資源簡介

1.2.2 數軸
教材分析
本節課“數軸”是在小學學習用直線表示數的基礎上，進一步引入負數，構建完整的數軸概念，從而用數軸上的點表示有理數。教材通過生活情境中汽車站牌與樹木、標志桿等位置關系的描述，引導學生用正負數表示方向與距離，并通過溫度計的類比，抽象出數軸的定義，即規定了原點、正方向和單位長度的直線。教學過程可從實際問題出發，引導學生經歷從具體情境到數學抽象的過程，再通過歸納總結數軸的三要素及其表示數的方法。本節內容是后續學習有理數大小比較、相反數、絕對值及函數圖像表示的基礎。通過本節課的學習，學生能夠建立數形結合的基本思想，提升抽象概括能力和數學建模意識，為理解更復雜的數學概念與問題解決提供直觀工具。
學情分析
七年級學生已經掌握了正數、0和負數的基本概念，并在小學階段接觸過在有刻度的直線上表示數，具備初步的數形結合意識，這個階段的學生正處于由具體思維向抽象思維過渡的關鍵期，對直觀、形象的知識接受能力較強，但對抽象概念的理解仍需借助具體情境支撐，本節課通過生活實例引入數軸的概念，要求學生理解數軸的三要素（原點、正方向、單位長度），并能用數軸上的點表示有理數，幫助學生建立數形結合的思想，提升抽象概括能力和數學建模能力，同時通過數軸的學習，為后續理解相反數、絕對值及有理數運算奠定基礎。
教學目標
理解數軸的三要素（原點、正方向、單位長度），掌握用數軸上的點表示有理數的方法，通過實際問題抽象出數軸模型，提升數學抽象和直觀想象核心素養，發展建模能力。
能根據數軸上的點判斷其所表示的數及其位置關系，理解正負數在數軸上的幾何意義，增強數形結合意識，提高分析和解決問題的能力。
通過數軸與現實問題的聯系，體會數學來源于生活并服務于生活，激發學習興趣，培養嚴謹、條理的數學思維和探索精神。
重點難點
重點：
理解數軸的概念，掌握數軸的三要素，會用數軸上的點表示有理數。
難點：
體會數軸上的點與有理數的對應關系，理解用數軸表示數的意義。
課堂導入
同學們，我們先來看一個有趣的場景。假設學校是一個中心點，小明家在學校東邊500米處，小莉家在學校西邊300米處，若把學校、小明家和小莉家的位置在紙上呈現，該怎么表示呢？我們可以畫一條直線，把學校當作一個固定點，規定一個方向代表東，另一個方向代表西，再確定一個長度代表100米。這樣，小明家的位置就可以在代表東的方向，距離學校5個這樣長度的地方表示，小莉家則在代表西的方向，距離學校3個這樣長度的地方表示。通過這個例子，我們發現能借助直線上的點來表示具有相反意義的量。那這種方法能不能用來表示有理數呢？今天，我們就一起來學習“數軸”。
數軸
探究新知
（一）知識精講
讓我們從一個實際問題開始探究數軸的概念。觀察圖1.2-1，這是一條表示馬路的直線，從左到右表示從西到東的方向。在直線上任取一點表示汽車站牌的位置，規定1個單位長度代表1米。
在點右邊，距離3個和7.5個單位長度的點和點分別表示柳樹和交通標志桿；在點左邊，距離3個和4.8個單位長度的點和點分別表示槐樹和電線桿。這樣，我們就用正數表示東側的位置，用負數表示西側的位置。
思考圖1.2-3中的溫度計，它和圖1.2-2有什么共同點呢？
通過觀察可以發現，它們都具有以下三個特征：
都有一個基準點（原點）表示0
都有明確的正負方向
都有統一的單位長度
在數學中，我們把滿足這三個條件的直線稱為數軸：
任取一點表示數0，稱為原點
規定向右為正方向，向左為負方向
選取適當的單位長度
數軸被原點分成正半軸和負半軸兩部分。任何有理數都可以用數軸上的點來表示，例如6.5表示正半軸上距離原點6.5個單位長度的點，表示負半軸上距離原點個單位長度的點。
（二）師生互動
教師提問：同學們，如果數軸上表示-5的點向右移動3個單位長度，它現在表示什么數？如果表示2.5的點向左移動4個單位長度呢？
學生回答：-5向右移動3個單位長度后表示-2；2.5向左移動4個單位長度后表示-1.5。
教師追問：很好！那如果數軸上有一個點，它到原點的距離是7個單位長度，這個點可能表示哪些數？
學生思考后回答：可能是7或-7，因為距離原點的距離相等但方向相反的兩個點表示的是相反數。
（三）設計意圖
通過生活實例引入數軸概念，幫助學生建立從具體到抽象的思維過程。借助溫度計等常見物品的類比，培養學生的觀察能力和類比推理能力。通過師生互動中的問題設計，加深學生對數軸三要素的理解，特別是對相反數和絕對值的直觀認識。這種教學方式注重培養學生的數形結合思想，為后續學習有理數運算奠定基礎。
新知應用
例2題目：
畫出數軸，并在數軸上表示下列各數：
解答：
我們先來回顧一下數軸的定義和畫法：
數軸是一條規定了原點、正方向和單位長度的直線。
原點表示0；
正方向通常向右（或向上）；
單位長度是任意選取的，但必須統一。
接下來我們一步步在數軸上標出這些數：
畫出數軸：
畫一條水平直線，標出原點（通常在中間），向右為正方向，向左為負方向。
每隔一個單位長度標出整數點：如1、2、3……和-1、-2、-3……
標出各數的位置：
數 3：從原點向右數3個單位長度，標出點；
數 -4：從原點向左數4個單位長度，標出點；
數 4：從原點向右數4個單位長度，標出點；
數 0.5：在0和1之間，距離原點0.5個單位長度，標出點；
數 0：就是原點本身；
數 ：即-2.5，從原點向左數2.5個單位長度，標出點；
數 -1：從原點向左數1個單位長度，標出點。
最終結果如圖1.2-5所示：
總結：
1.題目考查內容
①數軸的定義與畫法；
②有理數在數軸上的表示方法；
③正數、負數、0在數軸上的位置關系。
2.題目求解要點
①掌握數軸的三要素：原點、正方向、單位長度；
②理解正數在原點右側，負數在原點左側，0在原點；
③能準確地將給定的有理數（包括分數）在數軸上標出；
④注意單位長度的一致性，避免標錯位置。
新知鞏固
題目：第1題
解答：
我們逐項分析選項：
A．數軸是一條規定了原點、正方向的直線
錯誤。數軸不僅需要規定原點和正方向，還需要規定單位長度。因此，完整的數軸定義應包括：原點、正方向、單位長度。
B．整數和分數統稱為有理數
正確。有理數包括整數和分數（有限小數和無限循環小數），它們都可以表示為兩個整數之比（分母不為0）。
C．符號不同的兩個數互為相反數
錯誤。只有符號不同，且絕對值相同的兩個數才互為相反數。例如，3和-3互為相反數，但3和-2不是。
D．兩數相加，同號得正，異號得負
錯誤。這是乘法的符號法則，不是加法的。加法的結果取決于兩個數的大小和符號，不能簡單地用“同號得正，異號得負”來判斷。
因此，正確答案是 B。
總結：
1.題目考查內容
本題考查數軸的定義、有理數的分類、相反數的概念以及加法的符號法則。
2.題目求解要點
數軸的定義必須包含三個要素：原點、正方向、單位長度；
有理數包括整數和分數；
相反數必須是絕對值相同、符號相反的兩個數；
加法的符號法則不能簡單地用“同號得正，異號得負”來判斷。
3.同類型題目解題步驟
逐項分析每個選項；
回憶相關定義和性質；
判斷每個選項是否符合數學定義；
選出唯一正確的選項。
題目：第2題
解答：
我們逐項分析選項：
A．任何一個有理數都有倒數
錯誤。0沒有倒數，因為任何數與0相乘都為0，不能得到1。
B．若一個數的絕對值是它的相反數，則這個數為負數
錯誤。0的絕對值是0，它的相反數也是0，但0不是負數。
C．若兩個數互為相反數，則數軸上表示它們的點到原點的距離相等
正確?；橄喾磾档膬蓚€數，如a和-a，它們到原點的距離都是|a|，因此相等。
D．如果一個有理數表示的點離開原點的距離越遠，這個數越大
錯誤。距離原點越遠的數，其絕對值越大，但不代表這個數本身越大。例如，-5比3離原點遠，但-5 < 3。
因此，正確答案是 C。
總結：
1.題目考查內容
本題考查倒數的定義、絕對值的性質、相反數的幾何意義以及數軸上點與數的大小關系。
2.題目求解要點
0沒有倒數；
絕對值是它的相反數的數可以是0或負數；
相反數在數軸上關于原點對稱，距離原點相等；
點離原點越遠，表示的數不一定越大。
3.同類型題目解題步驟
分析每個選項的數學含義；
判斷是否符合定義或性質；
舉出反例驗證；
選出唯一正確的選項。
題目：第3題
解答：
根據題意和圖示，有理數a和b在數軸上的位置如下：
a在原點左側，說明a < 0；
b在原點右側，說明b > 0；
|a| > |b|，說明a的絕對值大于b的絕對值。
我們逐項分析選項：
A．
錯誤。因為a是負數且絕對值更大，a + b的結果仍然是負數。
B．
錯誤。a < 0，b > 0，所以ab < 0。
**C．**
錯誤。-a是正數，且|a| > |b|，所以 -a + b > 0。
**D．**
正確。因為|a| > 0，b > 0，所以 -|a| - b 是兩個負數相加，結果小于0。
因此，正確答案是 D。
總結：
1.題目考查內容
本題考查數軸上點的位置與數的大小關系、絕對值、相反數、代數式的符號判斷。
2.題目求解要點
根據數軸判斷數的正負；
利用絕對值比較大小；
分析代數式的符號；
注意負號和絕對值的運算順序。
3.同類型題目解題步驟
從數軸上讀取數的正負和大小關系；
分析代數式中各項的符號；
結合數的大小進行代數運算；
判斷代數式的整體符號。
題目：第4題
解答：
題目要求找出在數軸上與-2的距離等于4的點所表示的數。
設這個點表示的數為x，則根據數軸上兩點之間的距離公式，有：
即：
解這個絕對值方程：
解得：
因此，這兩個點表示的數分別是2和-6。
總結：
1.題目考查內容
本題考查數軸上兩點之間的距離、絕對值方程的解法。
2.題目求解要點
數軸上兩點之間的距離公式為 ；
絕對值方程有兩個解；
解絕對值方程時要分情況討論。
3.同類型題目解題步驟
設未知數為x；
列出距離公式；
解絕對值方程；
得出所有可能的解。
板書設計
數軸
├─ 定義
│ ├─ 原點：直線上表示數的點
│ ├─ 正方向：從原點向右（或上）
│ └─ 單位長度：選取適當長度
├─ 構成部分
│ ├─ 正半軸：正方向一側
│ └─ 負半軸：另一側
├─ 有理數表示
│ ├─ 正數：正半軸上，距原點個單位長度
│ ├─ 負數：負半軸上，距原點個單位長度
│ └─ 0：原點
└─ 作用：借助圖形直觀表示數相關問題
教學反思
本節課通過生活實例引入數軸概念，結合方向與距離的關系，幫助學生理解用數表示直線上的點這一抽象過程，教學設計結構清晰，層次分明，符合七年級學生的認知特點。課堂中通過問題引導、圖形觀察、歸納總結等方式，使學生逐步建立數形結合的思想，較好地完成了教學目標。成功之處在于借助實際情境和直觀圖形，激發了學生的學習興趣，增強了理解效果；不足在于對數軸單位長度的選取與實際問題的對應關系講解略顯倉促，部分學生在應用中出現困惑。今后教學中應加強數軸三要素在實際問題中的具體應用訓練，進一步提升學生的抽象概括能力與數學建模意識。

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