資源簡介

第2課時 配方法
第二十一章 一元二次方程
情 境 導 入
第2課時 配方法
a2+2ab+b2=_________；
a2-2ab+b2=_________.
完全平方公式：
(a-b)2
填上適當的數或式,使下列各等式成立.
(1)x2+6x+___=(x+3)2
(2)x2+8x+___=(x+4)2
(3)x2-4x+___=(x____)2

32
42
22
-2
(a+b)2
復習回顧
新 課 探 究
第2課時 配方法

怎樣解方程 x2+6x+4=0 ?
【思考】能否將方程x2+6x+4=0轉化為可以用直接開平方法(降次)的形式再求解呢？
x2+6x+4=0
x2+6x=-4
移項
x2+6x+9=-4+9
兩邊都加上9（即 ）
(x+3)2=5
為什么在方程x2+6x=-4的兩邊加9？加其他數行嗎？
左邊寫成完全平方形式
利用直接開平方法（降次）即可求解
探究
注意：二次項系數為1的前提下，在方程兩邊都加上一次項系數一半的平方.
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課堂小結
可以驗證， 是方程x2+6x+4=0的兩個根.
(x+3)2=5
降次
解一次方程
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像上面這樣通過配成完全平方式來解一元二次方程，叫作配方法.
配方法的定義
配方法解方程的基本思路
把方程化為（x+n)2=p的形式，將一元二次方程降次，轉化為一元一次方程求解．
歸納
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例1 解下列一元二次方程:
（1）x2-8x+1=0 （2）2x2+1=3x （3）3x2-6x+4=0
典例精析
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（2）移項，得:
系數化為1，得:
2x2﹣3x=﹣1
配方，得:
由此可得:
解：（1）移項，得:
配方，得:
x2﹣8x=﹣1
x2﹣8x+42=﹣1+42
（x﹣4)2=15
整理，得:
由此可得:
±????????
?
∴ x1=4+ ???????? ，x2=4- ????????.
?
x﹣4=
（1）x2-8x+1=0 （2）2x2+1=3x
即
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解：移項，得:
系數化為1，得:
配方，得:
整理，得:
（3）3x2-6x+4=0
因為實數的平方不會是負數，所以x取任何實數時，(x﹣1)2都是非負數，上式都不成立，即原方程無實數根.
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移項時需注意改變符號.
①移項，二次項系數化為1；
②左邊配成完全平方式；
③左邊寫成完全平方形式；
④降次；
⑤解一次方程.
思考1：用配方法解一元二次方程時，移項時要注意些什么？
思考2：用配方法解一元二次方程的一般步驟.
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①當p>0時,則 ,方程的兩個根為
②當p=0時,則(x+n)2=0,x+n=0,開平方得方程的兩個根為 x1=x2=-n.
③當p<0時,則方程(x+n)2=p無實數根.
一般地，如果一個一元二次方程通過配方轉化成(x+n)2=p.
總結歸納
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1.填空
（1）x2+4x+ =(x+ )2
（2）x2-8x+ =(x- )2
（3）x2+x+ =(x+ )2
練習
4 2
16 4
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2.用配方法解下列方程，其中應在方程左右兩邊同時加上4的是(　　)
A.x2＋4x＝5 B.2x2－4x＝5
C.x2－2x＝5 D.x2＋2x＝5
3.用配方法解方程x2＋8x＋9＝0，變形后的結果正確的是(　　)
A.(x＋4)2＝－9 B.(x＋4)2＝－7
C.(x＋4)2＝25 D.(x＋4)2＝7
A
D
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4.解下列方程：
(1)x2+10x+9=0 (2)x2+4x-9=2x-11
(x+5)2=16
解(1)x2+10x=-9
x2+10x+52=-9+52
x+5=±4
x1=-1，x2=-9
(2)x2+2x+2=0
x2+2x=-2
x2+2x+12=-2+12
(x+1)2=-1
因為(x+1)2 ≥0，而–1＜0，即方程無實數根.
課 堂 小 結
第2課時 配方法
通過本節課的學習
1.你掌握了哪些知識？
2.你學會了哪些解題方法？
3.你運用了哪些數學思想？
4.你總結了哪些學習經驗？
5.還有什么感悟和思考？
情境導入
課堂小結
新課探究
定義
通過配成完全平方形式解一元二次方程的方法.
步驟
一移常數項；
二配方[配上（一次項系數????）2 ]；
三寫成（x+n)2=p(p ≥0);
四直接開平方法解方程.
?
應用
求代數式的最值或證明
配方法
注意：在使用配方法解方程之前先把方程化為x2+px+q=0的形式.
1．(人教9上P9改編、北師9上P36改編)填空：
(1)x2－2x＋1＝(x－　 　)2；?
(2)x2＋6x＋　 　＝(x＋　 　)2；?
(3)x2－x＋ 　＝(x－ 　)2．?
? 　
? 　
　3　
　9　
　1　
14
?
12
?
課后練習
2．用配方法解方程：
(1)(2023無錫)x2－2x－4＝0；
x＝1±5
?
(2)(人教9上P6)x2＋6x＋4＝0；
x＝－3±5
?
(3)x2－x－1＝0．
x＝1±52
?
小結：配方法的關鍵是化成（mx+n）2=p的形式.
3．(2024深圳模擬)用配方法解方程x2＋2x＝3時，配方后正確的是( )
A．(x＋2)2＝7 B．(x＋2)2＝5
C．(x＋1)2＝4 D．(x＋1)2＝2
C
4．(2024新疆)用配方法解一元二次方程x2－6x＋8＝0，配方后得到的方程是( )
A．(x＋6)2＝28 B．(x－6)2＝28
C．(x＋3)2＝1 D．(x－3)2＝1
D
5．【例3】(人教9上P9、北師9上P37改編)用配方法解一元二次方程：
(1)x2＋10x＋9＝0； (2)x(x＋8)＝16．
解：(1)x2＋10x＋25＝－9＋25，
所以(x＋5)2＝16，
x＋5＝±4，所以x1＝－1，x2＝－9．
(2)x2＋8x＝16，x2＋8x＋16＝16＋16，
所以(x＋4)2＝32，x＋4＝±4 2，
所以x1＝4 2－4，x2＝－4 2－4．
?
6．【例4】(人教9上P9改編、北師9上P38)用配方法解一元二次方程：
(1)2x2＋4x－10＝0； (2)3x2＋8x－3＝0．
解：(1)x2＋2x－5＝0，x2＋2x＋1＝5＋1，
所以(x＋1)2＝6，x＋1＝±6，
所以x1＝6－1，x2＝－6－1．
(2)x2＋83x＝1，x2＋83x＋169＝1＋169，
所以x＋432＝259，x＋43＝±53，
所以x1＝13，x2＝－3．
?
8．將一元二次方程x2－10x＋10＝0化成(x－a)2＝b的形式，則ab＝　 　．
　75 　
9．用配方法解一元二次方程：
(1)x2－2x－2＝0； (2)(x－1)(x－2)＝8．
(1)x1＝1＋3，x2＝1－3
(2)x1＝3＋332，x2＝3－332
?
10．(人教9上P9、北師9上P39改編)用配方法解一元二次方程：
(1)3x2＋6x－4＝0； (2)4x2－6x－3＝0．
(1)x1＝－1＋213，x2＝－1－213
(2)x1＝3＋214，x2＝3－214
?
★11． 0.45 已知a，b，c滿足a2－2c＝－17，
b2－6a＝－1，c2＋2b＝7，則a＋b＋c＝　 　．?
　3　
THANK YOU

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