資源簡介

8.4.1 平面
頂點、棱(直線段)、平面多邊形是構成棱柱、棱錐等多面體的基本元素。為了進一步認識立體圖形的結構特征，需要對點、直線、平面之間的位置關系進行研究.
我們先從認識點，直線平面這些基礎元素開始。
點 ： 只有位置，沒有大小
直線： 直的，無限延伸；沒有長短，粗細
點P
A
B
直線AB
問題1：類比直線的定義，你能知道什么是平面嗎？
平整的路面
平靜的海面
桌面、黑板面
平面的形象
平面和點、直線一樣是不加定義的最基本、最原始的幾何概念。那么你能否抽象出平面的特征呢？
幾何里所說的“平面”（????????????????????）就是從這樣的一些物體中抽象出來的，但是，幾何里的平面是“平”的，無限延展的， 無薄厚之分 ，不計大小 ．
?
問題2：如何用圖形和符號表示平面？
直線的畫法：畫出直線的一部分來表示直線
平面的畫法：畫出平面的一部分來表示平面
類比生成
矩形直觀圖
平面水平放置
平面豎直放置
????
?
平面的畫法
①用希臘字母表示：平面????、平面β、平面γ等,并寫在平行四邊形一個角內.
?
②用大寫英文字母表示：平面????????????????、平面????????,平面BD.
?
平面的表示
(1)古希臘時期的平面定義
早在公元前 5 世紀, 古希臘哲學家巴門尼德將平面定義為 “如果一個二維對象是直的表面, 那么它就是一個平面, 直線可在任意方向與之相合”。
這里, 巴門尼德將 “直” 作為平面的本質特征并利用直線來刻畫這一特性, 其中強調平面是二維的, 是沒有厚度的。
歐幾里得將平面定義為 “與其上直線一樣平放著的面”,這里歐幾里得繼續強調了用直線來刻畫平面。
但巴門尼德和歐幾里得的定義中用到了 “直” 和 “平放” 這些比較模糊的概念,定義還不精確。
平面概念發展的歷史
(2)平面的包含式與構造性定義

18 世紀, 英國數學家辛松給出了平面的新定義: “平面是具有下列性質的面, 通過其上任意兩點的直線完全包含在該面上。” 辛松的定義由于應用了 “直線包含于平面” 這一概念我們稱之為平面的包含式定義。如 18 世紀法國數學家勒讓德在其《幾何與三角學基礎》(1800)和蘇格蘭數學家普雷菲爾在《幾何學基礎》 (1829) 都采用此定義。
為了解決平面構造的問題, 數學家也給出了一系列平面的構造性定義。
德國數學家克雷爾給出平面的靜態構造性定義: “平面是包含所有通過空間中一個定點并與另一條直線垂直的直線的面。”
法國數學家傅里葉給出了類似的定義: “平面由經過直線上一點且與直線垂直的所有直線構成。”
德國數學家萊布尼茲給出了平面的另一個構造性定義: “平面是與兩點等距離的點的集合。”
匈牙利數學家 W·波爾約則采用動態的構造性定義: “平面是由一條直線繞著另一條與之垂直的直線旋轉而成的面。”
動態構造定義與靜態構造性本質上是相同的。
(3)平面的公理化定義 19 世紀末, 意大利數學家皮亞諾創立數學學派, 對算術和幾何的公理化做出了巨大貢獻, 其中的一名重要成員、意大利數學家皮埃里利用點、線段和運動對幾何進行公理化。在此之后, 希爾伯特在其《幾何基礎》中建立了完全公理化的歐氏幾何。希爾伯特可能受到當時數學抽象化和公理化趨勢的影響, 并未對平面作出定義, 而將其作為一個基本的概念, 像點和直線一樣。公理決定了基本概念之間的聯系,概念的意義只有在公理中得到體現,因此,公理就起到了定義的作用。希爾伯特的公理被大部分數學家所接受, 同時也被數學教育界所接受, 大多數教科書也因此深受影響。現在教科書中平面的三大公理即由此而來。
思考1：我們知道，兩點可以確定一條直線，那么幾點可以確定一個平面?
基本事實1 過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面.
也可以簡單說成:“不共線的三點確定一個平面”.
A
C
B
符號語言 A、B、C三點不共線?存在唯一的平面??????使????，????，???? ∈????
?
圖形語言
應用： 基本事實1給出了確定一個平面的依據
問題3：直線、平面可以看成是點的集合，點線，點面之間有什么位置關系，
又應該如何表示？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}圖形語言
文字語言
符號語言
???? 在 ???? 上
????∈????
???? 在 ???? 外
?????????
???? 在 α 內
????∈α
???? 在 α 外
?????α
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}圖形語言
文字語言
符號語言
問題3：直線、平面可以看成是點的集合，點線，點面之間有什么位置關系，
又應該如何表示？
思考2：如果直線 ???? 與平面α有一個公共點????,直線 ???? 是否在平面????內？
如果直線 ???? 與平面α有兩個公共點呢?
?
思考2：如果直線 ???? 與平面α有一個公共點????,直線 ???? 是否在平面????內？
如果直線 ???? 與平面α有兩個公共點呢?
?
直線 ???? 與平面????有一個公共點????,直線 ???? 不在平面????內
?
思考2：如果直線 ???? 與平面α有一個公共點????,直線 ???? 是否在平面????內？
如果直線 ???? 與平面α有兩個公共點呢?
?
直線 ???? 與平面????有兩個公共點，直線在平面內
?
直線 ???? 與平面????有一個公共點????,直線 ???? 不在平面????內
?
基本事實2 如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在這個平面內.
α
l
A
B
圖形語言

符號語言
應用： 利用基本事實2可以判斷直線是否在平面內
問題4 平面具有“平”和“無限延展”的特征. 而基本事實2反映了直線與平面的位置關系、我們能不能利用這種位置關系,用直線的“直”和“無限延伸”刻畫平面的“平”和“無限延展”？
思考3：如下圖,把三角尺的一個角立在課桌面上，三角尺所在平面與課桌面所在平面是否只相交于一點????？為什么？
?
基本事實3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.
符號語言
?
圖形語言
基本事實3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.
符號語言 ????∈????，且????∈?????????∩????=????，且????∈????.
?
l
P
應用：
①判斷兩個平面相交的依據．（只要兩個平面有公共點，就可以判定
這兩個平面必相交于過這個點的一條直線）
②判斷點在直線上．（點是某兩個平面的公共點，線是這兩個平面的公共交線，則這個點在交線上）
在畫圖時，如果圖形的一部分被
另一部分遮住，可以把遮住部分
畫成虛線，也可以不畫.
圖形語言
問題5：類似基本事實 2, 你能結合基本事實 3, 進一步說明平面的 “平” 和 “無線延展” 的基本特征嗎?
l
P
平面是“平”的，因而兩個相交平面才可能交于一條直線；否則交線就不是直的，而是曲的；
兩個平面相交于一條直線，直線是無線延伸的，說明平面的交點由無數個，平面是“無限延展”的
問題6: 基本事實 1 給出了確定一個平面的一種方法. 利用基本事實1 和基本事實 2 ,再結合“兩點確定一條直線”,你還可以得到一些確定一個平面的方法嗎？
問題6: 基本事實 1 給出了確定一個平面的一種方法. 利用基本事實1 和基本事實 2 ,再結合“兩點確定一條直線”,你還可以得到一些確定一個平面的方法嗎？
α
?
????
?
A
推論1 經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面
α
?
b
????
?
b
P
P
P
推論2 經過兩條相交直線，有且只有一個平面.
α
?
????
?
????
?
推論3 經過兩條平行直線，有且只有一個平面.
幾何之務，不在知其然而在知其所以然；
不在知其所以然，而在何由以知其所以然.
——著名數學家、教育家傅仲孫

展開更多......

收起↑