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第一章 特殊平行四邊形 單元試卷 2025-2026學年北師大版數學九年級上冊
一、選擇
下列給出的條件中，不能判斷一個四邊形是矩形的是
A．一組對邊平行且相等，有一個內角是直角
B．有 個角是直角
C．兩條對角線把四邊形分成兩對全等的等腰三角形
D．一組對邊平行且相等，且兩條對角線相等
如圖，菱形 中，，則
A． B． C． D．
如圖，在平行四邊形 中，點 為邊 上一點，連接 ，將 沿 翻折，點 的對應點 落在邊 上，，，則邊 的長是
A． B． C． D．
如圖，在矩形 中，點 的坐標是 ，則 的長是
A． B． C． D．
如圖，將矩形紙片 沿 折疊，使點 落在對角線 上的 處．若 ，則 等于
A． B． C． D．
如圖，在正方形 中，，，那么 等于
A． B． C． D．
如圖，在菱形紙片 中，對角線 ， 長分別為 ，，折疊紙片使點 落在 上，折痕交 于點 ，則 的長為
A． B． C． D．
如圖，延長正方形 的 邊至點 ，使 ，則 度．
A． B． C． D．
如圖，菱形 中，，，點 ，， 分別在 ，， 上，，，當 為直角三角形時， 的長為
A． 或 B． C． 或 D． 或
如圖，菱形 中，點 ， 分別是 ， 上的動點，，， 與 相交于點 ，則下列結論中，正確的個數有
① ；② 是等邊三角形；③ ．
A． 個 B． 個 C． 個 D． 個
二、填空題
如圖，在菱形 中，， 是對角線，如果 ，那么 等于 ．
如圖，在 中，，點 是 的中點，，則 ．
如圖，以 為邊在正方形內部 內部作等邊 ，連接 ，，則 ．
如圖，矩形 中，，，對角線 的垂直平分線分別交 ， 于點 ，，連接 ，則 的長為 ．
如圖，矩形 面積為 ，點 在邊 上，，，垂足分別為 ，．若 ，則 ．
已知：如圖， 為坐標原點，四邊形 為矩形，，，點 是 的中點，點 在邊 上運動，當 是腰長為 的等腰三角形時，則 點的坐標為 ．
如圖，將正方形 沿 折疊，點 恰好落在 上的點 處，若 ，，則折痕 的長度為 ．
如圖，矩形 中，，，點 是 邊上一點，連接 ，把 沿 折疊，使點 落在點 處．當 為直角三角形時， 的長為 ．
三、解答題
如圖，在菱形 中，點 是對角線 的中點，過點 的直線 與邊 、 交于點 ，，，連接 、 ．
(1) 求證：四邊形 是矩形．
(2) 若 ，，直接寫出四邊形 的面積．
如圖，將矩形 沿對角線 翻折，點 落在點 處， 交 于點 ．
(1) 求證：；
(2) 若 ，，求圖中陰影部分的面積．
在平行四邊形 中，對角線 ， 相交于點 ． 過點 且與 分別相交于點 ，．
(1) 如圖①，求證：；
(2) 如圖②，若 ，垂足為 ，求證：四邊形 是菱形．
如圖，在 中，點 是 的中點，點 是線段 的延長線上的一動點，連接 ，過點 作 的平行線 ，與線段 的延長線交于點 ，連接 ，．
(1) 求證：四邊形 是平行四邊形．
(2) 若 ，，則在點 的運動過程中：
①當 時，四邊形 是矩形，試說明理由；
②當 時，四邊形 是菱形．
如圖，四邊形 是正方形，點 是 邊上的點，，且 交正方形外角的平分線 于點 ．
(1) 如圖①，當點 是 邊上任一點（不與點 ， 重合）時，求證：．
(2) 如圖②，當點 是 邊的延長線上一點時，（）中的結論還成立嗎？ （填成立或者不成立）．
(3) 當點 是 邊上任一點（不與點 ， 重合）時，若已知 ，那么 的度數是否發生變化？證明你的結論．
答案
一、選擇題（共10題）
1. 【答案】C
2. 【答案】D
【解析】 四邊形 是菱形，
，，
，
，
，
．
故選D．
3. 【答案】A
【解析】如圖，設 與 的交點為 ．
四邊形 是平行四邊形，
，．
將 沿 翻折，
，，．
，
，
，
，
，
四邊形 是菱形，
則 ，，，
，
．
故選A．
4. 【答案】C
【解析】連接 ．
四邊形 是矩形，
，
點 的坐標是 ，
，
．
5. 【答案】C
【解析】 四邊形 是矩形，
，
由折疊的性質得 ，，
，
．
6. 【答案】C
【解析】過 作 交 于 ，
則 ，
四邊形 是正方形，
，，，
，，
四邊形 是平行四邊形，
，
，
，
在 和 中，
，
，
．
7. 【答案】A
【解析】設 點的對應點為 ，連接 ，
由折疊的性質可得：，，
四邊形 是菱形．
，，，
，
設 ，則 ，，，
在 中，，
即 ，解得：，即 ，
．
8. 【答案】C
【解析】連接 ，
四邊形 為正方形，，
， 平分 ，
，
在等腰三角形 中，
，
故選：C．
9. 【答案】A
10. 【答案】D
【解析】（）因為 ，四邊形 是菱形，
所以 ，
所以 ；
（）因為 ，
所以 ，，
所以 ，
所以 ，
所以 是等邊三角形；
（）由②知 ，
所以 ，
所以 ．
二、填空題（共8題）
11. 【答案】
【解析】 四邊形 是菱形，
，
，
，
．
12. 【答案】
【解析】 ， 為 中點，
（直角三角形中，斜邊中線等于斜邊一半）．
13. 【答案】
【解析】 在正方形 中 是等邊三角形，
，，
，
，
，
．
14. 【答案】
【解析】連接 ，
， 互相垂直平分，
四邊形 是菱形，
，
，
，
設 ，則 ，
在 中，
，
，
．
15. 【答案】
【解析】 ， 交于 點，
．
，
，
．
．
16. 【答案】 或 或
【解析】（） 是等腰三角形的底邊時， 就是 的垂直平分線與 的交點，此時 ；
（） 是等腰三角形的一條腰時：
①若點 是頂角頂點時， 點就是以點 為圓心，以 為半徑的弧與 的交點，
在直角 中，，則 的坐標是 ．
②若 是頂角頂點時， 點就是以點 為圓心，以 為半徑的弧與 的交點，
過 作 于點 ，
在直角 中，，
當 在 的左邊時，，則 的坐標是 ；
當 在 的右側時，，則 的坐標是 ．
故 的坐標為： 或 或 ．
17. 【答案】
【解析】過 作 于 ，連接 ，
則 ，
將正方形 的一角折向邊 ，使點 與 上一點 重合，
，
，
，
在 與 中，
，
，
，
．
18. 【答案】 或
【解析】當 為直角三角形時，有兩種情況：
①當點 落在矩形內部時，如答圖 所示．連接 ，
在 中，，，
，
沿 折疊，使點 落在點 處，
，
當 為直角三角形時，只能得到 ，
點 ，， 共線，即 沿 折疊，使點 落在對角線 上的點 處，
，，
，
設 ，則 ，，
在 中，
，
，解得 ，
；
②當點 落在 邊上時，如答圖 所示．
此時 為正方形，
．
綜上所述， 的長為 或 ．
三、解答題（共5題）
19. 【答案】
(1) 四邊形 是菱形，
，
，
，．
是 中點，
．
在 和 中 ，
，
，
四邊形 是平行四邊形，
，
，
，．
，
，
，，
，
四邊形 是矩形．
(2)
【解析】
(2) 四邊形 是矩形，
，
，
，，
．
四邊形 是菱形，
，
設 ，則 ，
，解得 ，
，
，
．
20. 【答案】
(1) 由翻折性質知：，，
四邊形 為矩形，
，，
，，
在 和 中，
．
(2) ，
，
設 ，則 ，
在 中，，
即 ，解得 ，
，
陰影部分的面積為 ．
21. 【答案】
(1) 四邊形 是平行四邊形，
，，
，
在 與 中，
，
；
(2) ，，
四邊形 是平行四邊形，
，
四邊形 是菱形．
22. 【答案】
(1) ，
，，
點 是 的中點，
，
在 和 中，
，
，
四邊形 是平行四邊形．
(2) ①
當四邊形 是矩形時，，
，
，
，
．
②
【解析】
(2) 四邊形 是菱形時，，
，
，
是等邊三角形，
．
23. 【答案】
(1) 在 邊取一點 ，使 ，連接 ，
四邊形 是正方形，
，，，
，即 ，
，，
，，
，
， 平分 ，
，
，
，
．
(2) 成立
(3) 不發生變化．
在 邊取一點 ，使 ，連接 ，分別過點 ， 作 ，，垂足分別為點 ，，
，
由（）中知，，，
，
，
，
，
，
，
又 ，
，
．
【解析】
(2) 在 的延長線上取點 ，使得：，連接 ，
四邊形 為正方形，，
，，
為等腰直角三角形，
，
又 為正方形的外角平分線，
，
，
，
，
又 ，
，
，
在 和 中，
，
．
故答案為：成立．

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