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廣東省深圳外國語學校2025年 九年級 第7次月考數(shù)學測試卷（6月）
學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________
一、單選題
1．硯臺與筆、墨、紙是傳統(tǒng)的文房四寶．如題3圖是一方寓意“規(guī)矩方圓”的硯臺，它的俯視圖是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列計算正確的是（ ）
A． B． C． D．
3．關于的一元二次方程有實數(shù)解，則下列值中不能?。? ）
A． B． C． D．
4．如圖，在正方形網(wǎng)格中，以格點為圓心畫圓，使該圓經(jīng)過格點，，并在圓弧上取點，連接，則的度數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
5．古代數(shù)學著作《孫子算經(jīng)》中有“多人共車”問題：今有五人共車，二車空；三人共車，十人步．問人與車各幾何？其大意是：每車坐人，車空出來；每車坐人，多出人無車坐，問人數(shù)和車數(shù)各多少？設共有人，輛車，則可列出的方程組為（ ）
A． B． C． D．
6．某班物理實驗小組在測定水的沸點實驗過程中，將常溫中的溫度計插入一杯的溫水中，然后對水進行加熱，如圖所示．溫度計的讀數(shù)與時間（min）的關系用圖象可近似表示為（ ）
A． B． C． D．
7．如圖，二次函數(shù)的圖象與軸相交于，兩點，下列說法正確的是（ ）

A．
B．對稱軸為直線
C．關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根
D．
8．如圖，在中，點是邊上的動點，連接，，是的中點，是的中點，點從點向點的運動的過程中，的長度（ ）
A．保持不變 B．逐漸增大 C．先增大再減小 D．先減小再增大
二、填空題
9．因式分解： ．
10．“趙爽弦圖”被人們稱為“中國古代數(shù)學的圖騰”，是數(shù)形結合的典型體現(xiàn)．如圖，大正方形是由四個全等的直角三角形和小正方形組成．若，則陰影部分的面積為 ．
11．某商場衛(wèi)生間旋轉門鎖的局部圖如左圖所示，右圖是其工作簡化圖．其中把手旋轉支點到門邊的距離．在自然狀態(tài)下，把手豎直向下（把手底端到達A處）．旋轉一定角度，使得把手底端恰好卡在門邊，此時底端A，B的豎直高度差為．在關門過程中把手的最大旋轉角為（把手底端到達處），則關門時把手底端運動的路徑的長度是 ．
12．如圖，矩形的頂點A，D的坐標為，，軸，若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過矩形對角線的交點E，則k的值為 ．
13．在中，，是上一點，是延長線上一點，連接，使，當時，則的長為 ．
三、解答題
14．（1）計算：；
（2）如圖，在中，平分為的中點．求證：．
小芳同學解題過程如下： 解：為BC的中點， ．（第一步） 平分, ．（第二步） 又, ．（第三步） ．（第四步）
①小芳同學解題過程中，出現(xiàn)錯誤的是第___________步；
②錯誤原因是___________．
15．某超市計劃采購一批荔枝．現(xiàn)從甲和乙兩個產(chǎn)地的荔枝中，各隨機抽取10顆，測量單果質量，將測量的數(shù)據(jù)制成如下統(tǒng)計圖：
統(tǒng)計量產(chǎn)地 平均數(shù) 中位數(shù) 眾數(shù)
甲 25 b
乙 a 24
解答下列問題：
(1)填空：__________，__________；
(2)若從甲乙兩個產(chǎn)地質量不低于27克的3個大果中任選兩個，直接寫出這兩個大果克數(shù)相同的概率__________；
(3)你認為哪個產(chǎn)地荔枝的品質更好？請說明理由．
16．低空經(jīng)濟是培育新質生產(chǎn)力的重要方向，深圳市試點開放120米以下空域，允許無人機在指定航線飛行．美團外賣通過“5分鐘起飛—10分鐘送達”的高時效服務，在南山科技園、福田中心公園等地開展無人機送餐服務．
(1)經(jīng)測，午高峰3小時內(nèi)無人機送單數(shù)是人工送單數(shù)的兩倍，且用無人機配送每單可節(jié)省15分鐘，求午高峰3小時內(nèi)無人機送單數(shù)是多少？
(2)某日午高峰3小時內(nèi)訂單總數(shù)為60單，根據(jù)實際情況無人機配送的單數(shù)不超過50單，但至少比人工配送多20單，若無人機實際成本為4元／單，但享受政府補貼元／單，人工配送成本為7元／單，如何安排配送服務使總成本最低？最低費用是多少？
17．如圖1，是的直徑，點在直線上，切于點．
(1)若，在不增加新的點的前提下，請?zhí)岢鲆粋€問題：__________，并進行解答或證明．（使用部分條件且求解正確酌情給分，使用全部條件且求解正確得滿分）
(2)如圖2，請用尺規(guī)作出過點的另一條的切線．
18．學習了用數(shù)學方法測量物體的高度后，數(shù)學科代表帶領小組成員進行了如下數(shù)學實踐：
活動目的 測高方法的實踐與應用
活動一 制作測角儀 制作方法：如圖1，將細線一端固定在量角器圓心O處，另一端系小重物．在量角器的背面與線相對的位置安裝一支桿，使用時把支桿豎直插入地面，使支桿的中心線OM、鉛垂線OG和刻度線ON重合（如圖1），轉動量角器，使量角器的直徑AB對準觀測目標（如圖2），記下此時鉛垂線所指的度數(shù)．
任務一：如圖2，目標的仰角為，鉛垂線所指的度數(shù)是，則__________（填“>”“<”或“=”），理由是__________．
活動二 實踐與應用 ①測量底部可以到達的物體的高度 如圖3，為了測量深圳蓮花山鄧小平銅像的高度，同學們進行了以下操作步驟： （1）測出銅像底座的高度米； （2）在測點處安置測角儀，測得頭頂?shù)难鼋牵?（3）測出測點到銅像底部中心的距離米 （4）測角儀安裝高度與底座同高．
任務二 請根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，求銅像頂部到地面的距離PH．（結果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：）
②測量底部不可以到達的物體高度 如圖4，深圳市園博園內(nèi)的福塔是國內(nèi)最高的石塔，其底部不可到達．為測塔頂端距地面的高度ST，同學們討論后進行了以下測量操作： （1）在測點E處安置測角儀，測得此時頂端的仰角 （2）在測點與塔之間的處安置測角儀（E,F,T在同一條直線上，且E,F之間的距離可直接測得），測得此時頂端的仰角； （3）量出測角儀的高度，測得點E,F之間的距離．
任務三 請根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，求塔頂端距地面的高度ST．（參考數(shù)據(jù)：，）
總結 在學習與實踐過程中，同學們總結到測量高度的方法有多種，如影子比例法、仰角測高法、兩次觀測法、坡度結合法等．
19．定義：在平面直角坐標系中，如果一個函數(shù)的圖像關于直線（為常數(shù)）對稱，我們稱這個函數(shù)為“函數(shù)”．“函數(shù)”滿足以下性質：
①若點在函數(shù)圖像上，則點也在這個函數(shù)圖像上；
②點與點稱為一對對應點，對應點的連線段稱為對稱弦．
例如：函數(shù)的圖像關于直線（軸）對稱，則稱它是“函數(shù)”，若在它的圖像上，則也在它的圖像上，線段為它的一條對稱弦．
(1)在下列關于的函數(shù)中，是“函數(shù)”的是__________（填序號）；
①；②；③．
(2)若關于的函數(shù)（為常數(shù)）是“（2）函數(shù)”，則
①__________；
②請用描點法在平面直角坐標系下作出的圖象．
第一步：列表如下：
0 2 4 6 8
8 6 4 2 0 2 4 6
第二步：請在平面直角坐標系下完成余下作圖步驟，并描述函數(shù)的增減性___________；
③函數(shù)與為常數(shù)，相交于兩點，在的左邊，，求的值；
(3)已知關于的二次函數(shù)（b，c為常數(shù)）是“（4）函數(shù)”，試判斷該函數(shù)在內(nèi)是否存在長度為3的對稱弦？直接寫出你的判斷__________（填“存在”或“不存在”）．
20．【定義】如圖1，在中，點在射線上，若滿足，則稱為的“等腰線”．
【探索】（1）如圖2，為的“等腰線”，連接，若平分，則是什么特殊圖形？試猜想并證明你的結論；
【應用】（2）如圖3，若，是的“等腰線”，交直線于點，試在圖3中用尺規(guī)作圖畫出點E、F，并求的長；
【拓展】（3）在中，．若是的“等腰線”，交直線于點，且，請直接寫出__________．
參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A B A C C D
1．C
【詳解】解：從上面看到的是一個正方形及正方形的一個圓，選項C符合題意；
故選：C．
2．B
【詳解】解：A、，原計算錯誤，不符合題意；
B、，原計算正確，符合題意；
C、，原計算錯誤，不符合題意；
D、，原計算錯誤，不符合題意；
故選：B．
3．A
【詳解】解：∵一元二次方程有實數(shù)解，
∴，
∴不能取，
故選：．
4．B
【詳解】解：如下圖所示，連接并延長，交于點，連接、，
，，
由網(wǎng)格可知，
，
.
故選：B．
5．A
【詳解】解：設共有人，輛車，
由題意可得，，
故選：．
6．C
【詳解】解：將常溫中的溫度計插入一杯（恒溫）的熱水中，然后對水進行加熱，注意溫度計的溫度升高到時溫度不變，故C選項圖象符合條件，
故選：C．
7．C
【詳解】解：根據(jù)圖形得：拋物線與y軸交于負半軸，
∴，故A選項錯誤，不符合題意；
∵圖象與軸相交于，兩點，
∴對稱軸為直線，故B選項錯誤，不符合題意；
∵拋物線開口向上，且頂點坐標位于y軸的下方，
∴拋物線與直線有兩個交點，
∴關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，故C選項錯誤，符合題意；
∵對稱軸為直線，
∴，即，故D選項錯誤，不符合題意；
故選：C
8．D
【詳解】解：∵是的中點，是的中點，
∴，
∵的值先減小再增加，
∴的值先減小再增加．
故選：D．
9．
【詳解】解：
，
故答案為：．
10．/
【詳解】解：根據(jù)題意可知，，
∵四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴陰影部分的面積．
故答案為：．
11．
【詳解】解：由題意知：，
設，則，
在中，，，
由勾股定理得，
解得：
∴的長度
故答案為：．
12．5
【詳解】解：如圖，作軸，垂足為F，
∵，，
∴，
∵軸，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是矩形，
∴，
∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過矩形對角線的交點E，
∴．
故答案為：5．
13．
【詳解】解：如圖，過點作，交于點，
則，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
14．（1）；（2）①三；②兩組對應邊相等且一組對應邊的對角相等的兩個三角形不一定全等
【詳解】解：（1）
（2）①解：根據(jù)全等三角形的判定不能推導出，
因此出現(xiàn)錯誤的是第三步，
故答案為：三；
②錯誤的原因是有兩組對應邊相等且一組對應邊的對角相等的兩個三角形不一定全等，
故答案為：兩組對應邊相等且一組對應邊的對角相等的兩個三角形不一定全等．
15．(1)25，25；
(2)
(3)甲產(chǎn)地的荔枝的品質更好，理由見解析
【詳解】（1）解：把乙產(chǎn)地的10個荔枝的單果質量從小到大排列，排在中間的兩個數(shù)分別是25，25，故中位數(shù)；
甲產(chǎn)地的10個荔枝的單果質量中，25出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)．
故答案為：25，25；
（2）從圖中可得，不低于27克的3個大果分別為，
列表如下：
27 27 28
27
27
28
共有6種等可能結果，其中這兩個大果克數(shù)相同的結果有2種，
∴這兩個大果克數(shù)相同的概率為，
故答案為：
（3）解：甲產(chǎn)地的荔枝的品質更好，理由如下：
觀察兩個統(tǒng)計圖，甲產(chǎn)地的10個荔枝的單果質量比較集中，
可以判斷甲產(chǎn)地的荔枝更為勻稱，品質更好．
16．(1)午高峰3小時內(nèi)無人機送單數(shù)是單．
(2)安排無人機配送單，人工配送單，配送費用最低為元．
【詳解】（1）解：設人工送單數(shù)為單，則無人機送單數(shù)是單，則
∴，
解得：，
經(jīng)檢驗：是原方程的根且符合題意；
∴，
∴午高峰3小時內(nèi)無人機送單數(shù)是單．
（2）解：設無人機配送單，人工配送單，則，
∴即，
解得：，
設總的成本為元，則
∴，
而，
∴當時，總成本最低為（元）；
∴安排無人機配送單，人工配送單，配送費用最低為元．
17．(1)見解析；
(2)見解析
【詳解】（1）解：問題：求的長；
解答如下：∵是的直徑，切于點，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
設，則，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去），
∴；
（2）解：如圖所示，以點C為圓心，的長為半徑畫弧交于F，則直線即為所求；
可證明，則．
18．任務一：，同角的余角相等；任務二：；任務三：
【詳解】任務一：解：∵，，
∴，，
∴（同角的余角相等），
故答案為：，同角的余角相等；
任務二：∵測角儀安裝高度與底座同高，
∴，
又，，
∴四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴（）．
任務三：與（任務二）同理可證明：四邊形是矩形，四邊形是矩形，
∴，，
∵，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴．
19．(1)②③
(2)①2；②見解析；③；
(3)不存在，見解析
【詳解】（1）解：①，
找不到圖象關于直線（為常數(shù)）對稱，不是“函數(shù)”；
②
關于直線（軸）對稱，是“函數(shù)”；
③，對稱軸為，
關于直線對稱，是“函數(shù)”；
故答案為：②③；
（2）①∵關于的函數(shù)（為常數(shù)）是“（2）函數(shù)”，
∴函數(shù)關于對稱，
∴，
故答案為：2；
②函數(shù)圖象如圖所示：
當時，y隨x的增大而減小，當時，y隨x的增大而增大，
故答案為：當時，y隨x的增大而減小，當時，y隨x的增大而增大；
③由①得，
設與x軸交于C點，與y軸交于D點，
當時，，當時，，
∴，
作軸交于M點，軸交于N點，
由圖得：，
由對稱性可知，，
∴，
∵，
∴，
設，則，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
∴；
（3）∵關于的二次函數(shù)（b，c為常數(shù)）是“（4）函數(shù)”，
∴關于對稱，
∴，
解得：，
∴拋物線上關于對稱軸對稱的兩點，橫坐標滿足，
∵長度為3的對稱弦，
∴，
設對稱點為，，
∴，
解得：或，
當時，，不符合題意；
，不符合題意；
∴該函數(shù)在內(nèi)不存在長度為3的對稱弦，
故答案為：不存在．
20．（1）是菱形，證明見解析；（2）畫圖見解析，；（3）．
【詳解】（1）∵為的“等腰線”，
∴，
∵平分，
∴，
∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是菱形；
（2）如圖所示，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（3）如圖所示，過點A作于點G，
∵在中，，
∴設，，，則，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
整理得，，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴．

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