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第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
情 境 導 入
21.1 一元二次方程
請同學們仔細觀察下面圖片，并列出方程.
要設(shè)計一座2m高的人體雕像（如左下圖所示），要求雕像的上部（腰以上）與下部（腰以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，雕像的下部應設(shè)計為多高？
A
B
C
2m
設(shè)雕像下部高x m，依題意得方程
x2=2(2-x)
整理，得
x2+2x-4=0
新 課 探 究
21.1 一元二次方程
問題1：有一塊矩形鐵皮,長100cm,寬50cm,在它的四角各切去一個正方形,然后將四周突出部分折起,就能制作一個無蓋方盒,如果要制作的方盒的底面積為3600平方厘米,那么鐵皮各角應切去多大的正方形
100cm
50cm
3600cm2
解：設(shè)切去的正方形的邊長為xcm,則盒底的長為(100-2x)cm ,寬為 (50-2x)cm.
根據(jù)題意得，
整理，得
（100-2x）（50-2x）=3600
x2-75x+350=0
任務一 一元二次方程的概念
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新課探究
情境導入
課堂小結(jié)
問題2： 要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場.根據(jù)場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應邀請多少個隊參賽？
解：設(shè)應邀請x個隊參賽，每個隊要與其他(x-1)個隊各比賽一場，因為甲對乙與乙對甲是同一場比賽，所以全部比賽
x（x-1）場。
整理，得 x2-x-56=0
可列方程
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情境導入
課堂小結(jié)
觀察下列方程，你能通過觀察得到它們的共同特點嗎？
共同特點：（1）等號兩邊都是整式.
（2）只含一個未知數(shù);
（3）未知數(shù)的最高次數(shù)是2.
(1) x2+2x-4=0 (2)x2-75x+350=0 (3)x2-x-56=0
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課堂小結(jié)
像上述方程這樣，等號兩邊都是整式, 只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程，叫作一元二次方程（必須滿足三個特征）.
ax2+bx +c = 0(a , b , c為常數(shù), a≠0)
ax2 稱為二次項, a 稱為二次項系數(shù).
bx 稱為一次項, b 稱為一次項系數(shù).
c 稱為常數(shù)項.
一元二次方程的概念
一元二次方程的一般形式是
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情境導入
課堂小結(jié)
例1 下列選項中，關(guān)于x的一元二次方程的是（ ）
C
判斷一個方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再進一步化簡整理后再作判斷.
提示
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課堂小結(jié)
例2 將方程3x(x-1)=5(x+2)化為一般形式，并分別指出它們的二次項、一次項和常數(shù)項及它們的系數(shù).
解：
去括號，得
3x2-3x=5x+10
移項、合并同類項，得一元二次方程的一般形式
3x2-8x-10=0
其中二次項是3x2,系數(shù)是3；一次項是-8x,系數(shù)是-8；常數(shù)項是-10.
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課堂小結(jié)
(2) 2x2-5xy＋6y=0
(5) x2＋2x- 3=1+x2
(1) 7x2-6x=0
解：(1)、(4)是一元二次方程
(1)二次項系數(shù)為7，一次項系數(shù)為-6，常數(shù)項為0.
(4)二次項系數(shù)為，一次項系數(shù)為0，常數(shù)項為0.
(3) 2x2 - -1 =0
－
1
3x
(4) =0
－
y2
2
下列方程哪些是一元二次方程 如果是，請寫出其中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.
練一練
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任務二 一元二次方程的根
使一元二次方程等號兩邊相等的未知數(shù)的值叫作一元二次方程的解（又叫作根）.
練一練：下面哪些數(shù)是方程 x2 – x – 6 = 0 的解
-4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4
【解析】
3和-2.
你注意到了嗎？一元二次方程可能不止一個根.
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知識點
三角形的三邊關(guān)系
1. 填空：
方程 一般形式 二次項系數(shù) 一次項系數(shù) 常數(shù)項
-2
1
3
1
3
-5
4
0
-5
3
-2
練習
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情境導入
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三角形的三邊關(guān)系
2.關(guān)于x的方程 是一元二次方程，則（ ）
A.a ≠±3 B.a=3 C.a=-3 D.a=±3
【解析】由題意，得 且a-3≠0，
解得a=-3.
C
3. 已知方程5x +mx-6=0的一個根為4，則ｍ的值為_______．
練習
課 堂 小 結(jié)
通過本節(jié)課的學習
1.你掌握了哪些知識？
2.你運用了哪些數(shù)學思想？
3.你總結(jié)了哪些學習經(jīng)驗？
4.還有什么感悟和思考？
21.1 一元二次方程
情境導入
課堂小結(jié)
新課探究
一元二次方程
概念
是整式方程；
含一個未知數(shù)；
最高次數(shù)是2.
一般形式
ax2+bx+c=0 (a ≠0) ，其中(a≠0)是一元二次方程的必要條件；
根
使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.
1．下列方程是一元二次方程的是( )
A．x2－3x＝x2＋2
B．a(chǎn)x2＋bx＋c＝0
C．3x2－＋2＝0
D．2x2＝1
D
課后練習
2．將一元二次方程x(x＋4)＝8x＋12化為一般形式，正確的是( )
A．x2＋4x＋12＝0　 B．x2＋4x－12＝0
C．x2－4x－12＝0　 D．x2－4x＋12＝0
C
3．(人教9上P4)將關(guān)于x的一元二次方程5x2－1＝4x化成一般形式后，二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項的值分別是( )
A．5，4，1　 B．5，4，－1
C．5，－4，1　 D．5，－4，－1
D
4．(人教9上P4)下列哪些數(shù)是一元二次方程x2＋x－12＝0的根？為什么？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4
解：當x＝－4時，有x2＋x－12＝(－4)2＋(－4)－12＝0；
當x＝3時，有x2＋x－12＝32＋3－12＝0．
故方程x2＋x－12＝0的根為－4或3．

5．(2024深圳模擬)已知x＝1是關(guān)于x的一元二次方程x2＋kx－6＝0的一個根，則k的值為　 　．
　5　
6．填空：
(1)關(guān)于x的方程(k－1)x2－3x＋2＝0是一元二次方程，則k的取值范圍是　 　；
(2)要使xk＋1＋x＋2＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則k＝
　 　．
　1　
　k≠1　
小結(jié)：一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c=0（a≠0），等式的右邊為0，等式的左邊的各項系數(shù)都帶符號.
7．(人教9上P3、北師9上P32改編)把方程3x(x－1)＝5(x＋2)化為一般形式，得　 　；其中二次項系數(shù)是　 　，一次項是　 　，常數(shù)項是　 　．
　－10　
　－8x　
　3　
　3x2 －8x－10＝0　
方程 一般形式 a b c
3x2－5x＝1
(x＋2)(x－1)＝6
1
3
－8
－1
－5
1
x2＋x－8＝0
3x2－5x－1＝0
8．(人教9上P4改編、北師9上P32)把下列方程化為一元二次方程的一般形式，并寫出它們的二次項系數(shù)a、一次項系數(shù)b和常數(shù)項c：
9．(核心教材母題：人教9上P4、北師9上P35)根據(jù)下列問題，列出關(guān)于x的方程，并將其化為一元二次方程的一般形式：一個矩形的長比寬多2，面積是100，求矩形的長x．
解：根據(jù)題意，得x(x－2)＝100，
化為一般形式，得x2－2x－100＝0．
10．(核心教材母題：人教9上P4、北師9上P35)根據(jù)下列問題列方程，并將其化為一元二次方程的一般形式：有一根1 m長的鐵絲，怎樣用它圍成一個面積為0.06 m2的矩形？
解：設(shè)圍成矩形的長為x m，則寬為(0.5－x)m，
根據(jù)題意，得x(0.5－x)＝0.06，
化為一般形式，得x2－0.5x＋0.06＝0．
小結(jié)：代入后使方程左右兩邊相等的值即為方程的根.
11．方程x2－3x－4＝0的根是( )
A．0，3　 B．1，－4
C．－1，4　 D．－2，3
C
12．(2024晉城模擬)若關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1＝2，x2＝－4，則關(guān)于y的一元二次方程a(y＋1)2＋b(y＋1)＋c＝0的解是( )
A．y1＝2，y2＝－4　 B．y1＝－1，y2＝－5
C．y1＝3，y2＝－3　 D．y1＝1，y2＝－5
D
小結(jié)：（1）先將根代回到方程中，得到一個關(guān)于所求字母的方程，再求解這個方程即可；（2）不宜直接求字母的值時，注意用整體代入法.
13．(1)(人教9上P4改編)(2024瀘州一模)已知x＝1是方程x2－3x＋c＝0的一個根，則實數(shù)c的值是　 　；
(2)(2024宿遷一模)若x＝3是關(guān)于x的方程ax2－bx＝6的解，則2 024－6a＋2b的值為　 　．
　2 020 　
　2　
★14． 0.45 已知m為方程x2＋3x－10＝0的根，求m3＋2m2－13m＋10的值．
解：∵m為方程x2＋3x－10＝0的根，
∴m2＋3m－10＝0，∴m2＋3m＝10，
∴原式＝m3＋3m2－m2－3m－10m＋10
＝m(m2＋3m)－(m2＋3m)－10m＋10
＝10m－10－10m＋10＝0．
THANK YOU

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