資源簡介

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8.4.1 平面
目 錄
五 板書設計
三 教法與學法
四 教學過程設計
一 說教材
六 教學反思
二 說學情
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內容和內容解析
（1）立體幾何定性研究的重點是直線、平面之間的位置關系. 研究這些位置關系,需要學生對點、直線、平面這些組成立體圖形的基本要素有所理解.在立體幾何的研究中, 立體圖形問題經常轉化為平面圖形問題, 這是解決立體圖形問題的重要思想方法, 而轉化的基本依據就是關于平面的基本事實及其推論. 因此, 本小節內容是立體幾何學習的重要基礎.
（2）與點、直線一樣,平面是不加定義的幾何概念,三個基本事實刻畫了平面的 “平” 和 “無限延展” 的特征. 基本事實1首先是 “三點確定一個平面”, 是平面的存在性; 基本事實 2 和 3 是從直線與平面, 平面與平面的關系的角度對平面的進一步刻畫; 基本事實的三個推論則進一步給出了確定平面的方法. 關于平面的基本事實和推論在后續研究直線與平面之間的平行、垂直關系時, 會經常用到.
（3） 點是空間的基本元素, 直線、平面都是點的集合. 因此, 在圖形語言和文字語言的基礎上, 用集合的符號表示幾何對象及其之間的關系是自然的, 并且書寫簡潔. 立體幾何中的概念、定理,一般要用圖形、文字、符號三種語言形式表示.
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教學的重點和難點
重點
對三個基本事實和三個推論理解及其集合符號語言表示.
對三個基本事實刻畫平面基本性質的理解，三種語言及其轉化.
難點
二 學情分析
學習立體幾何, 學生對平面的感知主要是生活實踐、舊有知識中的物象,
顯性認知是直線,而隱性的認知是研究幾何對象的思想。
（1）從概念感知上看,主要是學生無意識積累的一些關于平面的生活類和圖形類的初步認識；
（2）從知識基礎上看,主要是學生關于直線的知識 (定義、表示、直線公理等),主要基于學生對直線“直的”“無線延伸”性質的想象與理解.
（3）從研究對象的思想上看，對于平面的概念, 其 “平” “無限延展”是客觀存在的, 學生會對為什么還要學習三個基本事實, 并用它們對平面的特征進行刻畫不理解。
三 教法與學法
研究路徑：具體情境 抽象幾何對象 下定義
表示對象 研究其性質 應用
學生認知規律: 點與面的關系 線與面的關系 平面與平面的關系
借助GGB軟件，創設情境，引導學生自主探究的教學方式.
數學知識邏輯考慮：
基本事實 1 首先確定平面的存在性； 再通過基本事實 2 利用直線的直和無線延伸來說明平面的 “平” 和 “無限延展” 的特點；最后通過基本事實 3 中兩個平面交匯成一條直線來對平面的特征作進一步刻畫. 三個推論雖然同樣起到確定平面的作用， 但證明時要用到基本事實 1 和基本事實 2 的結論, 所以統一放到后面講述更為合理，意在追求知識體系的完整性和思維邏輯連貫性.
借助GGB軟件，創設情境，引導學生自主探究的教學方式.
四 教學過程設計
(一) 先行組織、感知平面概念
引言:在學習棱柱、棱錐、棱臺等多面體的過程中， 我們知道頂點、棱、平面多邊形等是構成這些多面體的基本元素。 要研究立體圖形的結構特征，就要研究這些基本元素之間的位置關系，我們先從認識點、直線、平面這些基本元素開始.
問題 1: 對于點和直線, 我們在平面幾何中已經有所了解. 那么, 什么是點 什么是直線 進一步地, 你知道什么是平面嗎
問題 2: 如何用圖形和符號表示平面？
(二) 三個基本事實的探究
問題: 受希爾伯特公理化思想的影響，將點、直線、平面作為基本元素，建立點，直線、平面的位置關系，設計一條路徑來研究平面的基本性質？
探究1 點和平面的位置關系的角度刻畫平面
思考1 兩點可以確定一條直線, 那么幾點可以確定一個平面
思考2 如何將這一基本事實用文字語言，圖形語言表示？如用符號表示點和平面的位置關系
探究2 直線和平面的位置關系的角度刻畫平面
思考1 如果直線 與平面 有一個公共點 ,直線 是否在平面 內 如果直線 與平面 有兩個公共點呢
追問: 將直尺抽象為一條直線, 桌面抽象為一個平面, 你能將上述經驗和類似的事實抽象為直線和平面的位置關系嗎 你能歸納為一句話來表達嗎？
思考2 如何將這一基本事實用文字語言，圖形語言表示？如用符號表示直線和平面的位置關系
問題 我們知道, 平面具有 “平” 和 “無限延展” 的特征. 而基本事實 2 反映了直線與平面的位置關系、我們能不能利用這種位置關系,用直線的 “直” 和 “無限延伸” 刻畫平面的 “平” 和 “無限延展”？
探究3：平面和平面的位置關系的角度刻畫平面
思考1 把三角尺的一個角立在課桌面上,三角尺所在平面與課桌面所在平面是否只相交于一點 為什么
思考2 如何將這一基本事實用文字語言，圖形語言表示？如用符號表示平面和平面的位置關系
問題 類似基本事實 2，你能結合基本事實 3， 進一步說明平面的 “平” 和 “無線延展” 的基本特征嗎？
平面的概念在歷史上經過了漫長的發展,眾多數學家都對平面作過刻畫.
古希臘哲學家巴門尼德(Parmenides)將平面定義為“一個二維對象、直的表面. ”
歐幾里得 (Euclid) 將平面定義為 “與其上直線一樣平放著的面.”
海倫 (Heron) 將平面定義為 “平面是具有以下性質的面,它向四周無限延展,平面上的直線都與之相合,且若一條直線上有兩點與之相合,則整條直線在任意位置與之相合. ”
傅里葉(Fourier)對平面的定義為 “平面由經過直線上一點且與直線垂直的所有直線構成. ”
萊布尼茲(G.W. Leibniz)將平面看成“平面是與兩點等距離的點的集合. ”
通過回顧歷史, 我們不難發現:平面的認知基礎的確是直線.數學史是教學的指南, 教育取向的數學史研究為課堂教學提供了豐富的素材.
平面的畫法和表示
點、線和平面的位置關系
平面的三個基本事實
圖形語言
文字語言
符號語言
1、平面知識結構
2、三種語言轉化
3、一種思想和一份情感
一種思想: 公理化的思想, 這是數學抽象的結果, 是對推理嚴密性要求的自然結果。
一份情感: 數學概念是經過漫長的發展到現在的,是進化的產物,
數學是演進的, 期待著同學們進一步去完善!
五 板書設計
六 教學反思
原始概念的教學,要遵循其產生發展的歷史, 教學過程必須符合學生的認知規律. 要探究原始概念生成的過程, 講解描述性語義背后的“故事”,重溫概念產生的文化場景,揭示概念的結構與本質.
原始概念的教學是 “慢”的藝術,講究 “焐”的過程, 走走停停, 想想探探, 會看到更多的瑰麗風景.

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