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第13章　勾股定理 評估測試卷
(滿分:150分　時間:120分鐘)
一、選擇題:本大題共10小題,每小題3分,共30分,每小題只有一個正確選項.
1.下列各組數中,是勾股數的是 (　　)
A.1,2,3 B.5,12,13
C.0.3,0.4,0.5 D.4,6,8
2.如圖,網格中每個小正方形的邊長均為1,點A、B、C都在格點上,以A為圓心,AB長為半徑畫弧,交最上方的網格線于點D,則CD的長為 (　　)
A. B. C.2.2 D.3-
3.如圖是由兩個直角三角形和三個正方形組成的圖形,其中陰影部分的面積是 (　　)
A.16 B.25 C.144 D.169
4.(2025上海普陀區期末)如圖,在7×7的正方形網格中,每個小正方形的邊長都為1,點A、B、C、D、E、F均在格點上,那么和線段AB兩個端點距離相等的點的軌跡是 (　　)
A.直線CD B.直線CE C.直線DE D.直線DF
5.趙爽弦圖是一個以勾股形之弦為邊的正方形.圖中包含四個全等的勾股形和一個小正方形,其面積稱為朱實和黃實.如圖,設每一個勾股形的兩條直角邊長分別為a和b,若ab=8,且a2+b2=25,則黃實為 (　　)
A.36 B.25 C.16 D.9
6.如圖,在5×5的正方形網格中,每個小正方形的邊長都為1,從在格點上的點A、B、C、D中任取三點,所構成三角形不是直角三角形的是 (　　)
A.△ABD B.△ADC
C.△BCD D.△ABC
7.《九章算術》是古代東方數學代表作,書中記載:今有開門去閫(讀kǔn,門檻的意思)一尺,不合二寸,問門廣幾何 其大意:如圖,推開雙門(大小相同),雙門間隙CD=2寸,點C、點D與門檻AB的距離CE=DF=1尺(1尺=10寸),則AB的長是 (　　)
A.26寸 B.50.5寸
C.52寸 D.101寸
8.如圖,三級臺階,每一級的長、寬、高分別為8 dm、3 dm、2 dm.A和B是這個臺階上兩個相對的端點,點A處有一只螞蟻,想到點B處去吃可口的食物,則螞蟻沿著臺階面爬行到點B的最短路程為 (　　)
A.15 dm B.17 dm
C.20 dm D.25 dm
9.在△ABC中,∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c,則由下列條件:①∠A-∠B=∠C;②∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶4;③a2=b2-c2;④a∶b∶c=1∶.能判定△ABC為直角三角形的有 (　　)
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
10.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=15 cm,AB=17 cm,以AC為邊作正方形ADEC,則△ABE的面積為 (　　)
A.30 cm2 B.28 cm2 C.20 cm2 D.16 cm2
二、填空題:本大題共6小題,每小題4分,共24分.
11.(2025長春期末)用反證法證明:“在△ABC中,已知∠B≠∠C,則AB≠AC”,應首先假設　　　　.
12.在△ABC中,∠A、∠B、∠C的對邊分別為a,b,c,若a=3,b=7,c2=58,則△ABC的形狀是　　　　.
13.如圖是一個長方體,陰影部分的面積為　　　　.
14.如圖,分別以直角三角形的三邊為直徑作半圓,其中兩個半圓的面積S1=2π,S2=π,則S3=　　　　.
15.國慶假期中,小華與同學去玩探寶游戲,按照探寶圖,他們從門口A處出發先往東走8 km,又往北走2 km,遇到障礙后又往西走3 km,再向北走到6 km處往東拐,僅走了1 km,就找到了寶藏,則門口A到藏寶點B的直線距離是　　　　.
16.(2025深圳坪山區期末)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,點D為邊AC上一動點,DE⊥AB交AB于點E,將∠A沿直線DE折疊,點A的對應點為F,當△DFC是直角三角形時,AD的長為　　　　.
三、解答題:本大題共6小題,共46分.解答時,應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
17.(6分)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5 cm,BC=3 cm,CD⊥AB于點D.
(1)求AC的長和△ABC的面積;
(2)求CD的長.
18.(6分)消防車上的云梯示意圖如圖1所示,云梯最多只能伸長到25 m,消防車高4 m,如圖2,某棟樓發生火災,在這棟樓的B處有一老人需要救援,救人時消防車上的云梯伸長至最長,此時消防車的位置A與樓房的距離OA為15 m.
(1)求B處與地面的距離;
(2)完成B處的救援后,消防員發現在B處的上方4 m的D處有一小孩沒有及時撤離,為了能成功地救出小孩,消防車從A處向著火的樓房靠近的距離AC為多少米
19.(6分)如圖,在△ABC中,D、E分別是AC、AB的中點,且BD≠CE.
求證:AB≠AC.
20.(8分)請你在方格紙上按照如下要求設計直角三角形.
(1)使它的三邊中有一邊邊長不是有理數;
(2)使它的三邊中有兩邊邊長不是有理數;
(3)使它的三邊邊長都不是有理數.
21.(10分)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=12,BC=5,將△ABC沿直線AB向右平移得到△DEF,若AE=22,BD=4.
(1)求△ABC向右平移的距離;
(2)求四邊形AEFC的周長.
22.(10分)如圖,已知AB=AC,且AB⊥AC,點D在BC上.
求證:BD2+CD2=2AD2.
四、解答題:本大題共5小題,共50分.解答時,應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
23.(8分)如圖1是用硬紙片做成的兩個全等的直角三角形,兩條直角邊長分別為a和b,斜邊長為c;圖2是以c為直角邊的等腰直角三角形.請你開動腦筋,將圖1和圖2的三個圖形拼成一個能驗證勾股定理的圖形.請畫出拼成的這個圖形的示意圖,并用它驗證勾股定理.
24.(10分)(2025沈陽鐵西區期末)如圖,把△ABC沿邊AB所在直線折疊得到△ABD,點D是點C的對應點,過點A作AE⊥DB于點E,過點C作CF⊥DB交DB的延長線于點F.
(1)若∠ABC=70°,求∠BCF的度數;
(2)若DE=CF=4,EF=2DE,求BE的長.
25.(10分)如圖,在五邊形ABCDE中,AB⊥BC,AE⊥ED.已知BC=9,AB=12,AE=15,ED=CD=8.
(1)求證:△ACD是直角三角形;
(2)求五邊形ABCDE的面積.
26.(10分)我們學習了勾股定理后,都知道“勾三、股四、弦五”.
觀察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;…,發現這些勾股數的勾都是奇數,且從3起就沒有間斷過.
(1)請你根據上述的規律寫出下一組勾股數:　　　　　　　.
(2)若第一個數用字母n(n為奇數,且n≥3)表示,則后兩個數用含n的代數式表示分別為　　　　　　　　　,請用所學知識證明它們是一組勾股數.
27.(12分)如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,AC=25,BC=15.
(1)設點P在AB上,若∠PAC=∠PCA.求AP的長;
(2)設點M在AC上,若△MBC為等腰三角形,求AM的長.
【詳解答案】
1.B　解析:A.32=9≠12+22,不是勾股數,不符合題意;B.52+122=132,是勾股數,符合題意;C.不是正整數,不是勾股數,不符合題意;D.42+62=52≠64=82,不是勾股數,不符合題意.故選B.
2. B　解析:如圖,連結AD,
由題意知:AD=AB=3,
在Rt△ACD中,由勾股定理,得
CD=.
故選B.
3.B　解析:如圖所示,
根據勾股定理得出:
AB==5,
∴EF=AB=5.
∴陰影部分的面積是25.故選B.
4.C　解析:如圖,連結AD、BD、AE、BE,
由勾股定理,得AD=BD=,BE==5,
∴AE=BE=5.
∴D和E在線段AB的垂直平分線上,∴和線段AB兩個端點距離相等的點的軌跡是直線DE.故選C.
5.D　解析:設大正方形的邊長為c,則大正方形的面積為c2,根據勾股定理,得a2+b2=c2,
∵a2+b2=25,
∴c2=25.
∴黃實為c2-4×ab=25-4××8=9.
故選D.
6.C　解析:∵AB2=5,BD2=5,CD2=10,AC2=20,AD2=10,BC2=25,
∴AB2+BD2=AD2,AD2+CD2=AC2,BD2+DC2≠BC2,AB2+AC2=BC2.
∴△BCD不是直角三角形.
故選C.
7.D　解析:如圖,取AB的中點為O,則EF的中點也為O,
根據題意可知:CD=EF=2寸,
∴EO=EF=1寸.
設AE=x寸,則AC=AO=(x+1)寸,
∵AE2+CE2=AC2,CE=DF=1尺=10寸,
∴x2+102=(x+1)2.
解得x=49.5.
∴AB=49.5+49.5+2=101(寸).
故選D.
8.B　解析:如圖,三級臺階平面展開圖為長方形,寬為8 dm,長為(2+3)×3 dm,
則螞蟻沿臺階面爬行到點B的最短路程是此長方形的對角線長.
可設螞蟻沿臺階面爬行到點B的最短路程為x dm,
由勾股定理,得x2=82+[(2+3)×3]2=172,
解得x=17.
故選B.
9.D　解析:∵∠A-∠B=∠C,
∴∠A=∠C+∠B.
∴∠A+∠A=180°.
∴∠A=90°.
∴△ABC為直角三角形,正確.故①符合題意;
∵∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶4,
∴∠C=×180°=90°.
∴△ABC為直角三角形,正確.故②符合題意;
∵a2=b2-c2,
∴a2+c2=b2.
∴△ABC為直角三角形,正確.故③符合題意;
∵a∶b∶c=1∶,
∴a2+b2=c2,
∴△ABC為直角三角形,正確.故④符合題意.綜上可知,①②③④能判定△ABC為直角三角形,共4個.故選D.
10.B　解析:在Rt△ABC中,BC=15 cm,AB=17 cm,
∴AC==8(cm).
∵四邊形ADEC是正方形,
∴S△ACE=S正方形ADEC=×8×8=32(cm2).
∵BC=15 cm,AC=8 cm,
∴S△ABC=AC·BC=×8×15=60(cm2).
∴S△ABE=60-32=28(cm2).
故選B.
11.AB=AC　解析:反證法證明:“在△ABC中,已知∠B≠∠C,則AB≠AC”,應首先假設AB=AC.
12.直角三角形
13.　解析:如圖所示,BC==5,
∴陰影部分的面積為AB·BC=×5×5=.
14.π　解析:根據勾股定理,得AB2=AC2+BC2,
∴S3=S1+S2=+2π=π.
15.10 km　解析:如圖,過點B作BC⊥AC,垂足為C,延長ND交AC于點M.
觀察圖形可知AC=AF-MF+MC=8-3+1=6(km),BC=NM=ND+DM=6+2=8(km),
在Rt△ACB中,AB==10(km).
故門口A到藏寶點B的直線距離是10 km.
16.或　解析:當∠DFC=90°時,
∵將∠A沿直線DE折疊,點A的對應點為F.
∴∠A=∠AFD,AD=DF.
∵∠ACB=90°,∠DFC=90°,
∴∠A+∠B=90°,∠AFD+∠BFC=90°.
∴∠BFC=∠B.
∴CF=BC=6.
在Rt△DFC中,CD2=DF2+CF2,
∴(8-AD)2=AD2+36,
∴AD=;
當點F與點B重合時,AD=DF,如圖,
∵DF2=CF2+CD2,
∴AD2=(8-AD)2+36,
∴AD=.
綜上所述,AD的長為或.
17.解:(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5 cm,BC=3 cm,
∴AC==4(cm),
∴AC·BC=×4×3=6(cm2).
(2)∵CD⊥AB,
∴AC·BC=AB·CD.
∴CD==2.4(cm).
18.解:(1)在Rt△OAB中,
∵AB=25 m,OA=15 m,OE=4 m,
∴OB==20(m).
∴BE=OB+OE=20+4=24(m).
答:B處與地面的距離是24 m.
(2)由題意,得BD=4 m,
∵CD=25 m,OD=OB+BD=20+4=24(m),
∴OC==7(m).
∴AC=OA-OC=15-7=8(m).
答:消防車從A處向著火的樓房靠近的距離AC為8 m.
19. 證明:設AB=AC,則∠ABC=∠ACB,
∵AB=AC,D、E分別是AC、AB的中點,
∴BE=CD.
在△BCD和△CBE中,
∴△BCD≌△CBE(SAS).
∴BD=CE,與BD≠CE相矛盾.
∴AB≠AC.
20.解:如圖.
(1)△ABC是所求作的三角形.
(2)△PHG是所求作的三角形.
(3)△DEF是所求作的三角形.
(答案不唯一)
21.解:(1)在△ABC中,∠ACB=90°,AC=12,BC=5,
由勾股定理,得AB==13.
∵AE=22,∴BE=22-13=9,
∴△ABC向右平移的距離為9.
(2)由平移的性質可知CF=BE=9,EF=BC=5,
∴四邊形AEFC的周長=AC+AE+EF+CF=12+22+5+9=48.
22.證明:作AE⊥BC于點E,如圖所示.
∵AB=AC,且AB⊥AC,
∴△ABC是等腰直角三角形.
∵AE⊥BC,
∴BE=AE=EC.
∴BD=BE-DE=AE-DE,CD=EC+DE=AE+DE.
∴BD2+CD2
=(AE-DE)2+(AE+DE)2
=AE2+DE2-2AE·DE+AE2+DE2+2AE·DE
=2AE2+2DE2
=2(AE2+DE2)
=2AD2.
23.解:將三個三角形拼成直角梯形,如圖所示.
驗證:
∵梯形的面積為(a+b)(a+b)或ab+ab+c2,
即(a+b)(a+b)=ab+ab+c2,
∴a2+b2=c2.
24.解:(1)∵把△ABC沿邊AB所在直線折疊得到△ABD,
∴∠ABD=∠ABC=70°.
∴∠CBF=180°-∠ABD-∠ABC=180°-70°-70°=40°.
∵CF⊥DB交DB的延長線于點F,
∴∠F=90°.
∴∠BCF=90°-∠CBF=90°-40°=50°.
∴∠BCF的度數是50°.
(2)∵DE=CF=4,EF=2DE,
∴BD=4+BE,EF=8.
∴BF=8-BE.
由折疊,得BD=BC=4+BE,
∵CF2+BF2=BC2,
∴42+(8-BE)2=(4+BE)2.
解得BE=,
∴BE的長是.
25.(1)證明:∵AB⊥BC,AE⊥ED,BC=9,AB=12,AE=15,ED=CD=8,
∴∠B=∠E=90°.
∴AC==15,AD==17.
∵AC2+CD2=152+82=289,AD2=172=289,
∴AC2+CD2=AD2.
∴∠ACD=90°.
∴△ACD是直角三角形.
(2)解:×12×9+×15×8+×15×8=174,
∴五邊形ABCDE的面積是174.
26.解:(1)11,60,61
(2)和
證明如下:
∵n2+=n2+=
,
,
∴n2+.
由題意知,n,,三個數均為正整數,
∴n,,三個數是一組勾股數.
27.解:(1)∵∠ABC=90°,AC=25,BC=15,
∴AB==20.
∵∠PAC=∠PCA,
∴AP=PC.
設AP=PC=x,
則PB=20-x.
在Rt△PBC中,由勾股定理,得PB2+BC2=PC2,∴(20-x)2+152=x2,
解得x=,∴AP=.
(2)當CM=BC=15時,△MBC為等腰三角形,
∴AM=AC-CM=10;
當BM=BC=15時,△MBC為等腰三角形,
如圖,過點B作BH⊥AC于點H,
則BH==12.
∴CH==9.
∴AM=AC-2CH=7;
當BM=CM時,△MBC為等腰三角形,
連結BM,
設AM=x,則BM=CM=25-x,
∴(25-x)2=122+(25-x-9)2.
解得x=12.5.
∴AM=12.5.
綜上所述,AM的長為10或7或12.5.

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