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2024-2025學(xué)年山東省淄博市周村區(qū)七年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制）
一、選擇題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填在題后的括號(hào)內(nèi)，每小題4分，共40分）
1．（4分）榫卯是中國(guó)建筑的智慧結(jié)晶，僅靠木頭之間的相互作用力就可以讓建筑或家具牢固、美觀．下列榫卯拼接截面示意圖中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（4分）如圖是折疊凳及其側(cè)面示意圖，若AC＝BC＝18cm，則折疊凳的寬AB可能為（　　）
A．70cm B．55cm C．40cm D．25cm
3．（4分）圖中的兩個(gè)三角形全等，則∠1等于（　　）
A．58° B．72° C．40° D．50°
4．（4分）如圖，以Rt△ABC的三邊分別向外作正方形，它們的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝80，則S1的值為（　　）
A．20 B．30 C．40 D．50
5．（4分）△ABC的三邊分別為a，b，c，下列條件能判定△ABC為直角三角形的是（　　）
A．a(chǎn)：b：c＝1：2：2 B．∠A+∠B＝2∠C
C．c2﹣a2＝b2 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
6．（4分）如圖，點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，點(diǎn)C，D分別在OA，OB上，且OC＝OD，添加下列一個(gè)條件后，不能判定△OPC≌△OPD的是（　　）
A．PC＝PD B．∠OCP＝∠ODP＝90°
C．OP平分∠AOB D．PO平分∠CPD
7．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4cm，則BC＝（　　）
A．8 B．10 C．12 D．14
8．（4分）如圖，某自動(dòng)感應(yīng)門(mén)的正上方裝著一個(gè)感應(yīng)器A，離地距離AB＝2米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí)，感應(yīng)門(mén)就會(huì)自動(dòng)打開(kāi)，一個(gè)身高1.5米的學(xué)生CD剛走到離門(mén)間距CB＝1.2米的地方時(shí)，感應(yīng)門(mén)自動(dòng)打開(kāi)，則該感應(yīng)器感應(yīng)長(zhǎng)度AD為（　　）
A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米
9．（4分）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AD＝BC＝4，AB＝6，若AC平分∠BAD，則四邊形ABCD的面積為（　　）
A．12 B．18 C．20 D．24
10．（4分）如圖所示，點(diǎn)H是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，要使點(diǎn)H到AB、AC的距離相等，且S△ABH＝S△BCH，點(diǎn)H是（　　）
A．∠BAC的角平分線(xiàn)與AC邊上中線(xiàn)的交點(diǎn)
B．∠BAC的角平分線(xiàn)與AB邊上中線(xiàn)的交點(diǎn)
C．∠ABC的角平分線(xiàn)與AC邊上中線(xiàn)的交點(diǎn)
D．∠ABC的角平分線(xiàn)與BC邊上中線(xiàn)的交點(diǎn)
二、填空題：請(qǐng)將最終結(jié)果填入題中的橫線(xiàn)上（每小題4分，共20分）
11．（4分）已知△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝60°，則∠F的度數(shù)為　 　 ．
12．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，以點(diǎn)B為圓心，BC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB于點(diǎn)D，再以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑畫(huà)弧，交AC于點(diǎn)E，則CE的長(zhǎng)為 　 　 ．
13．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高，點(diǎn)E、F是AD的三等分點(diǎn)，若AD＝6cm，CD＝3cm，則圖中陰影部分的面積是　 　 cm2．
14．（4分）如圖，若∠E＝50°，則∠A+∠B+∠C+∠D＝　 　 °．
15．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是∠BAC的平分線(xiàn)，若P，Q分別是AD和AC上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PQ的最小值為 　 　 ．
三、解答題．解答要寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明或演算步驟．（共90分）
16．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．
（1）若a＝5，b＝12，求c的值；
（2）若a：b＝3：4，c＝10，求b的值．
17．如圖，在正方形網(wǎng)格中，有一個(gè)格點(diǎn)△ABC（即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）和直線(xiàn)l．請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中按要求畫(huà)圖：
（1）畫(huà)出與△ABC關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)的△A1B1C1（要求A與A1，B與B1，C與C1相對(duì)應(yīng)）；
（2）在直線(xiàn)l上找一點(diǎn)P，使得△PBC的周長(zhǎng)最小，并標(biāo)出點(diǎn)P．
18．圖1、圖2中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，在圖1中畫(huà)出一個(gè)面積是3的直角三角形；在圖2中畫(huà)出一個(gè)面積是5的正方形．
19．已知：如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AB分別交BC、AC于D、C兩點(diǎn)，CE＝6，DE＝5．過(guò)D作DF⊥AB于F．DF＝4．
（1）求AE的長(zhǎng)；
（2）求△ACD的面積．
20．如圖，在△ABC中，邊AB的垂直平分線(xiàn)OM與邊AC的垂直平分線(xiàn)ON交于點(diǎn)O，這兩條垂直平分線(xiàn)分別交BC于點(diǎn)D、E．
（1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度數(shù)；
（2）已知△ADE的周長(zhǎng)7cm，分別連接OA、OB、OC，若△OBC的周長(zhǎng)為15cm，求OA的長(zhǎng)．
21．如圖，∠A＝∠B，AE＝BE，點(diǎn)D在AC邊上，∠1＝∠2，AE和BD相交于點(diǎn)O．
（1）求證：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝40°，求∠BDE的度數(shù)．
22．【問(wèn)題初探】（1）如圖1，點(diǎn)B在線(xiàn)段AC上，DA⊥AC于點(diǎn)A，EC⊥AC于點(diǎn)C，DB⊥BE，且DB＝BE．求證：AC＝AD+CE；
【問(wèn)題改編】（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，將邊CA繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CE（即CE＝CA，∠ACE＝90°），將邊CB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CD（即CD＝CB，∠BCD＝90°）．連接DE，延長(zhǎng)BC交ED于點(diǎn)F．求證：點(diǎn)F是ED的中點(diǎn)．
23．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師出示了如下欄中的題目：
如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且ED＝EC，試確定線(xiàn)段AE與DB的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．
小華與同桌小明討論后，進(jìn)行了如下解答：
（1）特殊情況入手探索：
當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，確定線(xiàn)段AE與DB的大小關(guān)系．請(qǐng)你直接寫(xiě)出結(jié)論：AE　 　 DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．
（2）一般情況進(jìn)行論證：
對(duì)原題中的一般情形，二人討論后得出（1）中的結(jié)論仍然成立，并且可以通過(guò)構(gòu)造一個(gè)三角形與△EBD全等來(lái)證明．以下是他們的部分證明過(guò)程：
證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F．…（請(qǐng)完成余下的證明過(guò)程）
（3）應(yīng)用結(jié)論解決問(wèn)題：
在邊長(zhǎng)為3的等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線(xiàn)AB上，且AE＝1，點(diǎn)D在直線(xiàn)BC上，ED＝EC，求EC2的值（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）．
2024-2025學(xué)年山東省淄博市周村區(qū)七年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制）
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D D C C D C B C A
1．解：A，B，D選項(xiàng)中的圖形都不能找到一條直線(xiàn)，使圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱(chēng)圖形；
C選項(xiàng)中的圖形能找到一條直線(xiàn)，使圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱(chēng)圖形．
故選：C．
2．解：∵AC＝BC＝18cm，
∴0＜AB＜36，
∴折疊凳的寬AB可能為25cm，
故選：D．
3．解：如圖，
由三角形內(nèi)角和定理得∠2＝180°﹣58°﹣72°＝50°，
由全等三角形的性質(zhì)可得∠1＝∠2＝50°．
故選：D．
4．解：∵以Rt△ABC的三邊分別向外作正方形，它們的面積分別為S1，S2，S3，
∴，，，
∵△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴BC2+AC2＝AB2，
即S2+S3＝S1，
又S1+S2+S3＝80，
∴2S1＝80，
∴S1＝40，
故選：C．
5．解：A．∵a：b：c＝1：2：2，
∴設(shè)a＝k，b＝2k，c＝2k，
∴a2+c2＝k2+（2k）2＝5k2，b2＝（2k）2＝4k2，
∴a2+c2≠b2，
∴△ABC不是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．∵∠A+∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝60°，
∴不能判定△ABC是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．∵c2﹣a2＝b2，
∴a2+b2＝c2，
∴∠ABC＝90°，即△ABC是直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；
D．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C180°＝75°，即△ABC不是直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
6．解：A．PC＝PD，可根據(jù)SSS，判定△OPC≌△OPD，故A選項(xiàng)正確，不符合題意；
B．∠OCP＝∠ODP＝90°，可根據(jù)HL判定Rt△OPC≌Rt△OPD，故B選項(xiàng)正確，不符合題意
C．OP平分∠AOB，可根據(jù)ASA判定△OPC≌△OPD，故C選項(xiàng)正確，不符合題意；
D．PO平分∠CPD，沒(méi)有AAS，不能判定△OPC≌△OPD，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意．
故選：D．
7．解：∵AB＝AC，∠C＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AB⊥AD，
∴∠BAD＝90°，
在Rt△BAD中，∠B＝30°，AD＝4cm，
∴BD＝2AD＝8cm，∠ADB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠DAC＝∠ADB﹣∠C＝60°﹣30°＝30°，
∴∠DAC＝∠C，
∴DC＝AD＝4cm，
∴BC＝BD+CD＝8+4＝12（cm），
故選：C．
8．解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H．
∵∠DCB＝∠B＝∠DHB＝90°，
∴四邊形CDHB是長(zhǎng)方形，
∴BC＝DH＝1.2米，CD＝BH＝1.5米，
∵AB＝2米，
∴AH＝AB﹣BH＝2﹣1.5＝0.5（米），
∴（米）．
故選：B．
9．解：過(guò)C點(diǎn)作CE⊥AD于E點(diǎn)，如圖，
∵∠B＝90°，
∴BC⊥AB，
∵AC平分∠BAD，CE⊥AD，
∴CE＝CB＝4，
∴四邊形ABCD的面積，
故選：C．
10．解：如圖：
∵AD平分∠BAC，點(diǎn)H在AD上，
∴點(diǎn)H到AB、AC的距離相等，
∵BE是AC邊上的中線(xiàn)，
∴S△ABE＝S△BCE，S△AHE＝S△CHE，
∴S△ABE﹣S△AHE＝S△BCE﹣S△CHE，
∴S△ABH＝S△CBH，
∴點(diǎn)H是∠BAC的角平分線(xiàn)與AC邊上中線(xiàn)的交點(diǎn)，
故選：A．
二、填空題：請(qǐng)將最終結(jié)果填入題中的橫線(xiàn)上（每小題4分，共20分）
11．解：∵△ABC≌△DEF，
∴根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得∠F＝∠C，
∵∠A＝70°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣70°﹣60°＝50°，
∴∠F＝50°，
所以∠F的度數(shù)為50°．
故答案為：50°．
12．解：由題意可知，BD＝BC＝3，AE＝AD，
∴AE＝AD＝AB﹣BD＝5﹣3＝2，
∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC4，
∴CE＝AC﹣AE＝4﹣2＝2，
故答案為：2．
13．解：∵△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高，
∴△ABC是軸對(duì)稱(chēng)圖形，且直線(xiàn)AD是對(duì)稱(chēng)軸，BC＝2CD＝6cm，
∴△CEF和△BEF的面積相等，
∴S陰影＝S△ABD，
∵AB＝AC，AD是BC邊上的高，
∴BD＝CD，
∴S△ABD＝S△ACDS△ABC，
∵BC＝6cm，AD＝6cm，
∴S△ABCBC AD6×6＝18cm2，
∴S陰影＝18÷2＝9cm2．
故答案為：9．
14．解：分別延長(zhǎng)CE、DE與AB交于點(diǎn)M、N．
由已知∠E＝50°，即∠CED＝50°．
則∠MEN＝∠CED＝50°（對(duì)頂角相等）．
∵∠EMN＝∠A+∠C，∠ENM＝∠B+∠D，
∴∠EMN+∠ENM＝∠A+∠C+∠B+∠D，
∵∠EMN+∠ENM＝180°﹣∠MEN＝180°﹣50°＝130°，
∴∠A+∠C+∠B+∠D＝130°．
故答案為：130°．
15．解：如圖，作點(diǎn)Q關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q′，連接PQ′，CQ′，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H．
∵AD是△ABC的角平分線(xiàn)，Q與Q'關(guān)于AD對(duì)稱(chēng)，
∴點(diǎn)Q′在AB上，PC+PQ＝PC+PQ′≥CH，
∵AC＝3，BC＝4，AB＝5， AC BC AB CH，
∴CH＝2.4，
∴CP+PQ≥2.4，
∴PC+PQ的最小值為2.4．
故答案為：2.4．
三、解答題．解答要寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明或演算步驟．（共90分）
16．（1）由題意可知，在△ABC中，∠C＝90°，a＝5，b＝12，
∴，
所以b的值為13；
（2）∵a：b＝3：4，
∴可設(shè)a＝3k，則b＝4k，
在△ABC中，∠C＝90°，c＝10，
∴a2+b2＝c2，即（3k）2+（4k）2＝102，
∴k＝2（負(fù)值舍去），
∴b＝8，
所以b的值為8．
17．解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．
18．解：如圖1，△ABC的面積是3，即為所作；
如圖2，正方形DEFG的面積為22+12＝5，即為所作．
19．解：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB＝∠DAC，
∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠DAB，
∴∠DAE＝∠ADE，
∴AE＝DE＝5；
（2）如圖，過(guò)D作DG⊥AC于G，
又∵DF⊥AB，AD平分∠BAC，
∴DG＝DF＝4，
∵CE＝6，
∴AC＝AE+CE＝5+6＝11，
∴△ACD的面積AC×DG11×4＝22．
20．解：（1）∵∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣40°＝110°，
∵DM是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠ABC＝30°，
同理，EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ACB＝40°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝110°﹣30°﹣40°＝40°；
（2）連接OA，OB，OC，
∵△ADE的周長(zhǎng)7cm
∴AD+DE+EA＝7（cm），
∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝7（cm）；
∵△OBC的周長(zhǎng)為15，
∴OB+OC+BC＝15，
∵BC＝7，
∴OB+OC＝8，
∵OM垂直平分AB，
∴OA＝OB，
同理，OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC＝4（cm）．
21．證明：（1）∵AE和BD相交于點(diǎn)O，
∴∠AOD＝∠BOE．
在△AOD和△BOE中，
∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BEO，
∴∠AEC＝∠BED．
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）．
（2）∵△AEC≌△BED，
∴EC＝ED，∠C＝∠BDE．
在△EDC中，
∵EC＝ED，∠1＝40°，
∴∠C＝∠EDC＝70°，
∴∠BDE＝∠C＝70°．
22．證明：（1）∵DA⊥AC，EC⊥AC，DB⊥BE，
∴∠BAD＝∠DBE＝∠BCE＝90°，
∴∠DBA＝90°﹣∠CBE＝∠BEC，
在△ABD和△CEB中，
，
∴△ABD≌△CEB（AAS），
∴AB＝EC，AD＝CB，
∵AC＝CB+AB，
∴AC＝AD+CE；
（2）過(guò)點(diǎn)E作EG∥CD，交BF的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，如圖2，
∵∠ABC＝90°，∠BCD＝90°，
∴AB∥DC，
∴EG∥AB∥CD，
∵∠ABC＝90°，
∴∠EGF＝∠DCF＝90°＝∠ABC．
∵∠ACE＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠ECG＝∠CEG，
又∵AC＝CE，
在△ABC和△CGE中，
，
∴△ABC≌△CGE（AAS），
∴CB＝EG，
∵CB＝CD，
∴CD＝EG，
又∵∠GFE＝∠CFD，∠EGF＝∠DCF，
∴△EGF≌△DCF（AAS），
∴EF＝DF，
即點(diǎn)F是ED的中點(diǎn)．
23．（1）解：在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，ED＝EC，
∴∠ABC＝60°，BE＝AE，，∠D＝∠BCE＝30°，
∵∠ABC為△BDE的外角，
∴∠ABC＝∠D+∠BED＝60°，
∴∠BED＝30°，
∴∠D＝30°＝∠BED，
∴BD＝BE，
∴AE＝BD，
故答案為：＝；
（2）證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠AFE＝∠AEF＝∠ABC＝60°，∠FEC＝∠ECB，
∴△AEF為等邊三角形，
∴AE＝EF＝AF，
∴∠EFC＝∠EBD＝120°，
∵ED＝EC，
∴∠EDB＝∠ECB，且∠ECB＝∠FEC，
∴∠EDB＝∠FEC，
在△BDE和△FEC中，
，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD＝EF，
∴AE＝BD，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝∠ABC＝60°，
∵EF∥BC，
∴∠AFE＝∠AEF＝∠ABC＝60°，∠FEC＝∠ECB，
∴△AEF為等邊三角形，
∴AE＝EF＝AF，
∴∠EFC＝∠EBD＝120°，
∵ED＝EC，
∴∠EDB＝∠ECB，且∠ECB＝∠FEC，
∴∠EDB＝∠FEC，
在△BDE和△FEC中，
，
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD＝EF，
∴AE＝BD；
（3）解：∵邊長(zhǎng)為3的等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線(xiàn)AB上，AE＝1，
分兩種情況討論：
第一種情況：當(dāng)點(diǎn)E在AB時(shí)，如圖3，過(guò)C點(diǎn)作CG⊥AB交AB于點(diǎn)G，
∴，
在直角三角形ACG中，由勾股定理得：，
∵AE＝1，
∴，
在Rt△EGC中，由勾股定理得：，
第二種情況：當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖4，過(guò)C點(diǎn)作CG⊥AB交AB于點(diǎn)G，
∵AE＝1，
∴，
在Rt△EGC中，由勾股定理得：，
綜上所述，EC2值為7或13．
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