資源簡介

第12章　全等三角形 評估測試卷
(滿分:150分　時間:120分鐘)
一、選擇題:本大題共10小題,每小題3分,共30分,每小題只有一個正確選項.
1.(2025蘭州新區期末)下列語句是命題的是 (　　)
A.畫線段CD
B.內錯角相等嗎
C.用量角器畫∠AOC=90°
D.對頂角相等
2.下列命題中,逆命題是真命題的為 (　　)
A.直角都相等
B.如果a>0,b>0,那么a+b>0
C.全等三角形的面積相等
D.直角三角形的兩個銳角互余
3.如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,則∠ACD的度數為 (　　)
A.70° B.100° C.110° D.140°
4.如圖,已知AB=CD,BE⊥AD于點E,CF⊥AD于點F,給出下列條件:①∠B=∠C;②AB∥CD;③BE=CF;④AF=DE.其中選擇一個就可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是 (　　)
A.①② B.①②③ C.①③④ D.①②③④
5.如圖,在△ABC中,∠B=60°,DE為AC的垂直平分線.若∠BCE=50°,則∠A= (　　)
A.25° B.30° C.35° D.40°
6.如圖,一艘輪船由海平面上A地出發向南偏西40°的方向行駛40 n mile到達B地,再由B地向北偏西20°的方向行駛40 n mile到達C地,則A、C兩地相距 (　　)
A.30 n mile B.40 n mile C.50 n mile D.60 n mile
7.如圖,在△ABC中,AB=AC,AD、CE是△ABC的兩條中線,P是AD上一個動點,則下列線段的長度等于PB+PE的最小值的是 (　　)
A.BC B.CE C.AD D.AC
8.兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”,如圖,四邊形ABCD是一個“箏形”,其中AD=CD,AB=CB,在探究“箏形”的性質時,得到如下結論:①△ABD≌△CBD;②AC⊥BD;③點O到四條邊的距離都相等;④AO=OC.其中正確的結論有 (　　)
A.4個 B.3個 C.2個 D.1個
9.已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為60°,則這個等腰三角形的頂角等于 (　　)
A.15°或75° B.30° C.150° D.150°或30°
10.如圖,在等邊三角形ABC中,D、E分別為AB、AC邊上的動點,BD=2AE,連結DE,以DE為邊在△ABC內作等邊三角形DEF,連結CF,當D從點A向B運動(不運動到點B)時,∠ECF大小的變化情況是 (　　)
A.不變 B.變小
C.變大 D.先變大后變小
二、填空題:本大題共6小題,每小題4分,共24分.
11.命題“任意兩個直角都相等”的條件是　　　　　　　　　,結論是　　　　　　　　　　　.
12.對于命題“若a>b,則ac>bc”,能說明它是假命題的反例是c=　　　　　　　.(寫出一個即可)
13.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2 cm,CD⊥AB,在AC上取一點E,使EC=BC,過點E作EF⊥AC交CD的延長線于點F,若EF=5 cm,則AE=　　　　 cm.
14.如圖,△ABD≌△ACD,BD、AC的延長線交于點E.若AE=7,AB=5,BE=4,則△CDE的周長為　　　　 .
15.如圖,△ABC的三邊AB、BC、CA的長分別為40,50,60,其三條角平分線交于點O,則S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=　　　　　　.
16.(2025合肥包河區期末)在四邊形ABCD中,BC∥AD,CA平分∠BCD,O為對角線的交點,CD=AO,BC=OD,則∠ABC=　　　　.
三、解答題:本大題共6小題,共46分.解答時,應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
17.(6分)如圖,在△ABC中,請用尺規作圖法在BC邊上求作點M,使點M到∠BAC兩邊的距離相等.(保留作圖痕跡,不寫作法)
18.(6分)下面定理有逆定理嗎 如果有,請寫出逆定理,并證明;如果沒有,請寫出它的逆命題.
在三角形中,大角所對的邊較大.
19.(6分)如圖,已知△ABC≌△DEF,∠A=85°,∠B=60°,AB=8,EH=2.
(1)求∠F的度數與DH的長;
(2)求證:AB∥DE.
20.(8分)如圖,點C在BE上,AB⊥BE,DE⊥BE,給出以下四個等量關系:①AC⊥DC,②AB=CE,③BC=ED,④AC=CD.請你以其中兩個為條件,另一個為結論,組成一個真命題,并證明.
(1)條件:　　　　　　,結論:　　　　　;(填序號)
(2)寫出你的證明過程.
21.(10分)小明和小亮準備用所學數學知識測一池塘的長度,經過實地測量,繪制如圖,點B、F、C、E在直線l上(點F、C之間的距離為池塘的長度),點A、D在直線l的異側,且AB∥DE,∠A=∠D,測得AB=DE.
(1)求證:△ABC≌△DEF;
(2)若BE=120 m,BF=38 m,求池塘FC的長度.
22.(10分)在△ABC中,∠B=∠C,D、E分別是線段BC、AC上的一點,且AD=AE.
(1)如圖1,若∠BAC=90°,D為BC的中點,則∠2的度數為　　　　;
(2)如圖2,用等式表示∠1與∠2之間的數量關系,并給予證明.
四、解答題:本大題共5小題,共50分.解答時,應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
23.(8分)如圖,點D、E分別在AB、AC上,∠ADC=∠AEB=90°,BE、CD相交于點O,OB=OC.
求證:∠1=∠2.
小虎同學的證明過程如下:
證明:∵∠ADC=∠AEB=90°,
∴∠DOB+∠B=∠EOC+∠C=90°.
∵∠DOB=∠EOC,
∴∠B=∠C.……第一步
又∵OA=OA,OB=OC,
∴△ABO≌△ACO.……第二步
∴∠1=∠2.……第三步
(1)小虎同學的證明過程中,第　　　　步出現錯誤;
(2)請寫出正確的證明過程.
24.(10分)如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD,AN垂直平分BC,交BC于點N,點M是CD的中點.
(1)證明:AM是線段CD的垂直平分線;
(2)若∠MAN=70°,求∠BAD的度數.
25.(10分)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC,垂足為G,且AD=AB,∠EDF=60°,其兩邊分別交邊AB、AC于點E、F,連結BD.
求證:(1)△ABD是等邊三角形;
(2)BE=AF.
26.(10分)(2025上海楊浦區期末)如圖,已知等腰三角形ABC,AB=AC,D是邊AB上一點(不與點A、B重合),E是線段CD的延長線上一點,∠BEC=∠BAC.
(1)求證:∠EBA=∠DCA;
(2)小華在研究這個問題時,提出了一個新的猜想:點D在運動的過程中(不與點A、B重合),∠AEC與∠ABC是否會相等 小麗思考片刻后,提出了自己的想法:可以在線段CE上取一點H, 使得CH=BE,連結AH,然后通過學過的知識就能得到∠AEC與∠ABC相等.你能否根據小麗同學的想法,說明∠AEC=∠ABC的理由
27.(12分)在△ABC中,AB=AC,在△ABC的外部作等邊三角形ACD,E為AC的中點,連結DE并延長交BC于點F,連結BD.
(1)如圖1,若∠BAC=100°,求∠BDF的度數.
(2)如圖2,∠ACB的平分線交AB于點M,交EF于點N,連結BN.
①補全圖2;
②若BN=DN,求證:MB=MN.
【詳解答案】
1. D　解析:A.畫線段CD,沒有做出判斷,不是命題;B.內錯角相等嗎 沒有做出判斷,不是命題;C.用量角器畫
∠AOC=90°,沒有做出判斷,不是命題;D.對頂角相等,做出了判斷,是命題.故選D.
2.D　解析:A.直角都相等,逆命題是相等的角是直角,是假命題,不符合題意;B.如果a>0,b>0,那么a+b>0,逆命題是如果a+b>0,那么a>0,b>0,是假命題,不符合題意;C.全等三角形的面積相等,逆命題是面積相等的三角形全等,是假命題,不符合題意;D.直角三角形的兩個銳角互余,逆命題是兩個銳角互余的三角形是直角三角形,是真命題,符合題意.故選D.
3.C　解析:∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB.
∵∠A=40°,
∴∠B=∠ACB==70°.
∵∠ACD是△ABC的一個外角,
∴∠ACD=∠A+∠B=40°+70°=110°.
故選C.
4.D　解析:∵BE⊥AD于點E,CF⊥AD于點F,∴∠AEB=∠DFC=90°.①∠B=∠C,由AAS判定Rt△ABE≌Rt△DCF,故①符合題意;②由AB∥CD,推出∠A=∠D,由AAS判定Rt△ABE≌Rt△DCF,故②符合題意;③BE=CF,由HL判定Rt△ABE≌Rt△DCF,故③符合題意;④由AF=DE得到AE=DF,由HL判定Rt△ABE≌Rt△DCF,故④符合題意,
∴可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是①②③④.
故選D.
5.C　解析:∵∠B=60°,∠BCE=50°,
∴∠A+∠ECA=180°-60°-50°=70°.
∵DE為AC的垂直平分線,∴EC=EA.
∴∠A=∠ECA=35°.
故選C.
6.B　解析:由題意,得∠ABC=60°,AB=BC,
∴△ABC是等邊三角形.
∴AC=AB=40 n mile.
故選B.
7.B　解析:如圖,連結PC,
∵AB=AC,BD=CD,
∴AD⊥BC.
∴PB=PC.
∴PB+PE=PC+PE.
∵PE+PC≥CE,
∴P、C、E在同一條直線上時,PB + PE的值最小,最小值為CE的長度.故選B.
8.B　解析:在△ABD和△CBD中,
∴△ABD≌△CBD(SSS).
∴∠ABD=∠CBD,∠ADB=∠CDB.
∵AD=CD,
∴DB⊥AC,AO=OC.
∵∠ABD=∠CBD,∠ADB=∠CDB,
∴點O到BA和BC的距離相等,點O到AD和CD的距離相等,但是點O到AD和AB的距離不一定相等,故①②④正確,③錯誤.
故選B.
9.D　解析:如圖1,AB=AC,BD⊥AC,∠ABD=60°,則∠A=30°;
如圖2,AB=AC,BD⊥AC,
∠ABD=60°,∴∠BAD=30°,
∴∠BAC=180°-30°=150°.
故這個等腰三角形的頂角等于30°或150°.故選D.
10.A　解析:在AC上截取CN=AE,連結FN,如圖所示.
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠A=60°,AB=AC.
∵BD=2AE,
∴AD=EN.
∵△DEF是等邊三角形,
∴DE=EF,∠DEF=60°.
∵∠ADE=180°-∠A-∠AED=180°-60°-∠AED=120°-∠AED,
∠NEF=180°-∠DEF-∠AED=180°-60°-∠AED=120°-∠AED,
∴∠ADE=∠NEF.
在△ADE和△NEF中,
∴△ADE≌△NEF(SAS).
∴AE=NF,∠FNE=∠A=60°.
∴FN=CN.
∴∠NCF=∠NFC.
∵∠FNE=∠NCF+∠NFC=60°,
∴∠NCF=30°,
即∠ECF=30°.
故選A.
11.兩個角是直角　這兩個角相等
解析:“任意兩個直角都相等”的條件是兩個角是直角,結論是這兩個角相等.
12.-1(答案不唯一)　解析:當c=-1時,由a>b,得到ac13.3　解析:∵∠ACB=90°,
∴∠ECF+∠BCD=90°.
∵CD⊥AB,
∴∠BCD+∠B=90°.
∴∠ECF=∠B(等角的余角相等).
在△FCE和△ABC中,
∴△FCE≌△ABC(ASA).
∴AC=FE.
∵AE=AC-CE,BC=2 cm,EF=5 cm,
∴AE=5-2=3(cm).
14.6　解析:∵△ABD≌△ACD,
∴AC=AB=5,CD=BD.
∵AE=7,
∴CE=AE-AC=2.
∵BE=4,
∴△CDE的周長=CD+DE+CE=BD+DE+CE=BE+CE=6.
15.4∶5∶6　解析:如圖,過點O作OD⊥AB于點D,OE⊥AC于點E,OF⊥BC于點F.
∵AO、BO、CO是△ABC三個內角的角平分線,
∴OD=OE=OF.
∵△ABC的三邊AB、BC、CA的長分別為40,50,60,
∴S△ABO∶S△BCO∶S△CAO==AB∶BC∶AC=40∶50∶60=4∶5∶6.
16. 126°　解析:如圖,
∵CA平分∠BCD,
∴∠BCA=∠DCA.
∵BC∥AD,
∴∠BCA=∠DAC.
∴∠DCA=∠DAC.
∴DA=DC.
∵CD=AO,
∴AD=AO,∴∠AOD=∠ADO=∠BOC.
∵∠CBD=∠ADB,
∴∠COB=∠CBO,∴CB=CO.
∵CB=OD,∴CO=OD.
∴∠OCD=∠ODC,∠AOD=∠ADO=2∠OCD=2∠BCA.
∴3∠BCA+∠ADO=180°.
∴∠BCA=36°,∠ADO=72°.
∴∠DBC=∠DCB=72°.
∴BD=CD=AD.
∴∠DAB=∠DBA.
又∵∠BDA=72°,
∴∠DBA==54°.
∴∠ABC=72°+54°=126°.
17. 解:如圖,點M即為所求.
18.解:在三角形中,大角所對的邊較大,有逆定理,逆定理是:在三角形中,大邊所對的角較大.
已知:在△ABC中,AC>AB,
求證:∠B>∠C.
證明:在AC上截取AD,使AD=AB,連結BD,如圖.
∵AD=AB,∴∠ABD=∠ADB.
∵∠ADB是△DBC的外角,
∴∠ADB>∠C.
∴∠ABD>∠C.
∴∠ABC>∠C.
19.(1)解:∵∠A=85°,∠B=60°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=35°.
∵△ABC≌△DEF,AB=8,
∴DE=AB=8,∠F=∠ACB=35°.
∵EH=2,∴DH=8-2=6.
(2)證明:∵△ABC≌△DEF,
∴∠DEF=∠B.
∴AB∥DE.
20.(1)解:條件:②③,結論:④
(答案不唯一).
(2)證明:∵AB⊥BE,DE⊥BE,
∴∠B=∠E=90°.
在△ABC和△CED中,
∴△ABC≌△CED(SAS).
∴AC=CD.
21. (1)證明:∵AB∥DE,
∴∠ABC=∠DEF.
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(ASA).
(2)解:∵△ABC≌△DEF,
∴BC=EF.
∴BF+FC=EC+FC.
∴BF=EC.
∵BE=120 m,BF=38 m,
∴FC=BE-BF-EC=44 m.
答:池塘FC的長度是44 m.
22.解:(1)22.5°
(2)∠1=2∠2.證明如下:
∵AD=AE,
∴∠AED=∠ADE.
∵∠AED=∠2+∠C,∠ADC=∠B+∠1,
∴∠B+∠1=∠2+∠C+∠2,
∵∠B=∠C,
∴∠1=2∠2.
23.(1)解:二
(2)證明:∵∠ADC=∠AEB=90°,
∴∠BDC=∠CEB=90°.
在△DOB和△EOC中,
∴△DOB≌△EOC(AAS).
∴OD=OE.
在Rt△ADO和Rt△AEO中,
∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL).
∴∠1=∠2.
24.(1)證明:∵AN垂直平分BC,
∴AB=AC.
∵AB=AD,∴AC=AD.
∵點M是CD的中點,
∴AM⊥CD.
∴AM是線段CD的垂直平分線.
(2)解:∵AB=AC,AN⊥BC,
∴∠BAC=2∠CAN.
∵AC=AD,AM⊥CD,
∴∠CAD=2∠CAM.
∵∠MAN=70°,
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD
=2∠CAN+2∠CAM
=2∠MAN
=2×70°
=140°.
25.證明:(1)∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠DAC=∠BAC.
∵∠BAC=120°,
∴∠BAD=∠DAC=×120°=60°.
∵AD=AB,
∴△ABD是等邊三角形.
(2)∵△ABD是等邊三角形,
∴∠ABD=∠ADB=60°,BD=AD.
∵∠EDF=60°,
∴∠BDE=∠ADF.
在△BDE和△ADF中,
∴△BDE≌△ADF(ASA).
∴BE=AF.
26.(1)證明:∵∠BEC+∠BDE+∠EBA=180°,∠BAC+∠ADC+∠DCA=180°,
∴∠BEC+∠BDE+∠EBA=∠BAC+∠ADC+∠DCA.
又∵∠BEC=∠BAC,∠BDE=∠ADC,
∴∠EBA=∠DCA.
(2)解:在線段CE上取一點H,使得CH=BE,連結AH,如圖所示.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=(180°-∠BAC).
由(1)可知∠EBA=∠DCA,
在△ABE和△ACH中,
∴△ABE≌△ACH(SAS).
∴AE=AH,∠BAE=∠CAH.
∴∠BAE+∠DAH=∠CAH+
∠DAH,
即∠EAH=∠BAC.
∵AE=AH,
∴∠AEC=∠AHD=(180°-∠EAH)=(180°-∠BAC).
∴∠AEC=∠ABC.
27.(1)解:∵在等邊三角形ACD中,
∠CAD=∠ADC=60°,AD=AC,
又∵E為AC的中點,
∴∠ADE=∠ADC=30°.
∵AB=AC,
∴AD=AB.
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=160°,
∴∠ADB=∠ABD=10°.
∴∠BDF=∠ADF-∠ADB=20°.
(2)①解:補全圖形,如圖所示.
②證明:如圖,連結AN.
∵CM平分∠ACB,
∴設∠ACM=∠BCM=α.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=2α.
在等邊三角形ACD中,
∵E為AC的中點,
∴DN⊥AC.
∴NA=NC.
∴∠NAC=∠NCA=α.
∴∠DAN=60°+α.
在△ABN 和△ADN 中,
∴△ABN≌△ADN(SSS).
∴∠ABN=∠ADN=30°,
∠BAN=∠DAN=60°+α.
∴∠BAC=60°+2α.
在△ABC中,∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°,
∴60°+2α+2α+2α=180°.
∴α=20°.
∴∠NBC=∠ABC-∠ABN=10°.
∴∠MNB=∠NBC+∠NCB=30°.
∴∠MNB=∠MBN.
∴MB=MN.

展開更多......

收起↑