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8.6.2.2直線與平面所成的角
直線和平面所成角
1) 斜線:
2) 斜足:
3) 斜線在平面內的射影:
和平面相交,但不垂直的直線叫做平面的斜線
斜線和平面相交的交點
過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線,過垂足和斜足的直線稱為斜線在平面內的射影.
☆平面的斜線和它在平面內的射影所成的角，叫做直線和平面所成的角.
規定:①若直線垂直平面，則直線和平面所成的角為90°
②若直線與平面平行或在平面內，則直線和平面所成的角為0 °
☆直線和平面所成角的取值范圍為
α
P
l
A
O
新知講解
直線與平面所成的角是直線與平面內任意一條直線所成角的最小角.
如果AB是平面α內的任意一條不與直線AO重合的直線，那么直線PA與直線AB所成的角和直線PA與這個平面所成的角的大小關系是什么？
PA與直線AB所成的角大于直線PA與這個平面所成的角．
最小角定理:直線與平面所成的角是該直線與平面內任意一條直線所成的角中最小的角
例1 如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，求:
（1）A1C1與面BB1C1C所成的角
（2）A1B與面A1B1CD所成的角
典例解析
（4）30o
（3）45o
O
典例解析
O
例1（2）A1B與面A1B1CD所成的角
解：連接BC1交B1C于點O，連接A1O.
設正方體的棱長為a.
正方體ABCD-A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BCC1B1，
∴A1B1⊥BC1，又B1C⊥BC1， ∴BC1⊥平面A1DCB1.
∴A1O是A1B在平面A1DCB1內的射影.
∴∠BA1O為A1B和平面A1DCB1所成的角.
∴ A1B和平面A1DCB1所成的角為30°.
∴BO= A1B，∠BA1O=30°.
在Rt△A1BO中， A1B= a，BO= a.
求斜線和平面所成的角的一般步驟：
1．作：在斜線上選擇恰當的一個點，作平面的垂線，確定垂足，連接斜足
和垂足，得到斜線在平面內的射影，斜線和其射影所成的角，即為
斜線和平面所成的角；
2．證：證明(1)中所作出的角就是所求直線與平面所成的角；
（注：關鍵證明線面垂直，即證得斜線在面內的射影）
3．求：通過解三角形（通常是直角三角形），求出(1)中所作的角的大小
4. 下結論
【練習】過△ABC所在平面α外一點P，作PO⊥α，垂足為O，連接PA，PB，PC，則下列結論正確的有（ ）
A．線段PA，PB，PC，PO中，線段PO最短；
B．若PA=PB=PC，則OA=OB=OC；
C．若OA=OB=OC，則PA=PB=PC；
D．若PA=PB=PC，則PA，PB，PC和平面α所成的角相等．
過平面外一點，作平面的垂線段和斜線段
（1）垂線段和斜線段中，垂線段最短；
（2）若斜線段長相等，則斜線在面內的射影長相等；
（3）若斜線在面內的射影長相等，則斜線段長相等．
ABCD
三垂線定理：在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.
O

a
A
P
已知 PO、PA分別是平面 的垂線、斜線，AO是PO在平面 上的射影。a ，a⊥AO.
求證：a⊥pA
在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么，它也和這條斜線的射影垂直。
P
A
O
a
α
已知：PA，PO分別是平面 的垂線和斜
線，AO是PO在平面 的射影,a ,a
⊥PO求證：a ⊥AO
三垂線定理的逆定理
【練習】過△ABC所在平面α外一點P，作PO⊥α，垂足為O，連接PA，PB，PC，
1．若PA=PB=PC，則點O為△ABC的 心；
2．若PA=PB=PC，∠C=90°，則點O是AB邊的 點；
3．若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點O為△ABC的 心．
（3）在三棱錐 中,有下列結論:
①若,則點在平面 內的射影為 的外心;
②若點到,,的距離相等,則點在平面內的射影為 的
內心;
③若,,則點在平面內的射影為 的垂心.
【練習】正四面體的側棱與底面所成的角的正弦值為： .
探究點一 求直線與平面所成的角
例1 如圖，在三棱柱中，底面 是等邊三角形，且
底面，若，，求直線與平面
所成角的正弦值.
例1 如圖所示,在三棱柱中,側棱 底面 ,且各
棱長均相等,為 的中點.
（1）證明: 平面 ;
證明:因為底面是正三角形,為 的中點,
所以 .
因為側棱 底面, 平面 ,
所以 ,
又,所以 平面 .
（2）求直線與平面 所成角的正弦值.
解:在平面內,過點作 ，交
的延長線于點,連接 .
因為 平面,所以 ,
又,所以 平面 ,所以
為直線與平面 所成的角.
設三棱柱的各棱長均為,可得,由 ,易得
.
在中,可得 ，
所以直線與平面所成角的正弦值為 .
例3 如圖，和都垂直于平面 ，且
，，是 的中點.
（1）求證：平面 ；
證明：因為和都垂直于平面 ，
所以，
又 平面， 平面 ，
所以平面 .
（2）求證： 平面 .
證明： 如圖，取的中點，連接， .
在中，，分別為， 的中點，
所以， ，
又， ，
所以， ，
所以四邊形 為平行四邊形，
則 .
因為，為 的中點，所以 .
因為 平面， 平面 ，
所以，又 ，
所以 平面 ，
所以 平面 .

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