資源簡介

6.4.3.1 余弦定理
1、了解向量法證明余弦定理的推導過程；
2、掌握余弦定理及其推論；
3、能用余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題；
4、通過學習向量的有關概念，提升數學抽象素養；通過判斷與向量有關命題的真假，提升邏輯推理素養.
重點：余弦定理及其推論
難點：余弦定理的推導過程及其應用
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三邊：????????、????????、????????
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三角：∠????、∠????、∠????
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思考：你還記得與三角形有關的哪些知識點？
①內角和定理(三個角)
②直角三角形：勾股定理(三條邊)
③直角三角形：銳角三角函數(邊與角)
④大邊對大角，小邊對小角
⑤面積公式
⑦全等三角形的判定(????????????,????????????,????????????,????????????)
?
⑥相似三角形的判定
邊角的定量關系
邊角的定性關系
三角形全等的這些判定方法表明，給定三角形的三個角、三條邊這六個元素中的某些元素，這個三角形就是唯一確定的.
????????????：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等.
?
思考：若已知三角形的兩邊和其夾角，這個三角形唯一嗎？
思考：三角形的其他元素與給定的某些元素有怎樣的數量關系？
探究：在?????????????中，三個角????、????、????所對的邊分別是????、????、????，怎樣用????、????和????表示????？
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因為涉及的是三角形的兩邊長和它們的夾角，所以我們考慮用向量的數量積來探究.
定性
定量
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如圖，設????????=????，????????=????，????????=????，
那么????=?????????，則|????|2=?????????=(?????????)?(?????????)
=?????????+??????????2?????????
=????2+????2?2|????||????|?????????????????.
所以????2=????2+????2?2?????????????????????????.
?
同理????2=????2+????2?2?????????????????????????，
????2=????2+????2?2?????????????????????????.
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思考：如何用文字語言敘述上述邊角關系？
余弦定理(??????????????????????????????????????????????????) 三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與他們夾角的余弦的積的兩倍.即
????2=????2+????2?2??????????????????????????，
????2=????2+????2?2??????????????????????????，
????2=????2+????2?2??????????????????????????.
?
利用余弦定理，我們可以從三角形已知的兩邊及其夾角直接求出第三邊.
思考：余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個角之間的關系.應用余弦定理，我們可以解決已知三角形的三邊確定三角形的角的問題嗎？
?????????????????=????2+????2?????22????????
?????????????????=????2+????2?????22????????
?????????????????=????2+????2?????22????????
?
思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊之間的關系，余弦定理則指出了三角形的三邊與其中的一個角之間的關系.你能說說這兩個定理之間的關系嗎？
如果?????????????中有一個角是直角，例如，????=90°，這時?????????????????=0.
由余弦定理可得????2=????2+????2，這就是勾股定理.
由此可見，余弦定理是勾股定理的推廣，而勾股定理是余弦定理的特例.
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思考：你還能用其他方法證明余弦定理嗎？
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法二(坐標)：以????為原點建系如圖，
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則????(0,0)，????(????,0)，
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????(????????????????????,????????????????????)，
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無論????為銳角、直角還是鈍角，由三角函數的定義可得
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由兩點間的距離公式得：????????2=(?????????????????????????)2+(?????????????????????0)2
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即????2=????2????????????2?????2?????????????????????????+????2+????2????????????2????
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所以????2=????2+????2?2?????????????????????????
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以????、????為原點建系，同理可得：????2=????2+????2?2??????????????????????????，
????2=????2+????2?2?????????????????s?????.
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法三(幾何)：當?????????????為銳角三角形時，
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過點????作????????⊥????????，垂足為????，
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則????????2=????????2+????????2=(?????????????????)2+????????2
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=????????2?2?????????????????+????????2+????????2
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=????????2?2????C?????????+????????2
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=????????2?2?????????????????????????????????+????????2
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所以????2=????2+????2?2?????????????????????????
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當?????????????為鈍角三角形時，過點????作????????的垂線，垂足為????，
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則????????2=????????2+????????2=(????????+????????)2+????????2
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=????????2+2?????????????????+????????2+????????2
?
=????????2+2?????????????????+????????2
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=????????2+2?????????????????????????????(?????????)+????????2
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=????????2?2?????????????????????????????????+????????2
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易證當?????????????為直角三角形時，上式成立
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例題：在?????????????中，已知????=23，????=6+2，????=45°，求邊????和角????、????.
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解：由余弦定理得：????2=????2+????2?2??????????????????????????
=(23)2+(6+2)2?2×23×(6+2)?????????????45°=8，
所以????=22.
由推論得：????????????????=????2+????2?????22????????=(22)2+(6+2)2?(23)22×22×(6+2)=12，所以????=60°，所以????=180°?(????+????)=75°.
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一般地，三角形的三個角????，????，????和它們的對邊????，????，????叫做三角形的元素.
已知三角形中的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.
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1、(2)在?????????????中，已知????=5，????=2，????=????3，求????.
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教材P44
2、在?????????????中，已知????=2，????=2，????=3+1，解三角形.
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“知a,c及一角C”：(余C)構造關于b的一元二次方程
3、在?????????????中，已知????=5，????=5，????????????????=910，求????.
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19
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????=45°，????=30°，????=105°
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解：????2=????2+????2?2??????????????????????????，即5=25+????2?9????，
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即????2?9????+20=0
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思考：利用余弦定理及其推論，可以解決哪幾類解三角形問題？
利用余弦定理，可以解決以下兩類有關三角形的問題：
（1）已知兩邊一角，求第三邊和其他兩個角；
（2）已知三邊，求三個角．
例題：在?????????????中，2????????????????????=????，則該三角形一定是( ).
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等邊三角形 D.不能確定
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解：由2????????????????????=????和余弦定理得：2?????????2+????2?????22????????=????，
所以????2+????2?????2=????2，即????2=????2，
因為????>0，????>0，所以????=????
所以?????????????為等腰三角形
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A
練習：在?????????????中，????????????2????2=?????????2????，則?????????????的形狀為( ).
A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
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B
練習：在?????????????中，若????2=????2+????2?2????????，且????=2????，則?????????????為( ).
A.等邊三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形
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C
解析：∵sin2????????＝????－????????????????????＝????－????????????，∴cos A＝????????＝????????＋????????－????????????????????，∴a2＋b2＝c2，
滿足勾股定理.故選B.
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解析：由a2＝b2＋c2－????bc，得????????＋????????－????????????????????＝????????，即cos A＝????????.
∵A∈（0，π），∴A＝????????，∴B＝2A＝????????，則C＝A＝????????，
∴△ABC為等腰直角三角形.故選C.
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利用三角形的邊角關系判斷三角形的形狀時，需要從“統一”入手，即用轉化的思想解決問題，一般有兩個思路：
（1）化邊為角，再進行三角恒等變換，求出三個角之間的關系；
（2）化角為邊，再進行代數恒等變換，求出三條邊之間的關系.
一般地，若遇到的式子含角的余弦或邊的二次式，則要考慮用余弦定理.
練習：在銳角?????????????中，????=1，????=2，則????的取值范圍為( ).
A.1?
C
解析：若a為最大邊，則b2＋c2＞a2，即a2＜5，∴0＜a＜????，
若c為最大邊，則a2＋b2＞c2，即a2＞3，∴a＞????（負值舍去），
故????＜a＜????.故選C.
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余弦定理(??????????????????????????????????????????????????) 三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與他們夾角的余弦的積的兩倍.即
????2=????2+????2?2??????????????????????????，
????2=????2+????2?2??????????????????????????，
????2=????2+????2?2??????????????????????????.
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?????????????????=????2+????2?????22????????
?????????????????=????2+????2?????22????????
?????????????????=????2+????2?????22????????
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一般地，三角形的三個角????，????，????和它們的對邊????，????，????叫做三角形的元素.
已知三角形中的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.
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1、(1)在?????????????中，若????=23，????=6+2，????=45°，求????及????.
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(2)在?????????????中，若????=120°，????=7，????+????=8，求????，????.
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解：(1)由余弦定理得:????2=????2+????2?2?????????????????????????=8，∴????=22.
由?????????????????=????2+????2?????22????????=(22)2+(6+2)2?(23)22×22×(6+2)=12.
∵0°?
解：(2)由余弦定理得:????2=????2+????2?2????????????????????????? =(????+????)2?2????????(1+?????????????????)，
∴49=64?2????????(1?12)，即????????=15.
由????+????=8????????=15，解得????=3????=5或????=5????=3.
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4
4
思路4：△ABC中求cosB→?????????????????→????????????=????????(????????+????????)????
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2、在?????????????中，已知????????=9，????????=7，????????=8，求????????邊上的中線長.
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思路1：(余A)△ABC中求cosA→(余A)△ABD中求BD
思路2：(余C)△ABC中求cosC→(余C)△BCD中求BD
思路3：????????????∠????????????+????????????∠????????????=0→求????????????
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?????????????????=????????2?????????2
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極化恒等式
7
3、在?????????????中，已知(????+????+????)(????+?????????)=3????????，且?????????????????=2??????????????????????????????????，試確定?????????????的形狀.
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解：∵(????+????+????)(????+?????????)=3????????，∴????2=????2+????2?????????.
而????2=????2+????2?2?????????????????????????，∴2?????????????????=1.∴?????????????????=12，∴?????=60°.
又?????????????????=????????????(????+????)=??????????????????????????????????+??????????????????????????????????=2??????????????????????????????????，
∴?????????????????????????????????????????????????????????????????????=0，
即????????????(?????????)=0，∴????=????.
又????+????=120°，∴????=????=????=60°.
故?????????????為等邊三角形.
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4、在?????????????中，????????=????，AC＝b，????，????是方程????2－23????＋2＝0的兩個根，且2????????????(????+????)=1.
（1）求角????的度數； （2）求????????的長度.
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解：(1)cos C＝cos [π－（A＋B）]＝－cos（A＋B）＝－????????，
又0°＜C＜180°，所以C＝120°.
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(2)因為a，b是方程x2－2????x＋2＝0的兩個根，所以&????＋????=????????，&????????=????.
所以由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C
＝b2＋a2－2abcos 120°＝a2＋b2＋ab＝（a＋b）2－ab＝（2????）2－2＝10.
所以AB＝????????.
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5、在?????????????中，角????，????，????所對的邊分別為????，????，????，已知cos?????+(cos??????3sin????)cos?????＝0.
（1）求角????的大小；
（2）若????+????=1，求????的取值范圍.
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解：(1)由已知，得－cos（A＋B）＋cos Acos B－????sin A·cos B＝0，
即有sin Asin B－????sin Acos B＝0.
因為sin A≠0，所以sin B－????cos B＝0，
又cos B≠0，所以tan B＝????.又0＜B＜π，所以B＝????????.
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解：(2)因為a＋c＝1，cos B＝????????，所以b2＝a2＋c2－2accos B＝3????－????????????＋????????.
又0＜a＜1，于是有????????≤b2＜1，
即有????????≤b＜1，所以b的取值范圍是????????，????.
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5、在?????????????中，角????，????，????所對的邊分別為????，????，????，已知cos?????+(cos??????3sin????)cos?????＝0.
（1）求角????的大小；
（2）若????+????=1，求????的取值范圍.

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