資源簡介

第8章 立體幾何初步
8.2 立體圖形的直觀圖
學習目標
XUE XI MU BIAO
1.掌握用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖.
2.會用斜二測畫法畫常見的柱、錐、臺、球以及簡單組合體的直觀圖.
前面我們認識了柱體、錐體、臺體、球以及簡單組合體的結構特征。為了將這些空間幾何體畫在紙上，用平面圖形表示出來，使我們能夠根據平面圖形想象空間幾何體的形狀和結構，這就需要學習直觀圖的有關知識。



觀察：
如果一個矩形垂直于投影面，投影線不垂直于投影面，則矩形的平行投影是一個平行四邊形。
矩形窗戶在陽光照射下留在地面上的影子是什么形狀？
一、直觀圖
直觀圖是觀察者站在某一點觀察一個空間幾何體獲得的圖形。畫立體圖形的直觀圖，實際上是把不完全在同一平面內的點的集合，用同一平面內的點表示，因此，直觀圖往往與立體圖形的真實形狀不完全相同。在立體幾何中，立體圖形的直觀圖通常是在平行投影下得到的平面圖形。
要畫立體圖形的直觀圖，首先要學會畫水平放置的平面圖形。
用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟
2
斜二測畫法畫平面圖形
畫軸:橫不變、縱斜450或1350
畫線：平行保持不變
取長度：橫不變、縱減半
例１．用斜二測畫法畫水平放置的正六邊形的直觀圖。
（1）建立坐標系
（2）畫坐標軸上的點（橫不變，縱減半），
平行坐標軸的線段（平行關系不改變）
（3）連線,
擦去輔助線。
在用斜二測畫法畫直觀圖時，平行線段仍然平行，所畫平行線段之比仍然等于它的真實長度之比，但所畫夾角大小不一定是其真實夾角大小.
跟蹤訓練1　已知正五邊形ABCDE，如圖，試畫出其直觀圖.
解　畫法：
(1)在圖①中作AG⊥x軸于點G，作DH⊥x軸于點H.
(2)在圖②中畫相應的x′軸與y′軸，兩軸相交于點O′，使∠x′O′y′＝45°.
(4)連接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去輔助線G′A′，H′D′，x′軸與y′軸，便得到水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖A′B′C′D′E′(如圖③).
如何根據斜二測畫法畫出的直觀圖還原出原圖？
思考：
例2．下圖是用斜二測畫法畫出的水平放置的△ABC的直觀圖△A’B’ C’ ， 其中A’O’=O’B’ ,請畫出這個圖形的真實圖形；設S△ABC=S，求直觀圖△A’B’ C’的面積S’ 。
（1）建坐標系
（2）畫坐標軸上的點（平行于x/軸的線段長度不變，平行于y/軸的線段長度加倍）畫平行于坐標軸的線段（本題無）；
（3）連線,擦去輔助線
若一個多邊形的面積為 ????原，它的直觀圖的面積為 ????直，則有 ????直=????????????原， ????原=????????????直.（只適用于多邊形面積關系）
?
直觀圖還原成原平面圖形時出錯
坑①
一個水平放置的平面圖形按斜二測畫法得到的直觀圖是一個底角為45°，腰和上底均為1的等腰梯形，求這個平面圖形的面積.
【解析】畫出直觀圖如圖所示：
x′
?
????′
?
????′
?
????′
?
????′
?
????′
?
????′
?
????
?
????
?
????
?
????+????
?
方法一：直觀圖的面積 ????′=12×1+1+2×22=1+22,
?
平面圖形的面積 ????=22????′=2+2
?
方法二：把直觀圖還原成原來的梯形，如圖所示：
x
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????+????
?
所以這個平面圖形是直角梯形，它的面積
????=12×1+1+2×2=2+2
?
如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，C′D′＝2 cm，則原圖形是______，其面積為___________.
菱形
解析　如圖，在原圖形OABC中，
CD＝C′D′＝2 cm，
所以OA＝OC＝BC＝AB，
故四邊形OABC是菱形.
(1)畫底面，這時使用平面圖形的斜二測畫法即可.
(2)畫z′軸，z′軸過點O′，且與x′軸y′軸垂直，并且平行于z軸的線段平行性和長度都不變，連線成圖.
(3)擦去輔助線，被遮線用虛線表示.
用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖的步驟
4
斜二測畫法畫空間幾何體
例題1 用斜二測畫法畫長、寬、高分別是4 cm、3 cm、2 cm的長方體ABCD-A′B′C′D′的直觀圖.
聯想水平放置的平面圖形的畫法，并注意高的處理.
D′
A
B
C
D
A′
B′
C′
畫法：①畫軸.畫x軸、y軸、z軸，三軸交于點O，使∠xOy=45°，
∠xOz=90°.
②畫底面.以點O為中心，在x軸上取線段MN，使MN=____cm；在y軸上取線段PQ，使PQ=_____cm，分別過點M和N作y軸的平行線，過點P和Q作x軸的平行線，設它們的交點分別為A，B，C，D，四邊形ABCD就是長方體的底面ABCD.
4
1.5
③畫側棱.過A,B,C,D各點分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取2cm長的線段AA′,BB′,CC′,DD′.
④
口訣：平行依舊垂改斜，橫等縱半豎不變，
眼見為實遮為虛，空間觀感好體現
練習：用斜二測畫法畫一個正六棱柱的直觀圖.
x
y
O
z
A
B
C
D
E
F
A'
B'
C'
D'
E'
F'
提示：1.畫出正六棱柱下底面的直觀圖；
2.畫出與z軸平行的六條棱，并截取相同的長度；
3.順次連接上底面的各頂點；
4.整理成圖。
X
Z
O
A
B
X’
A’
B’
O’
O
S
O’
X
A
B
X’
A’
B’
斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，關于其中的線段下列說法錯誤的是（ ）
題①
原來相交的仍然相交
原來垂直的仍然垂直
原來平行的仍然平行
原來共點的仍然共點
【解析】如圖所示，以右圖為例，可知B錯誤，其他選項正確
利用斜二測畫法得到的直觀圖有以下結論，其中正確的是（ ）
題②
①三角形的直觀圖是三角形
②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形
③正方形的直觀圖是正方形
④菱形的直觀圖是菱形
A. ①② B. ① C. ③④ D. ①②③④
在用斜二測畫法畫水平放置的ΔABC的直觀圖時，若在直角坐標系中的∠A的兩邊分別平行于 ???? 軸，???? 軸，則在直觀圖中∠A’等于（ ）
?
題③
【解析】如圖所示，可知∠A’的度數是45°或者135°，選D
A. 45° B. 135° C. 90° D. 45°或135°
x
?
????
?
????
?
????
?
????
?
x
?
????
?
????
?
????
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????
?
x′
?
????′
?
????′
?
????′
?
????′
?
x′
?
????′
?
????′
?
????′
?
????′
?
如圖為一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可以
是選項中的（ ）
題④
【解析】根據原圖的90°可以變成直觀圖中的45°或135°，原圖中大
于90°才可以變成直觀圖中的90°，可知選C
x′
?
????′
?
????′
?
給出以下關于斜二測畫法得到的直觀圖的結論，其中正確的個數是( )
題⑤
①角的水平放置的直觀圖一定是角
②相等的角在直觀圖中仍相等
③相等的線段在直觀圖中仍相等
④若兩條線段平行，則在直觀圖中對應的兩條線段仍然平行
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6.如圖，正方形O′A′B′C′的邊長為1 cm，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是________.
解 由題意知正方形O′A′B′C′的邊長為1 cm，
故原圖形的周長為2×(1＋3)＝8(cm).
8 cm
課堂小結

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