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第1課時 直接開平方法
21.2 解一元二次方程
第二十一章 一元二次方程
情 境 導 入
第1課時 直接開平方法
復習回顧
1.16的平方根是______.
2.x2=25，x=_______.
3.判斷：任何數都有平方根. ___.
4.一個正數有______個平方根.
5.a2+2ab+b2=_________；
a2–2ab+b2=_________.
±4
±5
×
非負數有平方根
2
(a+b)2
(a-b)2
新 課 探 究
問題：一桶油漆可刷的面積為1500dm2，李林用這桶油漆恰好刷完10個同樣的正方體形狀的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱長嗎？
解：設正方體的棱長為xdm，則一個正方體的表面積為6x2dm2，可列出方程
由此可得
x2=25
開平方得
即x1=5，x2=－5.
因棱長不能是負值，所以正方體的棱長為5dm．
10×6x2=1500，
第1課時 直接開平方法
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新課探究
情境導入
課堂小結
解:(1)根據平方根的意義，得x1=3, x2=-3.
(2)根據平方根的意義，得x1=x2=0.
(3)根據平方根的意義，得x2=-4,
因為負數沒有平方根，所以原方程無解.
解下列方程，并說明你所用的方法，與同伴交流.
(1)x2=9 (2)x2=0 (3)x2+4=0
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情境導入
課堂小結
一般的，對于可化為方程x2=p, (I)
(1)當p>0時，根據平方根的意義，方程(I)有兩個不等的實數根；
(2)當p=0時，方程(I)有兩個相等的實數根；
(3)當p<0時,因為任何實數x，都有x2≥0 ，所以方程(I)無實數根.
【定義】利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的根的方法叫直接開平方法.
總結歸納
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課堂小結
典例精析
例1 利用直接開平方法解下列方程
(1) x2=6；
(2) x2－121=0.
解：
（1） x2=6，
直接開平方，得
（2）移項，得
x2=121.
直接開平方，得
x=±11，
∴x1=11, x2=－11.
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新課探究
情境導入
課堂小結
對照上面解方程的過程，你認為應怎樣解方程(x+3)2=5？
探究
在解方程x2=25時得x=±5.
由此想到：由方程(x+3)2=5 ②
得
即 ③
于是方程(x+3)2=5的兩個根為
上面的解法中，由方程②得到③，實質上是把一個一元二次方程“降次”，轉化為兩個一元一次方程，這樣就把方程②轉化為我們會解的方程了.
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情境導入
課堂小結
典例精析
例2 用直接開平方法解下列方程：
(1)2x2-50=0 (2)(x+1)2=4
解：(1)2x2=50
x2=25
x=±5
x1=5，x2=-5.
(2)(x+1)2=2
x+1=±2
x1=1,x2=-3.
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新課探究
情境導入
課堂小結
練一練
1.一元二次方程(x+6)2=16可轉化為兩個一元一次方程，其中一 個一元一次方程是x+6=4，則另一個一元一次方程（ ）
A. x-6=-4 B. x-6=4 C. x+6=4 D. x+6=-4
2.方程3x2+9=0的根為（ ）
A. 3 B. －3 C. ±3 D. 無實數根
3.若8x2-16=0，則x的值是 .
D
D

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情境導入
課堂小結
4. 解下列方程：
(1)x2-144＝0； (2)2x2＝200；
(3)(x＋1)2=4 .
解：x1＝12, x2＝－12；
解：x1＝10, x2＝－10；
解：x1＝1, x2＝－3.
課 堂 小 結
通過本節課的學習
1.你掌握了哪些知識？
2.你學會了哪些解題方法？
3.你運用了哪些數學思想？
4.你總結了哪些學習經驗？
5.還有什么感悟和思考？
第1課時 直接開平方法
情境導入
課堂小結
新課探究
直接開平方法
概念
步驟
基本思路
利用平方根的定義求方程的根的方法
關鍵要把方程化成x2=p(p≥0)或(x+n)2=p(p≥0).
一元二次方程
兩個一元一次方程
降次
直接開平方法
1．解方程：
(1)x2＝9； (2)4x2＝8．
(1)x＝±3
(2)x＝±
課后練習
2．解方程：(2x＋3)2＝25．
x1＝1，x2＝－4
小結：將方程化為x2=p（p≥0）的形式，直接開平方.
4．【例1】(人教9上P5)解方程：
(1)x2＝25； (2)x2－7＝0．
解：(1)x2＝25，所以x1＝5，x2＝－5．
(2)x2＝7，所以x1＝，x2＝－．
5．解方程：
(1)x2＝36； (2)x2－8＝0．
(2)x＝±2
(1)x＝±6
小結：通過移項、系數化為1，化為x2=p（p≥0）的形式求解.
6．【例2】(人教9上P6)解方程：
(1)9x2＝4； (2)(2024柳州一模)2x2－8＝0．
解：(1)x2＝，所以x1＝，x2＝－．
(2)2x2＝8，x2＝4，所以x1＝2，x2＝－2．
小結：（1）中化為（mx+n）2=p（p≥0）的形式；（2）中這類等號兩邊均為含平方的多項式的形式，直接開平方后，不要隨意去括號.
7．【例4】解方程：
(1)(2x－3)2－9＝0； (2)(2x－1)2＝(x－3)2．
解：(1)(2x－3)2＝9，所以2x－3＝±3，
所以x1＝3，x2＝0．
(2)2x－1＝±(x－3)，所以x1＝－2，x2＝．
小結：將方程化為（x+n）2=p（p≥0）的形式，直接開平方.
8．(人教9上P6、北師9上P36改編)解方程：
(1)(x－2)2＝4； (2)(x＋6)2－9＝0．
解：(1)(x－2)2＝4，所以x－2＝±2，
所以x1＝4，x2＝0．
(2)(x＋6)2＝9，所以x＋6＝±3，
所以x1＝－3，x2＝－9．
9．解方程：
(1)4x2－20＝0； (2)x2－18＝0．
(2)x＝±6
(1)x＝±
10．(人教9上P6)解方程：
(1)(2－x)2＝8； (2)3(x－1)2－6＝0．
(1)x1＝2－2 ，x2＝2＋2
(2)x1＝1＋，x2＝1－
11．解方程：
(1)2(2x－1)2－50＝0；(2)(2x＋3)2＝(3x＋2)2．
解：(1)2(2x－1)2＝50，(2x－1)2＝25，
2x－1＝5或2x－1＝－5，
解得x1＝3，x2＝－2．
(2)開方得2x＋3＝3x＋2或2x＋3＝－3x－2，解得x1＝1，x2＝－1．
★12． 0.50 (2024杭州一模改編)已知一元二次方程(x－2)2＝3的兩根為a，b，則2a＋b的值為
　 　．
6＋或6－
THANK YOU

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