資源簡介

7.1.2 復(fù)數(shù)的幾何意義
7.1 復(fù)數(shù)的概念
復(fù)平面
復(fù)數(shù)的幾何意義
復(fù)數(shù)的模
小結(jié)及隨堂練習(xí)
情景導(dǎo)入
我們知道，實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，
因此實數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示．
復(fù)數(shù)有什么幾何意義呢？
復(fù)平面
01
探索新知
因為任何一個復(fù)數(shù)????=????+????????都可以由一個有序數(shù)對(????,????)唯一確定，
并且任給一個復(fù)數(shù)也可以唯一確定一個有序?qū)崝?shù)對，
所以復(fù)數(shù)????=????+????????與有序數(shù)對(????,????)是一一對應(yīng)的.
而有序數(shù)對(????,????)與平面直角坐標(biāo)系中的點是一一對應(yīng)的，
所以復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點集之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系.
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思考1：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，任何一個復(fù)數(shù)????=????+????????都可以由一個有序?qū)崝?shù)
對????,????唯一確定；反之也對．
由此你能想到復(fù)數(shù)的幾何表示方法嗎？
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復(fù)平面
????
?
學(xué)習(xí)新知
????
?
????
?
????
?
????
?
????:????+????????
?
如圖，點????的橫坐標(biāo)是????，縱坐標(biāo)是????，復(fù)數(shù)????=????+????????可用點????(????,????)表示.
這個建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，????軸叫做實軸，????軸叫做虛軸.
顯然，實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù).
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復(fù)平面
????
?
虛軸
????
?
實軸
例如，復(fù)平面內(nèi)的原點(????,????)表示實數(shù)????，實軸上的點(????,????)表示實數(shù)????，
虛軸上的點(????,?????)表示純虛數(shù)?????，點(?????,????)表示復(fù)數(shù)?????+????????等.
?
復(fù)數(shù)的幾何意義
02
學(xué)習(xí)新知
復(fù)數(shù)的幾何意義——與點對應(yīng)
由上可知，每一個復(fù)數(shù)，有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個點和它對應(yīng)；
反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個點，有唯一的一個復(fù)數(shù)和它對應(yīng).
由此可知，復(fù)數(shù)集????中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點按如下方式建立了一一對應(yīng)關(guān)系。
?
復(fù)數(shù)????=????+???????? 復(fù)平面內(nèi)的點????(????,????).
?
一一對應(yīng)
這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義．
思考2：在平面直角坐標(biāo)系中，每一個平面向量都可以用一個有序?qū)崝?shù)對來表示，
而有序?qū)崝?shù)對與復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)的.你能用平面向量來表示復(fù)數(shù)嗎？
學(xué)習(xí)新知
復(fù)數(shù)的幾何意義——與向量對應(yīng)
如圖，設(shè)復(fù)平面內(nèi)的點表示復(fù)數(shù)，連接，顯然向量由點唯一確定；
反過來，點也可以由向量唯一確定.
因此，復(fù)數(shù)集中的數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點為起點的向量建立了如下的一一對應(yīng)關(guān)系(實數(shù)0與零向量對應(yīng))，即
復(fù)數(shù)????=????+???????? 平面向量????????.
?
一一對應(yīng)
這是復(fù)數(shù)的另一種幾何意義．
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????:????+????????
?
為方便起見，我們常把復(fù)數(shù)????=????+????????說成點????或說成向量?????????，
并且規(guī)定，相等的向量表示同一個復(fù)數(shù).
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應(yīng)用新知
例1. (????)寫出圖1中的各點表示的復(fù)數(shù)；
???????????(????)在復(fù)平面內(nèi)，作出表示下列復(fù)數(shù)的點和向量：
?????????、????+????、????、????、?????????????、?????+????????
?
解： ????????,????、????(????,????)、????(?????,????) 、????(?????,?????)
?
應(yīng)用新知
例2. (????)下列命題中的假命題是（ ）
A.在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)于實數(shù)的點都在實軸上
B.在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)于純虛數(shù)的點都在虛軸上
C.在復(fù)平面內(nèi)，實軸上的點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)都是實數(shù)
D.在復(fù)平面內(nèi)，虛軸上的點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)都是純虛數(shù)
?
????
?
(????)“????=????”是“復(fù)數(shù)????=????+????????(????,????∈????)所對應(yīng)點在虛軸上”的（ ）
A.必要不充分條件
B.充分不必要條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
?
????
?
應(yīng)用新知
例3. 已知復(fù)數(shù)????=????????+?????????+????????+?????????????在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于
第二象限，求實數(shù)????的取值范圍。
?
解： 依題意有????????+?????????????，
解得????????????? ∴????∈?????,?????∪????,????
?
分析：由復(fù)數(shù)?????=????+????????(????,????∈????)在第二象限得????????.
?
復(fù)數(shù)的模
03
學(xué)習(xí)新知
思考3：你能類比平面向量中模的定義歸納出復(fù)數(shù)的模的定義和計算方式嗎？
復(fù)數(shù)的模
定義：向量????????的模叫做復(fù)數(shù)????=????+????????的?；蚪^對值。
寫法：????或????+????????
算法：????=????+????????=????2+????2,其中????,????∈????
?
1.如果????=????,那么????=????+????????是一個實數(shù)????,它的模就等于|????|??(????的絕對值).
?
點撥
2.復(fù)數(shù)的模是非負(fù)實數(shù)，因此復(fù)數(shù)的?？梢员容^大小；
3.根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算公式可把復(fù)數(shù)模的問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題解決;
4.根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義，可把復(fù)數(shù)模的問題轉(zhuǎn)化為向量模(即兩點的距離)的
問題解決。
應(yīng)用新知
例4.設(shè)復(fù)數(shù)????????=????+????????，????????=?????????????.
(1)在復(fù)平面內(nèi)畫出復(fù)數(shù)????????，????????對應(yīng)的點和向量；
(2)求復(fù)數(shù)????????，????????的模，并比較它們的模的大小.
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解： (1) 如圖，復(fù)數(shù)????????，????????對應(yīng)的點分別為????????，????????，
對應(yīng)的向量分別為????????????，????????????.
(2) |????????|=|????+????????|=????????+????????=????，
|????????|=|?????????????|=????????+(?????)????=????.
所以|????????|=|????????|.
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共軛復(fù)數(shù) ——兩個實部相等，而虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)，記作????和????。
其中，虛部不等于0的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫共軛虛數(shù)。
即若????=????+????????(????,????∈????),則????=?????????????(????,????∈????)
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應(yīng)用新知
例3.設(shè)????∈????,在復(fù)平面內(nèi)????對應(yīng)的點為????，那么滿足下列條件的點????的集合是什么圖形？ (1)|????|=????； (2)????<|????|?
解： (1) 由|????|=????得，向量????????的模等于1，
所以滿足條件|????|=????的點????的集合是
以原點????為圓心，以????為半徑的圓.
(2) 不等式????<|????|????
?
不等式|????|不等式|????|>??的解集是圓|????|=????的外部所有的點組成的集合，
這兩個集合的交集，就是上述不等式組的解集，
也就是滿足條件????<|????|?
小結(jié)及隨堂練習(xí)
04
隨堂練習(xí)
1.判斷正誤：
①.復(fù)平面內(nèi)的點與復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)的。
②.復(fù)數(shù)即為向量，反之，向量即為復(fù)數(shù)。
③.復(fù)數(shù)的模一定是正實數(shù)。
④.復(fù)數(shù)與向量一一對應(yīng)。
2.設(shè)????為原點，向量????????,????????對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為????+????????， ??????????????, 那么向量????????
對應(yīng)的復(fù)數(shù)是多少？
?
3.當(dāng)實數(shù)????取什么值時，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)????=?????????????????+????????+(??????????????????
????????)????的點分別滿足下列條件是下列數(shù)？
(1)位于第四象限； (2)位于第一象限或第三象限； (3)位于直線????=????上
?
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）

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