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第八章 立體幾何初步
8.4.1 平面
1.了解平面的概念，掌握平面的畫法及表示方法.
2.掌握關于平面基本性質的三個基本事實.(重點)
3.會用符號表示點、直線、平面之間的位置關系.(難點)
學習目標：
問題1：前面我們認識了柱體、錐體、臺體等多面體，你認為這些多面體由哪些元素構成？
點
線
面
幾何里的“平面”是由生活中的課桌面、黑板面、平靜的水面等抽象出來的數學概念.
一、情景引入
平面(plane)
直線
平面
幾何特征
直的
無限延伸
不計粗細
平的
無限延展
不計厚薄
D
問題2：類比點和直線，我們可以怎樣描述平面呢？
點
不計大小
問題3：類比點和直線，我們可以怎樣表示平面呢？
用大寫英文字母表示：
平面ABCD、平面AC.
用希臘字母表示：
平面α、平面β、平面γ等.
用手指頭將書本水平擺放在空間
某一位置，至少需要幾個手指頭？
動一動，小實驗:
二、探索研究
我們知道，兩點可以確定一條直線，那么幾點可以確定一個平面？
基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面.
唯一性
存在性
基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面.
基本事實1：過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面.
文字語言
圖形語言
符號語言
作用：確定一個平面的依據.
注意：點、線、面關系的符號表示。
點A在線l上,A∈l;點B在線l外,B l.
點A在面α內,A∈α；點P在面α外,P α.
推論1 經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面.
推論2 經過兩條相交直線，有且只有一個平面.
推論3 經過兩條平行直線，有且只有一個平面.
思考：結合生活中例子，利用今天所學，你還能舉例出其他確定一個平面的方法嗎？
α
a
A
α
b
a
P
α
b
a
1、過一點的三條不同直線最多可以確定幾個平面？
2、四條線段順次首尾相連，它們最多可確定幾個平面？
動手操作
和同桌一起合作，借助筆動手操作一下，并回答以下問題：
三個平面
四個平面
如果直線l與平面α有一個公共點P,直線l是否在平面α內？如果直線l與平面α有兩個公共點呢
基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內.
A
l在面α內，記作l α；
線l不在面α內，記作l α.
文字語言
圖形語言
符號語言
基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內.
注意：點、線、面關系的符號表示。
作用：判斷線在平面內。
A
B
C
直線的“無限延伸”
平面的“無限延展”
直線的“直”
平面的“平”
直線網
和向各個方向無線延伸
和“無限延展”
平面ABC
基本事實1
基本事實2
AB、BC、AC在平面ABC內
如下圖,把三角尺的一個角立在課桌面上，三角尺所在平面與課桌面所在平面是否只相交于一點B？為什么？
B
α
基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線.
α
l
P
●
a
b
l
P
.A
.B
α
l
P
面α與β交于線l,記作α∩β=l.
文字語言
圖形語言
符號語言
基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線.
注意：點、線、面關系的符號表示。
作用：判斷兩平面相交；求證點共線。
α
l
P
圖形語言
符號語言
基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線.
小練．如圖所示，平面α∩平面β＝l，點A，B∈α，點C∈β，直線AB∩l＝R.設過A，B，C三點的平面為γ ，則β∩ γ ＝ (　　)
A．直線AC
B．直線BC
C．直線CR
D．以上均不正確
C　
錯誤
小練習
正確
錯誤
錯誤
小練習
正確
P
小練習
如何證明？
三個基本事實
三步學法
1.四個“三”
三個推論
三種語言
直觀感知
操作確認
應用實踐
四、歸納小結
例1.已知過點P的三條直線a,b,c分別與直線l交于點A,B,C,
求證:直線a,b,c,l在同一平面內.
題型一 共面問題
證明點、線共面的方法
先由其中某些元素確定一個平面,再證其余元素都在此平面內.
方法歸納
已知空間四邊形ABCD，E，F，G，H為各邊AB，AD，CB，CD上的點，且直線EF和HG交于點P.求證：點B，D，P在同一直線上.
例2.
p
A
D
E
H
G
B
c
F
證三點共線的方法：
可轉化為證三點為兩平面的公共點，即三點在交線上。
方法歸納
題型二 三點共線問題
例3.如圖,有一塊長方體木料,點E,F分別是AB,BC的中點,要經過D1,E,F將木料鋸開,應當怎樣畫線 截面是什么圖形
變式.如圖,E是長方體ABCD-A1B1C1D1棱AD上的一點,試作出經過B1,C,E三點的長方體的截面.
題型三 截面問題
證明：因為AB∩α＝P，CD∩α＝P，所以AB∩CD＝P.
所以AB，CD可以確定一個平面，設為β.
因為A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，
所以A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.
所以AC β，BD β，平面α，β相交．
因為AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，
所以P，Q，R三點是平面α與平面β的公共點．
所以P，Q，R都在平面α與平面β的交線上，故P，Q，R三點共線．

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