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球的內切、外接問題
第八章 立體幾何初步
球表面積公式：
球體積公式：
1、截面與球
性質2:球心和截面圓心的連線垂直于截面．
性質1：用一個平面去截球，截面是圓面；
用一個平面去截球面， 截線是圓。
大圓--截面過球心，半徑等于球半徑；
小圓--截面不過球心組卷網
性質3: 球心到截面的距離d與球 的半徑R及截面的半徑r ,有下面的關系:
A
O
例1、用與球心距離為1的平面去截球，所得截面圓的面積為，則球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
方法總結：構造直角三角形求半徑。
正方體的內切球, 棱切球,外接球
2、正方體與球
設正方體棱長為a,分別求這三種球的半徑。
方法：
找截面求線段長！
練習.甲球內切于正方體的各面，乙球內切于該正方體的各條棱，丙球外接于該正方體，則三球表面面積之比為( )
A. 1:2:3 B. C. D.
A
3、長方體的外接球
長方體的體對角線等于球直徑，即
設長方體的長寬高分別為a、b、c,求這外接球的半徑。
一般的長方體有內切球嗎？
方法：
找截面求線段長！
練習 長方體的共頂點的三個側面積分別為 ，則它的外接球的表面積為__________.
O
a
b
c
解：
設長方體共頂點的三條棱長分別為a，b，c，則
ab=
bc=
ac=
a=
∴
b= 1
c=
∴4R2=a2+b2+c2=9
∴S球=4πR2=9π
4、棱錐與球
A
C
B
P
O


補形法
例2
練習.求棱長為a的正四面體的外接球的半徑和內切球半徑.
球的內切、外接問題第八章 立體幾何初步作業分析：
例　三棱錐A－BCD的四個面都是直角三角形，且側棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，且VA－BCD＝ ，則該三棱錐A－BCD外接球的體積為 .
補形法
16π
例4 軸截面為正三角形的圓錐內有一個內切球，若圓錐的底面半徑為2，求球的表面積.
A
B
C
D
O
E
解：如圖所示，作出軸截面，因為△ABC為正三角形，
CO1= AC=2,AC=4,AO1=2 ,
1
2
Rt△AOE ~ Rt△ACO1, 所以
=
OE
AO
CO1
AC
OE=R=
3
2
S=
16π
3
A
B
C
O1
O
E
O2
截面法
（2）圓錐與球
作業分析：
作業分析：
①內切球
2、若球與直三棱柱三個側面相切，可由平行于底面截面圖，求出球的半徑.
1、若球與直三棱柱各個面相切，則球的直徑為棱柱高.
5、棱柱、圓柱與球
3、球與圓柱相切——等邊圓柱.

O

O2
C
B
A
a

O1
B
AO2=
∴R2=AO2=AO22+OO22=
OO2=
∴S球=4πR2=
②外接球
截面法
總結：直棱柱外接球半徑求法
3、
1、球心是上、下底面外接圓圓心所連線段的中點；
2、球心到底面的距離是側棱長的一半
r
o1
o
o2
●
R
（1）正棱錐與球
①內切球
例3 正三棱錐的高為1，底面邊長為2，內有一個球與它的四個面都相切，求內切球的表面積與體積．
B
C
D
P
O
E
以球心O為頂點，棱錐的四個面為底面把正三棱錐分割為四個小棱錐
∴
S球=4πr2=
V球= πr3=
等體積法
例3 正三棱錐的高為1，底面邊長為2，內有一個球與它的四個面都相切，求內切球的表面積與體積．
A
B
C
D
P
O
E
r
r
O
E
P
A
D
F
解2：如圖，P-ABC為正三棱錐,設球的半徑為r，底面中心為點D,內切球球O與底面ABC切于點D,與側面PBC切于點F,
PE為斜高D,
過PA,PD作軸截面，交BC邊中點E,
∴PD=1,易知 ，
S球=4πr2=
V球= πr3=
連接OE，OF
由△POF∽△PEO，得 ，
解得r=
截面法
S
A
B
C
O1
方法1：補形法
方法2：球心法
A
C
B
P
課堂小結
方法：

O
R
1.球的表面積、體積公式
2. 球與多面體的內切、外接
結論：
1.正方體的三個球
2.長方體的外接球
3.直棱柱
圓 柱
內切、外接球
4.正棱錐
圓 錐
內切、外接球
5.正四面體內切、外接球
等體積法
補形法
截面法

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