的說法正確嗎？請你用所學的統計知識說明理由寫出一條即可
22.本小題分
【研學實踐】
為了讓學生更好地學會用勾股定理，某校八年級數學興趣小組的同學把“測量風箏的垂直高度”作為一項課題，利用課余時間完成了實踐調查，并利用皮尺等工具采集了如下的實驗數據．
【采集數據】
如圖，利用皮尺測量水平距離米，然后根據手中剩余風箏線的長度得出風箏線的長度米，最后測量放風箏的小康同學的身高米．
【數據應用】
已知圖中各點均在同一平面內，點，，，在同一直線上．
求此時風箏的垂直高度．
若站在點不動，想把風箏沿著的方向從點的位置上升米到點的位置，則還需要放出風箏線多少米？
23.本小題分
如圖，在四邊形中，，，垂足分別為點，．
請你只添加一個條件不另加輔助線，使得四邊形為平行四邊形，你添加的條件是______；
添加了條件后，證明四邊形為平行四邊形．
24.本小題分
如圖，在 中，交的延長線于點，．
求證：四邊形是矩形；
為的中點，連接，已知，，求的長．
25.本小題分
已知一個正比例函數與一個一次函數的圖象交于點，點在軸負半軸上，且．
求兩個函數的解析式；
求的面積．
26.本小題分
綜合與探究
如圖，在正方形中，點不與點，重合在對角線所在的直線上，連接過點作，交直線于點．
如圖，當點在對角線上時，求證：．
如圖，試探究當點在的延長線上時，中的數量關系是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．
若正方形的邊長為，，直接寫出由，，，四點構成的四邊形的面積．
參考答案
1.
解：由題意得，，
解得．
故選：．
2.
解：．，故本選項不符合題意；
B.和不是同類二次根式，不能合并，故本選項不符合題意；
C.，故本選項不符合題意；
D.，故本選項符合題意；
故選：．
3.
解：，，，
，
，
故選：．
4.
解：四邊形是平行四邊形，，，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
故選C．
5.
解：在矩形中，，
．
又，
．
．
故選：．
6.
解：點、分別是邊、的中點，
是的中位線，
，
．
，是的中點，，
，
．
故選：．
7.
解：由于眾數是數據中出現次數最多的數，故學校食堂最值得關注的應該是統計調查數據的眾數．
故選：．
8.
解：、當時，，此點在函數圖象上，故本選項符合題意；
B、當時，，此點不在函數圖象上，故本選項不符合題意；
C、當時，，此點不在函數圖象上，故本選項不符合題意；
D、當時，，此點不在函數圖象上，故本選項不符合題意．
故選：．
9.
解：點的坐標由圖象可得，
方程組的解為．
故選：．
10.
解：、甲比乙早出發，說法正確，不符合題意；
B、設甲行駛的路程與時間的函數關系式為，則，解得：，
即甲行駛的路程與時間的函數關系式為，說法正確，不符合題意；
C、甲的速度是，乙的速度是，說法正確，不符合題意；
D、乙出發后兩人相遇，這時他們離出發地，說法錯誤，符合題意；
故選：．
11.
解：原式，
故答案為：．
12.
解：四邊形是菱形，
，
，，
，
菱形的面積為，
故答案為：．
13.
解：由題意得：平移后的解析式為：，即．
故答案為：．
14.
解：過作軸，軸，
點，，點為線段的中點，
，，
點的坐標為，
故答案為：，
15.
解：一次函數的，
一次函數隨的增大而減小，
，
．
故答案為：．
16.
解：，
，，，
解得：，，，
，，
，
此三角形是直角三角形，
這個三角形的面積，
故答案為：．
17.
解：在矩形中，，，
，，
由勾股定理得：，
將矩形紙片折疊，使邊落在對角線上，折痕為，且點落在對角線處，
≌，
，，
設，則，，，
在中：由勾股定理得：，
，
解得：，
的長為，
故答案為：．
18.
解：設直角三角形的是三條邊分別是，，．
根據勾股定理，得，
即正方形的面積正方形的面積正方形的面積
所有正方形的面積之和為；
正方形的面積正方形的面積正方形的面積，
正方形的面積正方形的面積正方形的面積，
正方形的面積正方形的面積正方形的面積正方形的面積，
正方形的面積正方形的面積
正方形的面積
，
所有正方形的面積之和為，
推而廣之，“生長”了次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是．
故答案為：．
19.解：
；
．
20.解：
，
當時，
原式．
21.解：八年級學生的競賽成績從小到大排列第、個數為，，
中位數，
七年級中得分的人數最多，
眾數；
故答案為：，；
名，
答：估計八年級參加此次競賽的學生中達到良好成績以上的學生有名；
小明的說法不正確，
理由如下：因為兩個年級的平均數相同，但八年級學生的中位線和眾數都比七年級大，因此不能說兩個年級成績一樣好．
22.解：由題意得，米，，
在中，由勾股定理，得米，
米；
此時風箏的垂直高度為米．
答：此時風箏的垂直高度為米．
由題意得，米，
在中，由勾股定理得米，
米，
還需要放出風箏線米．
答：還需要放出風箏線米．
23.解：；
證明：，，
，
，
四邊形為平行四邊形．
24.證明：由題意可得：，，
，
，，
四邊形是平行四邊形，
又，
，
四邊形是矩形．
解：由得四邊形是矩形，，
，
由題意可得：，
，
由勾股定理得．
25.解：，
，
，
設正比例函數的解析式為，正比例函數的圖象過，
，，
正比例函數的解析式為；
設一次函數的解析式為，由條件可知．
解得：．
一次函數的解析式為；
，，
三角形的面積為．
26.證明：為正方形對角線上的點，如圖，過點作于點，作于點．
平分，，
．
，
四邊形是矩形，
，
．
，
．
在和中，
，
≌，
；
中的數量關系仍然成立；
證明：為正方形對角線上的點，如圖，過點作于點，作于點．
平分，
．
，
四邊形是矩形，
，
．
，
．
在和中，
，
≌，
．
解：由，，，四點構成的四邊形的面積為或理由如下：
正方形的邊長為，
．
分兩種情況討論：
如圖，當點在的延長線上時，過點作于點，作于點．
，
，
，
在中，由勾股定理得：．
由可知是等腰直角三角形，
；
如圖，當點在的延長線上時，過點作于點，作于點．
，，
．
由，可知四邊形是正方形，≌，
，，
．
綜上所述，由，，，四點構成的四邊形的面積為或．
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（北京）股份有限公司

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