資源簡介

福州高級中學2025-2026學年高三第一次階段考數學試卷
本試卷共4頁，19小題.滿分150分.考試用時120分鐘.
注意事項：
1.答卷前，考生務必要填涂答題卷上的有關項目.
2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答案涂在答題卷相應的位置上
3,非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區域內：
如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液，不按以上要
求作答的答案無效.
4請考生保持答題卷的整潔.考試結束后，將答題卷交回
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項
是符合題目要求的，
1.設合4=p-,B=+>0
則AnB=()
A.（-1,0)
B.(-1,0]
C.(2,+m)
D.[2,+o)
2.若復數=(1-i)1+2i)(其中i為虛數單位)，則=()
A.2
B.√
C.10
D.10
3.已知x>0,y>0,且4x+y-xy=0,則r+y的最小值為()
A.8
B.9
C.10
D.11
4.雙曲線
京=1(a>0,b>0)的一條漸近線與直線x+2y+1=0垂直，則雙曲線的離心率為()
A.3
2
B.5
c.5
D.5
5.己知圓臺的上、下底面半徑分別為1和2，其側面積等于上、下底面積之和，則該圓臺的體積為()
A號
B.28
C.4π
D.28z
9
3
6.已知數列a,}的通項公式為a,=n+a，則4，>a“"是“數列{a}單調遞增的()
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充分必要條件
D,既不充分也不必要條件
7.在貴州“村超”總決賽階段，某校足球社的5名學生準備分成三組前往村超球隊所在的平地村、口寨村、
第1頁
忠誠村3個村寨進行調研，每組至少1人，其中甲、乙2人不能分在同一組，每個村各有一組來調研，則
不同的安排方法種數是()
A.114
B.120
C.150
D.180
8.若過點Q,m可以作y=(x+1)e的三條切線，則實數m的取值范圍是()
A.(-4e2,0)
B.(-6e3,0)
C.(6e3,2e)
D.(e,2e)
二、多選題：本題共3小題，每小題6分共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目
要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分：
9.已知函數()=血(@x+叭0>0←習的部分圖象如圖所示，則()
A.0=2
7元
B.=
3
12
12
C.y=x+是奇函數
D.當xE[3元4時，f(x)的圖象與x軸有2個交點
10.從4G到5G通信，網絡速度提升了40倍其中，香農公式C=m.(1+對)是被廣泛公認的通信理論
基礎和研究依據，它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞率C取決于信道帶寬W、信道內信號的
平均功率s,信道內部的高斯噪聲功率N的大小，其中S叫做信噪比根據香農公式，以下說法正確的是
()(參考數據：g5≈0.6990)
A。若不改變信噪比是，而將信道帶寬印增加一信，則℃特加一信
B.若不改變信道帶寬W和信道內信號的平均功率$，而將高斯噪聲功率N降低為原來的一半，則C增
加一倍
C.若不改變帶寬m,而將信噪比S從255提升至1023，C增加了25%
D.若不改變帶寬印，而將信噪比
從999提升至4999，C大約增加了23.3%
11.已知正三棱錐A-BCD的三條側棱長均為2，E為側棱AD的中點，AB”CE,則下列結論正確的是
()
A.平面ABC、平面ABD、平面ACD兩兩互相垂直
B.三棱錐A-BCD外接球的體積為4v3π
C.三棱錐A-BCD的底面BCD上的高為
3
第2頁《福州高級中學 2025-2026 學年高三第一次階段考數學》參考答案
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B D B C A B ABD ACD
題號 11
答案 ABD
1．A
【詳解】 ，即 ，解得： 或 ， ，
，
則 .故選：A
2．C
【詳解】方法一：因為 ，所以 .
方法二：因為 ，所以 .故選：C
3．B
【詳解】由 ，則 ，
所以 ，當且僅當 時，等號成立.故選：B.
4．D
【詳解】由題意得，雙曲線的漸近線方程為 ，
因為雙曲線的一條漸近線與直線 垂直，
所以漸近線為 ，且 ，所以 ，
所以雙曲線的離心率為 .故選：D.
5．B
【詳解】設圓臺的母線長 ，圓臺為高為 ，
則圓臺的上、下底面圓的面積分別為 ，
側面積為 ，
所以 ，可得 ，則 ，
所以圓臺的體積為 .故選：B.
6．C
【詳解】解：數列 單調遞增 ，可得： ，化為： .
∴ .由“ ”可得： ，可得： .
∴“ ”是“數列 單調遞增”的充要條件，故選：C.
7．A
【詳解】根據題意，5 名學生分成三組分組方法分為兩種：
① 分組：總分組方式為 種，其中甲、乙同在三人組的方式有 種，故符
合條件的為 種；
② 分組：總分組方式為 種，其中甲、乙同在兩人組的方式為 種，故符
合條件的為 種.
由分類加法計數原理，總分組方式為 種，三組對應三個村寨的排列方式為 種，
故最終總方法數為 種.故選：A.
8．B
【詳解】依題意，設切點坐標為 ，由 ，求導得 ，
則函數 的圖象在點 處的切線方程為 ，
由切線過點 ，得 ，
令 ，依題意，直線 與函數 的圖象有 3 個公共點，
，當 或 時， ，當 時，
，
則函數 在 上單調遞減，在 上單調遞增，
當 時，函數 取得極小值 ，而當 時，恒有 ，
又 ，因此當 時，直線 與函數 的圖象有 3 個公共
點，所以實數 的取值范圍是 .故選：B
9．ABD
【詳解】由圖像可得 ，故 ，故 ，故 A 正確；
故 ，而 ，故 ，
故 ，而 ，故 ，故 B 正確；
因為 ，故 為偶函數，故 C 錯誤；
故 ，當 時， ，
因為 在 上的零點為 ，
故 在 上有兩個不同的零點，故 D 正確，故選：ABD.
10．ACD
【詳解】對于 ，若不改變信噪比 ，而將信道帶寬 增加一倍，
即 ，則 增加一倍，所以 正確；
對于 ，若不改變信道帶寬 和信道內信號的平均功率 ，
而將高斯噪聲功率 降低為原來的一半，
即 ，所以 B 錯誤；
對于 C，若不改變帶寬 ，而將信噪比 從 255 提升至 1023，
則 ，
所以 C 增加了 ，所以 C 正確；
對于 D，若不改變帶寬 ，而將信噪比 從 999 提升至 4999，
則 ，
所以 D 正確.故選：ACD.
11．ABD
【詳解】對于 A，由正三棱錐 對棱互相垂直，則 ，又 ，
平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，平面 平面 ，
又 平面 ， ，
又 ， 平面 ，則 平面 ， 平面
，
所以平面 平面 ，
所以平面 、平面 平面 兩兩互相垂直，故 A 正確；
對于 B，由 結合 A 選項，棱錐側面均為等腰
直角三角形，可得 ，將此三棱錐補全為正方體，
正方體的棱長為 2，設正三棱錐 的外接球的半徑為 ，則
，則外接球的體積
，故 B 正確；
對于 C，設三棱錐 的底面 上的高為 ，由等體積法可得
，解得 ，故 C 錯誤；
對于 D，設內切球的球心為 ，半徑 ，由
，
即 ，解得
，故 D 正確.故選：ABD.
12．
【詳解】因為 ，所以 ，又 ，
所以向量 在向量 上投影向量為 ，故所求坐標為 .
13．84
【詳解】二項展開式通項公式為 ，
所以 的系數為 ，即 .
14．
【詳解】
如圖所示，不妨設 在第一象限，則 ，因 ，則 ，
在 中，因 ，且由 ，可知點 B 是 的中點，
則得 ，且 ，
因為 ， 平分 ，故 ，
故 為等腰直角三角形， ，
由題意知 ，則 ，即 ，
根據橢圓的定義可得 ，
聯立 ，解得 ，
在直角 中 ，即 ，
化簡得 ，又因 ，兩者聯立解得 ，
故橢圓標準方程為 .
15．(1) (2) ．
【詳解】（1）因為 ，所以 2 分
又因為 . 4 分
所以 ，故 . 6 分
（2）由余弦定理， ，所以 ． 8 分
又因為 ，所以 ，即 . 10 分
當且僅當 時取等號．
所以 面積 . 12 分
所以 面積的最大值為 . 13 分
16．(1)證明見解析 (2)
【詳解】（1）由 ，
當 時， ， 1 分
當 時， ，
兩式相減得 ， 3 分
即 ，所以 ，
所以 ， 5 分
當 時， ，上式也成立， 6 分
所以數列 為常數列； 7 分
（2）由（1）得 ，
所以 ， 9 分
則
， 10 分
則 ， 11 分
兩式相減得 12 分
， 14 分
所以 . 15 分
17．(1)證明見解析 (2) (3)
【詳解】（1）如圖所示，取 的中點 ，在 上取 ，
因為 是 的中點， 是 的中點，
所以 ，且 ， 1 分
因為 ， ，
所以 ，且 ， 2 分
所以 ， ，
所以四邊形 是平行四邊形，則 ， 3 分
因為 平面 平面 ，
所以 平面 ； 4 分
（2）如圖，設 ， ，取 中點為 ， 的中點為 ，
由正方體性質可知，點 為正方體的中心，
所以四棱錐 和四棱錐 重合的幾何體為四棱錐 和三棱柱
形成的組合體． 5 分
，
； 8
分
（3）以 點為坐標原點， 為 軸， 為 軸， 為 軸建立如圖所示的空間直角坐
標系， 9 分
有 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ， 10 分
設平面 的法向量 ，
則 ，令 ，解得： ， ， 11 分
， ，
設平面 的法向量 ，
則 ，令 ，解得： ，即 ， 12 分
設 所成二面角的平面角為 ，
， 14 分
由圖可知，二面角 所成角的平面角為鈍角，
所以 所成二面角的平面角的余弦值為 ． 15 分
18．(1) (2)（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ） 或
【詳解】（1）由 的面積為 ，得 ，解得 ， 1 分
所以 ①， 2 分
又點 在橢圓 C 上，所以 ②， 3 分
聯立①②解得 ，所以橢圓 C 的標準方程為 . 4 分
（2）設 ， ， ，聯立方程 ，
消 x 得： ，直線 l 與線段 AF 交于 S 點，則 ，
所以 ， ， 7 分
（Ⅰ）因為
， 9 分
所以 ， 10 分
（Ⅱ）由 得： ，即 ，又 .
所以 ，所以 ，則 ， 12 分
所以 ，又 ，
所以 ，所以 ， 14 分
所以 P 為線段 AF 的中垂線 與橢圓的交點，
由 ，解得： 或 ， 16 分
因此，P 的坐標為 或 . 17 分
19．（1） （2） （3）證明見解析
【詳解】（1）當 時， ， ， 1 分
，所以 ， 2 分
所以曲線 在點 處的切線方程為 ，即 .
3 分
（2）因為 對任意的 恒成立，
即 對任意的 恒成立，
令 ， ，則 ， 5 分
當 時，因為 ，所以 ，
所以 ，不合題意； 6 分
當 時，因為 ，所以 ，所以 ，
所以 在 上單調遞增，
故要使 對任意的 恒成立，只需 ， 8 分
即 ，得 .
所以 的取值范圍為 . 9 分
（3）因為 ， ，
且函數 與 在點 處的切線互相垂直，
所以 ，即 ，① 11 分
又點 是函數 與 的一個交點，所以 ，② 12
分
聯立①②消去 得 ，即 13
分
當 ，因為 ，所以 ，且 ，這與②式相矛盾，
所以在 上沒有 滿足題意； 14
分
當 時，設 ，
則 ，
所以函數 在 上單調遞增， 15
分
所以函數 在 上至多有一個零點，
因為 ，
， 16
分
因為函數 的圖象在 連續不斷，
所以函數 在 上有唯一一個零點，
即只有唯一的 ，
使得 成立，且 ，
綜上所述：存在唯一的 滿足題意，且 ． 17
分

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