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人教版九年級上冊 第二十四章 圓 單元測試
一、選擇題
1.如圖，在⊙O中，點A，B，C在圓上，且OC⊥AB，垂足為D，若∠BOC＝45°，OB＝2，則AB的長為（　　）
A. B.2 C. D.4
2.如圖，OA交⊙O于點B，AC切⊙O于點C，D點在⊙O上．若∠D＝25°，則∠A為（　　）
A.25° B.40° C.50° D.65°
3.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∠ABC＝125°，則∠AOC 的度數是（　　）
A.110° B.100° C.120° D.125°
4.如圖，CD是⊙O的直徑，⊙O上的兩點A，B分別在直徑CD的兩側，且∠ABC＝78°，則∠AOD的度數為（　　）
A.12° B.22° C.24° D.44°
5.如圖，AB是⊙O的一條弦，點C是AB的中點，連接OA、OC，BD∥OA交⊙O于點D，連接AD，若∠ABD＝20°，則∠BAD的度數為（　　）
A.50° B.55° C.60° D.65°
6.把直尺、圓片和兩個同樣大小的含30°角的直角三角尺按圖所示放置，兩三角尺的斜邊與圓分別相切于點B，C．若AB=3，則圓片的面積為（　　）
A.π B.3π C.9π D.12π
7.如圖，一圓弧過方格的格點A、B、C，試在方格中建立平面直角坐標系，使點A的坐標為（﹣1，3），B的坐標為（1，5），則該圓弧所在圓的圓心坐標是（　　）
A.（3，2） B.（3，1） C.（4，1） D.（4，2）
8.如圖，圓O的半徑是4，BC是弦，∠B＝30°且A是弧BC的中點，則弦AB的長為（　　）
A. B. C.4 D.6
9.已知：如圖，△ABC．
求證：在△ABC中，如果它含直角，那么它只能有一個直角．
下面寫出運用反證法證明這個命題的四個步驟：
①∴∠A+∠B+，這與“三角形內角和等于180°”相矛盾．
②因此，三角形有兩個（或三個）直角的假設不成立．
∴如果三角形含直角，那么它只能有一個直角．
③假設△ABC中有兩個（或三個）直角，不妨設∠A＝∠B＝90°．
④∵∠A+∠B＝180°，
這四個步驟正確的順序應是（　　）
A.④③①② B.③④②① C.①②③④ D.③④①②
10.如圖，點I為等邊△ABC的內心，連接AI并延長交△ABC的外接圓于點D，已知外接圓的半徑為2，則線段DB的長為（　　）
A.2 B.3 C.4 D.
11.如圖，已知CD為⊙O的直徑，CD⊥AB于點F，AE⊥BC于點E．若AE過圓心O，OA＝1．則四邊形BEOF的面積為（　　）
A. B. C. D.
12.如圖，直線AB與x軸、y軸分別相交于A（3，0）、B兩點，∠BAO＝30°，圓心P的坐標為（﹣1，0），⊙P與y軸相切于原點O，若將⊙P沿x軸向右移動，當⊙P與該直線相交時，橫坐標為整數的點P的個數是（　　）
A.2 B.3 C.4 D.5
二、填空題
13.已知，如圖等邊△ABC中，AD是BC邊上的高，以點A為圓心，AD為半徑畫弧，交AB，AC于點E，F．若BC＝10，則的長為 　 　．
14.如圖，有一個直徑為4的圓形鐵皮，要從中剪出一個最大的圓心角為90°的扇形ABC；則圖中陰影部分的面積是 　 　．
15.如圖，AB，CD是⊙O的兩條弦，若AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分別為E，F，OE與OF的關系是　 　（“相等”或“不等”）．
16.已知：⊙O的直徑CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為E，OE：OD＝3：5，則AC的長為 　 　．
17.如圖，點M坐標為（0，1），點A坐標為（1，0），以點M為圓心，MA為半徑作⊙M，與x軸的另一個交點為B，點C是⊙M上的一個動點，連接BC，AC，點D是AC的中點，連接OD，則線段OD的最大值為 　 　．
三、解答題
18.如圖，AB，CD是⊙O的兩條弦.
（1）如果AB=CD，那么 ， .
（2）如果=，那么 ， .
（3）如果∠AOB=∠COD，那么 ， .
（4）如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分別為E，F，OE和OF相等嗎？為什么？
19.如圖，在⊙O中，B，C是的三等分點，弦AC，BD相交于點E．
（1）求證：AC＝BD；
（2）連接CD，若∠BDC＝25°，求∠BEC的度數．
20.在矩形ABCD中，AB＝6 cm，AD＝8 cm．
（1）若以A為圓心，6 cm長為半徑作⊙A（畫圖），則B、C、D與圓的位置關系是什么？
（2）若作⊙A，使B、C、D三點至少有一個點在⊙A內，至少有一點在⊙A外，則⊙A的半徑r的取值范圍是 　 　．
21.如圖，四邊形ABCD的四個頂點都在⊙O上，DB平分∠ADC，連接OC，且OC⊥BD．
（1）求證：AB＝CD；
（2）若CD＝5，BD＝8，求⊙O的半徑．
22.如圖所示，AB為⊙O的直徑，AC是⊙O的一條弦，D為的中點，作DE⊥AC于點E，交AB的延長線于點F，連接DA．
（1）若AB＝90cm，則圓心O到EF的距離是多少？說明你的理由．
（2）若，求陰影部分的面積（結果保留π）．
人教版九年級上冊 第二十四章 圓 單元測試（參考答案）
一、選擇題
1.如圖，在⊙O中，點A，B，C在圓上，且OC⊥AB，垂足為D，若∠BOC＝45°，OB＝2，則AB的長為（　　）
A. B.2 C. D.4
【答案】D
【解析】解：∵OC⊥AB，
∴=且AB＝2BD，
∴∠AOC=∠BOC=45°
∴∠AOB=90°
∵OB＝2，
∴OB2+OA2＝AB2，
∴2OB2＝AB2，
∴AB＝4．
故選：D．
2.如圖，OA交⊙O于點B，AC切⊙O于點C，D點在⊙O上．若∠D＝25°，則∠A為（　　）
A.25° B.40° C.50° D.65°
【答案】B
【解析】∵∠D＝25°，
∴∠AOC＝2∠D＝2×25°＝50°，
∵AC切⊙O于點C，
∴OC⊥AC
∴∠OCA＝90°
∴∠A＝90°﹣∠AOC＝90°﹣50°＝40°，故B正確．
故選：B．
3.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∠ABC＝125°，則∠AOC 的度數是（　　）
A.110° B.100° C.120° D.125°
【答案】A
【解析】解：∵∠ABC＝125°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝55°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝110°．
故選：A．
4.如圖，CD是⊙O的直徑，⊙O上的兩點A，B分別在直徑CD的兩側，且∠ABC＝78°，則∠AOD的度數為（　　）
A.12° B.22° C.24° D.44°
【答案】C
【解析】解：∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝78°，
∴∠AOC＝156°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝24°，
故選：C．
5.如圖，AB是⊙O的一條弦，點C是AB的中點，連接OA、OC，BD∥OA交⊙O于點D，連接AD，若∠ABD＝20°，則∠BAD的度數為（　　）
A.50° B.55° C.60° D.65°
【答案】A
【解析】解：如圖所示，連接OD，
∵∠ABD＝20°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝40°，
∵OA＝OD，
∴，
∵BD∥OA，
∴∠OAB＝∠ABD＝20°，
∴∠BAD＝∠OAD﹣∠OAB＝50°，
故選：A．
6.把直尺、圓片和兩個同樣大小的含30°角的直角三角尺按圖所示放置，兩三角尺的斜邊與圓分別相切于點B，C．若AB=3，則圓片的面積為（　　）
A.π B.3π C.9π D.12π
【答案】C
【解析】解：連接OC，OB，
∵兩三角尺的斜邊與圓分別相切于點B，C，
∴∠OCB=∠OBC=90°，OC=OB，
∵∠CAB=60°+30°=90°，
∴四邊形ABOC是正方形，
∴OB=AB=3，
∴圓片的面積=π×32=9π
故選：C．
7.如圖，一圓弧過方格的格點A、B、C，試在方格中建立平面直角坐標系，使點A的坐標為（﹣1，3），B的坐標為（1，5），則該圓弧所在圓的圓心坐標是（　　）
A.（3，2） B.（3，1） C.（4，1） D.（4，2）
【答案】B
【解析】解：如圖，建立直角坐標系，
該圓弧所在圓的圓心是弦BC，弦AB垂直平分線的交點O′，坐標是（3，1）．
故選：B．
8.如圖，圓O的半徑是4，BC是弦，∠B＝30°且A是弧BC的中點，則弦AB的長為（　　）
A. B. C.4 D.6
【答案】C
【解析】解：如圖，連接OA，OB，OC，
∵∠B＝30°，
∴∠AOC＝2∠B＝60°，
∵A是弧BC的中點，
∴＝，
∴∠AOB＝∠AOC＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等邊三角形，
∴AB＝OA＝4．
故選：C．
9.已知：如圖，△ABC．
求證：在△ABC中，如果它含直角，那么它只能有一個直角．
下面寫出運用反證法證明這個命題的四個步驟：
①∴∠A+∠B+，這與“三角形內角和等于180°”相矛盾．
②因此，三角形有兩個（或三個）直角的假設不成立．
∴如果三角形含直角，那么它只能有一個直角．
③假設△ABC中有兩個（或三個）直角，不妨設∠A＝∠B＝90°．
④∵∠A+∠B＝180°，
這四個步驟正確的順序應是（　　）
A.④③①② B.③④②① C.①②③④ D.③④①②
【答案】D
【解析】解：運用反證法證明這個命題的四個步驟：1、假設△ABC中有兩個（或三個）直角，不妨設∠A＝∠B＝90°．
2、∵∠A+∠B＝180°，
3、∴∠A+∠B+，這與“三角形內角和等于180°”相矛盾．
4、因此，三角形有兩個（或三個）直角的假設不成立．
∴如果三角形含直角，那么它只能有一個直角．
故選：D．
10.如圖，點I為等邊△ABC的內心，連接AI并延長交△ABC的外接圓于點D，已知外接圓的半徑為2，則線段DB的長為（　　）
A.2 B.3 C.4 D.
【答案】A
【解析】解：如圖，連接BI，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠C＝60°，
∴∠D＝∠C＝60°，
∵點I為等邊△ABC的內心，
∴∠IAB＝∠BAC＝30°，∠IBA＝∠ABC＝30°，
∴∠ABD＝180°﹣∠D﹣∠IAB＝90°，∠DIB＝∠IAB+∠IBA＝60°，
∴AD是△ABC外接圓的直徑，
∵∠DBI＝180°﹣∠D﹣∠DIB＝60°，
∴△DBI是等邊三角形，
∴DI＝BI，
∵∠IAB＝∠IBA，
∴AI＝BI，
∴DI＝AI＝AD＝2，
∴BD＝DI＝2，
∴線段DB的長為2，
故選：A．
11.如圖，已知CD為⊙O的直徑，CD⊥AB于點F，AE⊥BC于點E．若AE過圓心O，OA＝1．則四邊形BEOF的面積為（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：如圖，連接AC.
∵CD為直徑，CD⊥AB，A，O，E共線且AE⊥BC于E.
∴直線CD垂直平分線段AB，直線AE垂直平分線段BC
∴AC=BC=AB
∴△ABC為等邊三角形
∵AC=AB=BC，且AE⊥BC，
∴∠BAE=∠30°（三線合一）
∵AO＝1，
∴OF＝AO＝，
由勾股定理，得AF＝OF＝，
同理CE＝，OE＝，
∵CD⊥AB，AE⊥BC，CD、AE過O，
由垂徑定理得：BF＝AF＝，BE＝CE＝，
∴四邊形BEOF的面積S＝S△BFO+S△BEO＝××+××＝．
故選：B．
12.如圖，直線AB與x軸、y軸分別相交于A（3，0）、B兩點，∠BAO＝30°，圓心P的坐標為（﹣1，0），⊙P與y軸相切于原點O，若將⊙P沿x軸向右移動，當⊙P與該直線相交時，橫坐標為整數的點P的個數是（　　）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
【解析】解：如圖，當圓與直線AB相切時，切點是D和E，
連接P′D，P′′E，
∴P′D⊥AB，P′′E⊥AB，
∵∠BAO＝30°，
∴AP′＝2P′D＝2，
同理：AP′′＝2，
∴P′的橫坐標是3﹣2＝1，P′′的橫坐標是3+2＝5，
∴P的橫坐標的范圍是大于1且小于5，
∴橫坐標為整數的點P的坐標是（2，0），（3，0），（4，0），共有3個．
故選：B．
二、填空題
13.已知，如圖等邊△ABC中，AD是BC邊上的高，以點A為圓心，AD為半徑畫弧，交AB，AC于點E，F．若BC＝10，則的長為 　 　．
【答案】
【解析】解：∵△ABC為等邊三角形，AD是BC邊上的高，BC＝10，
∴BD＝5，AB＝10，
∴AD＝＝5，
∴的長為＝．
故答案為：．
14.如圖，有一個直徑為4的圓形鐵皮，要從中剪出一個最大的圓心角為90°的扇形ABC；則圖中陰影部分的面積是 　 　．
【答案】2π
【解析】解：如圖，連接BC，
∵∠BAC＝90°，
∴BC為⊙O的直徑，即BC＝4，
又∵AB＝AC，
∴AB＝BC＝2．
∴S陰影部分＝S⊙O﹣S扇形ABC＝π×22﹣＝2π．
故答案為：2π．
15.如圖，AB，CD是⊙O的兩條弦，若AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分別為E，F，OE與OF的關系是　 　（“相等”或“不等”）．
【答案】相等
【解析】解：∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE＝EB，CF＝DF，
∵AB＝CD，
∴AE＝CF，
∵OA＝OC，∠AEO＝∠CFO，AE＝CF，
∴Rt△AEO≌Rt△CFO（HL），
∴OE＝OF．
故答案為：相等．
16.已知：⊙O的直徑CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為E，OE：OD＝3：5，則AC的長為 　 　．
【答案】4或2
【解析】連接OA，
∵OE：OD＝3：5，
設OD＝5x，OE＝3x，
則OD＝OC＝5x，
∵CD＝10，
∴OE＝3，OA＝OC＝5，
∵AB⊥CD，
∴AM＝BM＝AB，
在Rt△OAM中，OA＝5，AE＝＝＝4，
當如圖1時，CE＝OC+OE＝5+3＝8，
在Rt△ACE中，AC＝＝＝4；
當如圖2時，CE＝OC﹣OE＝5﹣3＝2，
在Rt△ACE中，AC＝＝＝2．
綜上所述，AC的長為4或2．
17.如圖，點M坐標為（0，1），點A坐標為（1，0），以點M為圓心，MA為半徑作⊙M，與x軸的另一個交點為B，點C是⊙M上的一個動點，連接BC，AC，點D是AC的中點，連接OD，則線段OD的最大值為 　 　．
【答案】
【解析】解：∵OM⊥AB，點A坐標為（1，0），
∴OA＝OB＝1，
∵點D是AC的中點，
∴AD＝CD，
∴OD∥BC，OD＝BC，
∴當BC是⊙M的直徑時，線段OD取得最大值，如圖，
∵點M坐標為（0，1），
∴OM＝1，
在Rt△OBM中，BM＝，
∴BC＝2BM＝2，
∴OD＝＝，
即線段OD的最大值為．
故答案為：．
三、解答題
18.如圖，AB，CD是⊙O的兩條弦.
（1）如果AB=CD，那么 ， .
（2）如果=，那么 ， .
（3）如果∠AOB=∠COD，那么 ， .
（4）如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分別為E，F，OE和OF相等嗎？為什么？
【答案】解：（1）如果AB=CD，那么=，∠AOB=∠COD；
（2）如果=，那么∠AOB=∠COD；AB=CD；
（3）如果∠AOB=∠COD，那么=，AB=CD；
（4）OE與OF相等．理由如下：
∵OE⊥AB于點E，OF⊥CD于點F，
∴AE=BE，CF=DF，
而AB=CD，
∴AE=CF，
∵OE=，OF=，
∵OA=OC
∴OE=OF．
故答案為： =，∠AOB=∠COD；∠AOB=∠COD，AB=CD； =，AB=CD．
【解析】
19.如圖，在⊙O中，B，C是的三等分點，弦AC，BD相交于點E．
（1）求證：AC＝BD；
（2）連接CD，若∠BDC＝25°，求∠BEC的度數．
【答案】（1）證明：∵B，C是的三等分點，
∴，
∴，
∴，
∴AC＝BD；
（2）解：如圖，連接CD，AD，
∵∠BDC＝25°，，
∴∠CAD＝∠BDA＝∠BDC＝25°，
∵∠AED+∠CAD+∠BDA＝180°，
∴∠AED＝180°﹣∠CAD﹣∠BDA＝130°，
∴∠BEC＝∠AED＝130°．
【解析】
20.在矩形ABCD中，AB＝6 cm，AD＝8 cm．
（1）若以A為圓心，6 cm長為半徑作⊙A（畫圖），則B、C、D與圓的位置關系是什么？
（2）若作⊙A，使B、C、D三點至少有一個點在⊙A內，至少有一點在⊙A外，則⊙A的半徑r的取值范圍是 　 　．
【答案】解：（1）如圖，連接AC，
∵AB＝6 cm，AD＝8 cm，
∴AC＝10 cm，
∵⊙A的半徑為6 cm長，
∴點B在⊙A上，點C在⊙A外，點D在⊙A外；
（2）∵以點A為圓心作⊙A，使B，C，D三點中至少有一個點在圓內，且至少有一點在圓外，
∴⊙A的半徑r的取值范圍是6 cm＜r＜10 cm．
故答案為：6 cm＜r＜10 cm．
【解析】
21.如圖，四邊形ABCD的四個頂點都在⊙O上，DB平分∠ADC，連接OC，且OC⊥BD．
（1）求證：AB＝CD；
（2）若CD＝5，BD＝8，求⊙O的半徑．
【答案】（1）證明：∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴，
∵OC⊥BD，
∴，
∴，
∴AB＝CD；
（2）解：連接OB，OC與BD交于E，
∵OC⊥BD，
∴BE＝DE＝×8＝4，
∴CE＝＝＝3，
設⊙O半徑為r，
∴OE＝r﹣3，
∵OB2＝OE2+BE2，
∴r2＝42+（r﹣3）2，
∴r＝，
∴⊙O的半徑是．
【解析】
22.如圖所示，AB為⊙O的直徑，AC是⊙O的一條弦，D為的中點，作DE⊥AC于點E，交AB的延長線于點F，連接DA．
（1）若AB＝90cm，則圓心O到EF的距離是多少？說明你的理由．
（2）若，求陰影部分的面積（結果保留π）．
【答案】解：（1）如圖所示，連接OD，
∵D為的中點，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥EF，
∴OD的長是圓心O到EF的距離，
∵AB＝90cm，
∴．
（2）如圖所示，過點O作OG⊥AD交AD于點G．
∵DA＝DF，
∴∠F＝∠BAD，
由（1）得∠CAD＝∠BAD，
∴∠F＝∠CAD，
∵∠F+∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠F＝∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠BOD＝2∠BAD＝60°，OF＝2OD，
∵在Rt△ODF中，OF2﹣OD2＝DF2，
∴，解得OD＝6，
在Rt△OAG中，OA＝OD＝6，∠OAG＝30°，，
∴，
∴．
【解析】

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