資源簡介

廣東省深圳市南山區為明學校2024—2025學年上學期九年級10月月考數學試卷
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．用配方法解方程時，配方結果正確的是（ ）
A． B． C． D．
2．方程的根的情況是（ ）
A．有兩個相等實數根 B．有兩個不相等實數根
C．有一個實數根 D．無實數根
3．已知線段a，b，c，d是一組成比例線段，若，則（ ）
A． B． C． D．
4．如圖，小明在8：30測得某樹的影長為16m，13：00時又測得該樹的影長為4m，若兩次日照的光線互相垂直，則這棵樹的高度為（ ）
A．10m B．8m C．6m D．4m
5．如圖，某校為生物興趣小組規劃一塊長，寬的矩形試驗田．現需在試驗田中修建同樣寬的兩條互相垂直的小路（兩條小路各與矩形的一條邊平行），根據學校規劃，小路分成的四塊小試驗田的總面積為．求小路的寬為多少米？若設小路的寬為，根據題意所列的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．如圖，點為矩形的對稱中心，點從點出發沿向點運動，移動到點停止，延長交于點，則四邊形形狀不可能是（ ）
A．平行四邊形 B．菱形 C．正方形 D．矩形
7．如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC上的點，DE∥BC，AD：DB=2：1，下列結論中錯誤的是（　　）
A． B． C． D．AD AB=AE AC
8．如圖，在中，點D、E為邊的三等分點，點F、G在邊上，，點H為與的交點．若，則的長為（　　）

A．1 B． C．2 D．3
二、填空題
9．已知，且，則 ．
10．已知關于x的一元二次方程的一個根是2，則另一個根是 ．
11．如圖是小玲設計用手電來測量家附近“新華大廈”高度的示意圖．點P處放一水平的平面鏡，光線從點A出發經平面鏡反射后剛好射到大廈的頂端C處，已知，，且測得，，，那么該大廈的高度約為 m．

12．校園里一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割”，如圖，P為的黃金分割點（）．如果的長度為，那么的長度為 ．
13．如圖，在中，E是的中點，F是上的一點，，延長交的延長線于點G，若，則 ．

三、解答題
14．解下列方程：
(1)；
(2)．
15．如圖，在平面直角坐標系中，的頂點坐標分別為，，，在軸右側，以原點為位似中心畫一個，使它與位似，且相似比是．

(1)請畫出；
(2)請直接寫出各頂點的坐標；
(3)若內部一點M的坐標為，則點M的對應點的坐標是___________．
16．某天小明站在地面上給站在城樓上的小亮照相時發現：他的眼睛、涼亭頂端、小亮頭頂三點恰好在一條直線上（如圖），已知小明的眼睛離地面米，涼亭頂端離地面2米，小明到涼亭的距離為2米，涼亭離城樓底部的距離為米，小亮身高米，請根據以上數據求出城樓的高度．
17．如圖，在菱形中，對角線交于點O，，，連接，交于點F．

(1)求證：四邊形是矩形；
(2)若，，求菱形的面積．
18．請根據表中提供的背景、素材，探索完成任務．
背景：因粵港澳大灣區和中國特色社會主義先行示范區的雙重利好，深圳已成為國內外游客最喜歡的旅游目的地城市之一，東部華僑城景區成為深圳著名旅游“網紅打卡地”．
素材 東部華僑城景區在年“十一”長假期間，共接待游客達萬人次，預計在年“十一”長假期間將接待游客達萬人次．
素材 東部華僑城景區一奶茶店銷售一款奶茶，每杯成本價為元．
素材 根據銷售經驗，在旅游旺季，若每杯定價元，則平均每天可銷售杯，若每杯價格降低元，則平均每天可多銷售杯．年“十一”期間，店家決定進行降價促銷活動．
問題解決
任務 根據素材，求東部華僑城景區至年“十一”長假期間接待游客人次的平均增長率．
任務 根據素材、素材，求在降價促銷活動中，當每杯售價定為多少元時，既能讓顧客獲得最大優惠，又可讓店家在此款奶茶實現平均每天元的利潤額？
19．閱讀下面材料：
小元遇到這樣一個問題：如圖1，在正方形中，點分別為邊上的點，，連接，設，，，則把關于的一元二次方程叫做正方形的關聯方程，正方形叫做方程的關聯四邊形．
探究方程是否存在常數根．
小元是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應想辦法把這些分散的線段集中到同一條線段上．他先后嘗試了平移、翻折、旋轉的方法，發現通過旋轉可以解決此問題．他的方法是把繞點順時針旋轉得到（如圖2），此時即是．
請回答：　 　．

參考小元得到的結論和思考問題的方法，解決下列問題：
（1）如圖1，若，，則正方形的關聯方程為 　 　；
（2）正方形的關聯方程是，則正方形的面積=　 　．
20．在四邊形中，是邊上一點，延長至點使得，連接，延長交于點．
(1)如圖1，若四邊形是正方形，
①求證：；
②當G是中點時，________________度；
(2)如圖2，若四邊形是菱形，，當為的中點時，求的長；
(3)如圖3，若四邊形是矩形，，，點在的延長線上，且滿足，當是直角三角形時，請直接寫出的長為__________________________．
參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A A B A C D C
1．A
【詳解】解：，
移項得：，
配方得：．
故選：A
2．A
【詳解】解：∵，
∴方程有兩個相等實數根，
故選：．
3．A
【詳解】解：∵線段a，b，c，d是一組成比例線段，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：A
4．B
【詳解】解：根據題意，作△EFC，樹高為CD，且∠ECF=90°，ED=4m，FD=16m；
∵∠E+∠F=90°，∠E+∠ECD=90°，
∴∠ECD=∠F，
又
∴△EDC∽△CDF，
∴，即DC2=ED FD=4×16=64，
解得CD=8m（負值舍去）．
故選：B．
5．A
【詳解】解：設道路的寬應為x米，由題意有：．
故選：A．
6．C
【詳解】解：∵點為矩形的對稱中心，
∴，，
當點從點出發沿向點運動時，由銳角直角鈍角變形，且僅當點到達點時，，
∴四邊形形狀的變化依次為平行四邊形菱形平行四邊形矩形，不可能是正方形，
故選：．
7．D
【詳解】∵DE∥BC，AD：DB=2：1，
∴△ADE∽△ABC，
∴，，
∴，
∴A、B、C正確，
故選D．
8．C
【詳解】解：、為邊的三等分點，，
，，，
，是的中位線，
，
，
，
，即，
解得：，
，
故選：C．
9．8
【詳解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
解得，，
故答案為：8．
10．
【詳解】把x=2代入原方程得22＋5×2－m=0，解得m=14，
∴原方程為
解得x1=-7,x2=2,
故另一個解為.
故答案為：．
11．16
【詳解】解：根據題意，,,
．
即
故；
那么該古城墻的高度是，
故答案為：16．
12．/
【詳解】解：∵P為的黃金分割點，，
∴，
∵的長度為，
∴，
∴，
故答案為：．
13．
【詳解】解：延長交延長線于點H，連接，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，

∵E為中點，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
設，
∵，
∴，
∴，
解得： ．
故答案為：
14．(1)，
(2)，
【詳解】（1），
，
，
，
，
∴，；
（2）
，
，
∴或，
∴，．
15．(1)見解析
(2)，，
(3)
【詳解】（1）解：如圖，即為所求．

（2）解：由圖可得，，，．
（3）解：由題意可得，點的坐標為．
故答案為：．
16．米
【詳解】解：如圖，過點作于點，交于點，
依題意，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∵，
∴城樓的高度為米
17．(1)證明見解析
(2)
【詳解】（1）證明：∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵在菱形中，，
∴，
∴四邊形是矩形；
（2）解：∵，四邊形是矩形，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∵，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，，
∴菱形的面積．
18．任務：；任務：元．
【詳解】解：任務：設平均增長率為，
由題意得，，
解得（不合，舍去），，
答：平均增長率為；
任務：設當每杯售價定為元時，店家在此款奶茶實現平均每天元的利潤額，
由題意得，，
整理得，，
解得，，
∵要讓顧客獲得最大優惠，
∴，
答：當每杯售價定為元時，既能讓顧客獲得最大優惠，又可讓店家在此款奶茶實現平均每天元的利潤額．
19．閱讀下面材料：1（1）（2）36
【詳解】解：閱讀下面材料：
如圖：

∵四邊形是正方形，
∴，
∵把繞點順時針旋轉得到，
∴，，，，
∴，，
∴共線，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∵，，，
∴，即，
∴關于的一元二次方程有一個根是，
∴．
故答案為：1；
（1）如圖：
∵四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴，
由閱讀材料知，，
∴，，
在中，，
∴，
解得，
∴，
而，
∴正方形的關聯方程為，
化簡整理，可得．
故答案為：；
（2）如圖：

由閱讀材料知，正方形的關聯方程存在常數根，
∴，
解得，
∴正方形的關聯方程是，
∴，，，
設正方形的邊長為，
在中，，
∴，
解得或（舍去），
∴正方形的邊長為6，
∴正方形的面積為36．
故答案為：36．
20．(1)①證明見解析；②67.5
(2)
(3)或或2
【詳解】（1）解：①∵正方形，
∴，，
∴，
又∵，
∴；
②連接，則：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵為的中點，
∴，
∴；
故答案為：．
（2）取的中點，連接，
∵為的中點，
∴，
∴，
∴，
設，則：，
∵菱形中，，
∴，
∴，
∴，
解得：或（舍去）；
經檢驗：是原方程的解，
∴；
（3）∵矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
當點為直角頂點時，如圖：
設，
則：，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
解得：或；
經檢驗或是原方程的解，
∴或；
當點為直角頂點時，如圖：過點作，
則：，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
綜上： 或或．

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