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1.3 第3課時 全等三角形的判定 “角角邊”
1.探索并掌握三角形全等的“角角邊”條件，能用其證明三角形中的邊或角相等
如圖，已知△ABC的邊與角，在甲、乙兩三角形中，有與△ABC全等的嗎？如果有，說出你的理由.
70°
50°
b
甲
70°
50°
c
乙
B
A
C
a
60°
50°
b
c
70°
兩角和其中一組等角的對邊分別相等的兩個三角形全等嗎？
如圖，在△ABC 和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠C＝∠C′，AB＝A′B′，△ABC 與△A′B′C′全等嗎？
A
B
C
A′
B′
C′
證明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.
∴△ABC≌△A′B′C′（ASA ）.
∴ ∠B＝180°－∠A－∠C.
同理 ∠B′＝180°－∠A′－∠C′.
又∵∠A＝∠A′，∠C＝∠C′，
∴ ∠B＝∠B′.
在△ABC和△A′B′C′中，
∠????＝∠????′，????????＝????′????′,∠????＝∠????′.
?
根據三角形內角和定理，可知∠B ＝ ∠B′
可由“ASA”證明△ABC 與△A′B′C′全等
兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等.
(簡寫成“角角邊”或“AAS”)
基本事實“角邊角”的推論：
對應角的對邊
符號語言：
在△ABC和△A′B′C′ 中，如果
∠????＝∠????′,?∠????＝∠????′,?????????＝????′????′.
那么△ABC≌△A′B′C′ (AAS)．
?
A
B
C
A′
B′
C′
一組等角的 “對邊”
1.如圖，已知∠????=∠???? ，∠????=∠????，要得到△????????????≌△???????????? ，
可以添加的條件是( )
?
D
A.∠????=∠???? B.????????=????????
C.????????=???????? D.????????=????????
?
鞏固練習
“ASA”與“AAS”有什么區別和聯系？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
區別
聯系
“S”的意義
書寫格式
ASA
AAS
“S”是兩角的夾邊.
“S”是其中一角的對邊.
把夾邊相等寫在兩角相等的中間.
把兩角相等寫在一起，邊相等寫在最后.
由三角形內角和定理可知，“AAS”可由“ASA”推導得出.
交流討論
如圖，△ABC≌△A?B?C?，AD，A?D?分別是△ABC和△A?B?C?的高.
求證：AD＝A?D?．
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
要證AD=A'D'，只要證△ABD≌△A' B'D'.
↑
兩角及一角的對邊
?
“AAS”證明
∠ADB=∠A′D′B′=90°
AB=A′B′
∠B=∠B′
?
由已知條件→
?
證明：∵ △ABC≌△A?B?C? ，
∴AB＝A?B?，∠B＝∠B? .
∵AD、A?D?分別是△ABC和△ A?B?C?的高，
∴∠ADB＝∠A?D?B? ＝ 90°.
在△ABD和△A?B?D?中，
∠????＝∠?????,???????∠????????????＝∠????????????????，?????????＝??????????,?????????
△ABD≌△A?B?D?(AAS)，
∴AD＝A?D? .
?
如圖，△ABC≌△A?B?C?，AD，A?D?分別是△ABC和△A?B?C?的高.
求證：AD＝A?D?．
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
證明：∵ △ABC≌△ A?B?C? ，
∴AB＝A?B?，∠B＝∠B?，∠BAC＝∠B?A?C? .
∵ AD、A?D?分別是△ABC和△ A?B?C?的角平分線，∴ ∠BAD＝ ????????∠BAC，∠B?A?D?＝????????B?A?C? ，
∴ ∠BAD＝∠B?A?D?.
在△ABD和△ A?B?D?中，
?∠????＝∠?????，????????＝??????????，∠????????????＝∠????????????????，?
△ABC≌△A?B?C?(ASA)，
∴AD＝A?D?.
?
若AD，A?D?分別是△ABC和△ A?B?C?的角平分線，AD與A?D?相等嗎？
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
探究
證△ABD≌△A' B'D'→AD=A'D'
?
“ASA”→
?
A
B
C
D
A′
B′
C′
D′
證明：∵ △ABC≌△ A?B?C? ，
∴AB＝A?B?，∠B＝∠B? ，BC＝B?C? .
∵ AD、A?D?分別是△ABC和△ A?B?C?的中線，
∴ BD＝????????BC，B?D?＝???????? B?C? ，
∴ BD＝B?D? .
在△ABD和△ A?B?D?中，
????????＝??????????，?∠????＝∠?????，?????????＝???????????，???
△ABC≌△ A?B?C?(SAS)，
∴AD＝A?D?.
?
全等三角形的對應高、對應角平分線、對應中線相等.
歸納
若AD，A?D?分別是△ABC和△ A?B?C?的中線，AD與A?D?相等嗎？
探究
證△ABD≌△A' B'D'→AD=A'D'
?
“SAS”→
?
2.如圖，點????，????在????????上，∠????=∠????，∠????=∠???? ，
????????=????????.求證：????????=???????? .
?
證明：在△????????????和△????????????中，&∠????=∠????,&∠????=∠????,&????????=????????,
∴△????????????≌△????????????(????????????)，
∴????????=???????? ，
∴?????????????????=?????????????????，即????????=???????? .
?
鞏固練習
AAS判定
條件
兩角＋對應角的對邊
應用
（先找角再找邊，確認邊是對應角的對邊）
全等三角形對應高、中線、角平分線相等.
1.如圖所示，已知∠????=∠???? ，則不一定能使
△????????????≌△???????????? 的條件是( )
?
B
A.????????=???????? B.????????=????????
C.∠????=∠???? D.????????平分∠????????????
?
2.如圖，已知△????????????的六個元素，則甲、乙、丙三個三角形中和△????????????
全等的是( )
?
B
A.甲和乙 B.乙和丙 C.只有乙 D.只有丙
∠????????????=∠????????????
?
∠????=∠????
?
3.如圖，已知點????，????，????，???? 在同一條直線上，∠????=∠????????????，????????=???????? ，現要說明△????????????≌△????????????，若要以“???????????? ”為依據，還需添加條件_______________；若要以“???????????? ”為依據，還需添加條件__________.
?
4. 如圖，∠????=∠????=????????? ，∠????????????=∠???????????? .
（1）求證：△????????????≌△???????????? ；
（2）若∠????????????=????????? ，則∠????????????=____?? .
?
證明：(1)在△????????????和△????????????中，&∠????=∠????=?????????,&∠????????????=∠????????????,&????????=????????,
∴△????????????≌△????????????(????????????) .
?
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