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(共23張PPT)
第六章 平面向量
6.2.3 向量的數(shù)乘運(yùn)算
人教A版2019必修二
學(xué)科素養(yǎng)
利用有向線(xiàn)段將平面向量的數(shù)乘運(yùn)算具體化
數(shù)學(xué)抽象
掌握平面向量數(shù)乘運(yùn)算，利用向量的運(yùn)算解決實(shí)際問(wèn)題
數(shù)學(xué)建模
通過(guò)課堂探究逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力
邏輯推理
利用 通過(guò)有向線(xiàn)段直觀(guān)判斷平面向量的數(shù)乘運(yùn)算
直觀(guān)想象
數(shù)學(xué)分析
能夠正確計(jì)算和判斷向量的數(shù)乘運(yùn)算
數(shù)學(xué)運(yùn)算
00:47
00:47
向量的數(shù)乘運(yùn)算
創(chuàng)設(shè)情境
問(wèn)題1：(1)向量是如何進(jìn)行加法和減法運(yùn)算 你能總結(jié)一下我們的研究方法與路徑嗎
(2)你認(rèn)為我們還可以研究向量的什么運(yùn)算
(3)如果實(shí)數(shù)與向量可以做乘法運(yùn)算，你認(rèn)為應(yīng)該怎樣去研究這種運(yùn)算
向量的數(shù)乘運(yùn)算
新知探究
問(wèn)題2：已知非零向量 ，作出 和 ，它們的長(zhǎng)度和方向是怎樣的？
O
A
B
C
N
M
Q
P
類(lèi)比乘法
記作
相同
方向
長(zhǎng)度
的3倍
類(lèi)比乘法
記作
相反
方向
長(zhǎng)度
的3倍
追問(wèn)：在整式運(yùn)算中，我們可以將x+x+x用乘法簡(jiǎn)寫(xiě)為3x。對(duì)于非零向量a，a+a+a我們可以怎樣簡(jiǎn)寫(xiě)呢？
向量的數(shù)乘運(yùn)算
新知探究
思考：
思考：已知非零向量a， a的長(zhǎng)度與方向分別是怎樣的？
一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量 的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作
提出定義
向量的數(shù)乘
它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：
幾何意義：將 的長(zhǎng)度擴(kuò)大(或縮小)|λ|倍，改變(不改變) 的方向，
就得到了
特別地，當(dāng)λ=0或 時(shí)，
（1）長(zhǎng)度
（2）方向當(dāng)λ>0時(shí)， 的方向與 方向相同；
當(dāng)λ<0時(shí)， 的方向與 方向相反.
思考：你對(duì)零向量、相反向量有什么新的認(rèn)識(shí)
向量的數(shù)乘運(yùn)算
新知探究
=
問(wèn)題3： 求作向量 和 ( 為非零向量)，向量 和 ,向量 和 ,并進(jìn)行比較.
向量的數(shù)乘運(yùn)算律
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
－(λa)
λ(－a)
λa－λb
線(xiàn)性
向量
λu1a±λu2b
向量的數(shù)乘運(yùn)算
新知探究
問(wèn)題4：通過(guò)練習(xí)，你能發(fā)現(xiàn)實(shí)數(shù)與向量的積與原向量之間的位置關(guān)系嗎？
實(shí)數(shù)與向量的積與原向量共線(xiàn)
追問(wèn)1：a＝λb a與b共線(xiàn)，對(duì)嗎？
正確
追問(wèn)2：若a與b共線(xiàn)，一定有a＝λb嗎？
不一定．當(dāng)b＝0，a＝0時(shí)，λ有無(wú)數(shù)個(gè)值；當(dāng)b＝0，a≠0時(shí)，λ無(wú)解；只有當(dāng)b≠0時(shí)，才有a＝λb.
一定存在,且是唯一的.
共線(xiàn)向量定理
向量a(a≠0)與b共線(xiàn)的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使_________.
b＝λa
思考：為什么a要是非零向量？b可以是非零向量嗎？
牛刀小試
例練結(jié)合
例1：計(jì)算
解：（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
方法小結(jié)
3:6
向量的數(shù)乘運(yùn)算類(lèi)似于實(shí)數(shù)運(yùn)算,遵循括號(hào)內(nèi)運(yùn)算優(yōu)先原則,將相同的向量看作“同類(lèi)項(xiàng)”進(jìn)行合并.向量的數(shù)乘要注意所得結(jié)果仍是向量,同時(shí)要在理解其幾何意義的基礎(chǔ)上,熟練運(yùn)用運(yùn)算律.
向量的數(shù)乘運(yùn)算技巧
例練結(jié)合
例2：□ABCD的兩條對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)M，且 試用
表示向量 和
A
B
D
C
M
解：在□ABCD中，
由平行四邊形的兩條對(duì)角線(xiàn)互相平分，得
例練結(jié)合

A
B
C
解：
所求作如圖示，
由所作圖猜想A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn). 證明如下：
例3 如圖，已知任意兩個(gè)非零向量 ，試作
. 猜想A, B, C
三點(diǎn)之間的位置關(guān)系，并證明你的猜想.
例練結(jié)合
例4 已知a，b是兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，向量b-ta與 a- b共線(xiàn)，求實(shí)數(shù)t.
解：
方法小結(jié)
3:6
向量共線(xiàn)定理的應(yīng)用
例練結(jié)合
例練結(jié)合
方法小結(jié)
3:6
用已知向量表示其他向量的兩種方法
(1)直接法．
(2)方程法．
當(dāng)直接表示比較困難時(shí)，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程．
當(dāng)堂小測(cè)
1.B 2.C 3.D 4.－2
課堂小結(jié)
思考：
(1)通過(guò)這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？
(2)在解決問(wèn)題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？
課后作業(yè)
完成教材：第15頁(yè) 練習(xí) 第1，2，3題
第16頁(yè) 練習(xí) 第1,2,3題
第23頁(yè) 習(xí)題6.2 第8,9,14,15題

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