資源簡介

9.1.2 分層隨機抽樣

第九章 統計
復習回顧
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}概念
公式
總體均值(總體平均數)
樣本均值(樣本平均數)
用樣本估計總體
探究 上節課的例子中，小明由高一年級學生身高的所有數據，計算出整個年級學生的 平均身高為165.0cm . 然后，用簡單隨機抽樣的方法，從這些
數據中抽取了樣本量為50和100的樣本各10個，分別計算出樣本平均數.
探究新知
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
10個樣本序號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
樣本量為50的平均數
165.2
162.8
164.4
164.4
165.6
164.8
165.3
164.7
165.7
165.0
樣本量為100的平均數
164.4
165.0
164.7
164.9
164.6
164.9
165.1
165.2
165.1
165.2
為了方便觀察分析樣本平均數的特點以及與總體平均數的關系，把這20次試驗的平均數用圖形表示出來，如下圖.
思考：
(1)為什么有的樣本平均數大幅度地偏離了總體平均數？
(2)為什么會出現“極端”樣本？
簡單隨機抽樣是使總體中每一個個體都有相等的機會被抽中，抽樣有隨機性
探究新知
樣本中的個體中
有大量的矮個子
“極端”樣本
估計出現
較大誤差
探究新知
問題3 在樹人中學高一年級的712名學生中，男生有326名，女生有386名. 能否利用這個輔助信息改進簡單隨機抽樣方法，減少“極端”樣本的出現，從而提高對整個年級平均身高的估計效果呢？
性別是影響身高的一個主要因素.
我們可以把高一年級學生分成男生和女生兩個身高有明顯差異的群體，
對兩個群體分別進行簡單隨機抽樣，然后匯總作為總體的一個樣本.
按照性別變量
高一年級的學生
男生
女生
男生樣本
女生樣本
抽樣
抽樣
總樣本
子總體1
子總體2
總體
探究新知
思考 男生、女生分別進行簡單隨機抽樣，樣本量在男生、女生中應如何分配？
按男生、女生在全體學生中所占的比例進行分配.
當總樣本量為50時，可以計算出從男生、女生分別應抽取的人數為：
女生樣本量=
女生人數
全體學生數
×總樣本量
男生樣本量=
男生人數
全體學生數
×總樣本量
追問 每個學生被抽到的可能性（概率）相等嗎？
無論是男生還是女生，每個學生抽到的概率都相等.
均為 = ???????????????????? .
?
男生
173.0 174.0 166.0 172.0 170.0 165.0 165.0 168.0 164.0 173.0 172.0 173.0 175.0 168.0 170.0 172.0 176.0 175.0 168.0 173.0 167.0 170.0 175.0
女生
163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 155.0 164.0 162.5 154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0 155.0 148.0 172.0 162.5 158.0 155.5 157.0 163.0 172.0
我們按上述方法抽取了一個容量為50的樣本，其觀測數據(單位：????????)如下：
?
男生身高的樣本平均數為170.6
男生身高的總體平均數約為170.6
女生身高的樣本平均數為160.6
女生身高的總體平均數約為160.6
估計
根據男生、女生身高的樣本平均數以及它們各自的人數，可以估計總體平均數為
所以樹人中學高一年級學生的平均身高大約在165.2cm左右.
探究新知
分層隨機抽樣
一般地，按 變量把總體劃分成若干個 ，每個個體屬且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進行 ，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為 ，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣.
每一個子總體稱為層，在分層隨機抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為 .
一個或多個
子總體
簡單隨機抽樣
總樣本
比例分配
講授新知
按照某種變量
高一年級的學生
男生
女生
男生樣本
女生樣本
抽樣
抽樣
總樣本
子總體1
子總體2
總體
講授新知
每一層抽取的樣本數=
×總樣本量
該層個體數
總體個體數
= 抽樣比例
×該層個體數
思考1 如何計算每層應抽的樣本數？
注：比例分配的分層隨機
抽樣是等可能抽樣
1. 某學校的學生由小學部、初中部、高中部構成，其中小學部與初中部共有700人，該校領導采用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取12名學生進行家訪，若高中部抽取了5名學生，則該校高中部有_____名學生.
????????????
?
2. 某中學高一年級有學生600人，高二年級有學生450人，高三年級有學生750人，若該校取一個容量為????的樣本，每個學生被抽到的
可能性均為0.2，則????=_______.
?
????????????
?
課堂練習
講授新知
思考2 歸納出分層隨機抽樣的步驟.
分層
按某種特征將總體分成若干互不交叉的層
計算
抽樣比
抽樣比=樣本容量總體容量
?
定數
按抽樣比確定每層抽取的個體數
抽樣
各層分別按簡單隨機抽樣的方法抽取樣本
匯總
綜合各層抽樣，組成樣本
注：當總體是由差異明顯的幾個部分組成時,往往選用分層隨機抽樣的方法.
講授新知
思考3 在分層隨機抽樣中，如何用樣本平均數估計總體平均數？
在分層隨機抽樣中，如果層數分別為2層，
第1層和第2層包含的個體數分別為M和N，抽取的樣本量分別為m和n.
第1層總體的各個個體的變量值為：X1，X2，…，XM；平均數：????
第1層樣本的各個個體的變量值為：x1，x2，…，xm； 平均數：????
第2層總體的各個個體的變量值為：Y1，Y2，…，YN； 平均數：????
第2層樣本的各個個體的變量值為：y1，y2，…，yn. 平均數：????
?
總樣本平均數：????
?
總樣本平均數：????
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
總體平均數
樣本平均數
第1層
第2層
總體
????=????????+????????+…+????????????
?
????=????????+????????+…+????????????
?
????=????????+????????+…+????????????
?
????=????????+????????+…+????????????
?
=????????????=????????????????
?
=????????????=????????????????
?
=????????????=????????????????
?
=????????????=????????????????
?
講授新知
????=????=????????????????+????=????????????????????+????
?
????=????=????????????????+????=????????????????????+????
?
=????????+????????????+????
?
=????????+????????????+????
?
用樣本平均數???? 估計總體平均數????
?
思考：1. 若小明同學期中考試????????分，期末考試????????分，則兩次考試小明的平均分是多少?
2. 若小明同學期中考試????????分，期末考試????????分，按學校規定，期中考試占????????%，而期末考試占????????%，則兩次考試小明的平均分是多少?
?
1. (????????+????????)÷????=???????? 分
?
2. ????????×????.????+????????×????.????=?????? 分
?
課堂練習
探究 與考察簡單隨機抽樣估計效果類似，小明也想通過多次抽樣考察一下分層隨機抽樣的估計效果. 他用比例分配的分層隨機抽樣方法，從高一年級的學生中抽取了10個樣本量為50的樣本，計算出樣本平均數如下表所示，與上一小節P179的“探究”中相同樣本量的簡單隨機抽樣的結果比較，小明有了一個重要的發現. 你是否也有所發現?
探究新知
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
10個樣本序號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
男生樣本的平均數
170.0
170.7
169.8
171.7
172.7
171.9
171.6
170.6
172.6
170.9
女生樣本的平均數
162.2
160.3
159.7
158.1
161.1
158.4
159.7
160.0
160.6
160.2
總樣本的平均數
165.8
165.1
164.3
164.3
166.4
164.6
165.2
164.9
166.1
165.1
1. 分層隨機抽樣的樣本平均的圍繞總體平均數波動，與簡單隨機抽樣的結果相比分層抽樣并沒有明顯優于簡單隨機抽樣。
2. 相對而言,分層隨機抽樣的樣本平均數波動幅度更均勻,簡單隨機抽樣的樣本平均數有的偏離總體平均數的幅度比較大的極端數據。
3. 在總體差異較大時，分層隨機抽樣的效果一般會優于簡單隨機抽樣。
探究新知
發現：
書P184
證明：
課堂練習
書P184
3. 高二年級有男生490人，女生510人，張華按男生、女生進行分層,通過分層隨機抽樣的方法,得到男生、女生的平均身高分別為170.2 cm和160. 8 cm.
(1) 如果張華在各層中按比例分配樣本,總樣本量為100，那么在男生、女生中分別抽取了多少名?在這種情況下，請估計高二年級全體學生的平均身高.
(2) 如果張華從男生、女生中抽取的樣本量分別為30和70，那么在這種情況下，如何估計高二年級全體學生的平均身高更合理?
課堂練習
1. 某中學有老年教師20人，中年教師65人，青年教師95人，為了調查他們的健康狀況，需從他們中抽取一個樣本容量為36的樣本，則合適的抽樣方法是（ ）
????. 抽簽法 ????. 隨機數法
????. 分層隨機抽樣 ????. 其他抽樣方法
?
????
?
鞏固提升
2. 某單位共有老年、中年、青年職工320人，其中青年職工150人，老年職工與中年職工的人數之比為7∶10.為了了解職工的身體情況，現采用按比例分配分層隨機抽樣的方法進行調查，抽取的樣本中有青年職工30人，則抽取的老年職工的人數為（ ）
????.14 ????.20 ????.21 ????.70
?
????
?
鞏固提升
3. 某校有初中、高中兩個部門，其中初中有學生850人，高中有學生650人，小軍想要進行一個視力調查，對學校按部門進行按比例分配分層隨機抽樣，得到初中生、高中生平均視力分別為????.???? , ????.????，其中樣本量為60，
則在初中部、高中部各抽取多少人？整個學校平均視力是多少？
?
解：
所以在初中部、高中部各抽取34,26人，整個學校平均視力約為0.91.
鞏固提升
下次課見！
第九章 統計

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