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第4課時 用公式法解一元二次方程
第二十一章 一元二次方程
情 境 導 入
第4課時
用公式法解一元二次方程
用配方法解下列方程：2x2+4x+1=0.
解：移項，得 2x2+4x=-1
二次項系數化為1，得 x2+2x=-
配方，得 x2+2x+1=- +1
即 (x+1)2=
開方，得 x+1= ,x+1=-
∴x1= -1,x2=- -1.
復習回顧
新 課 探 究
探究
用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
方程兩邊都除以a，得
移項，得
配方，得
即
問題：接下來能用直接開平方解嗎？
第4課時
用公式法解一元二次方程
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情境導入
課堂小結
即
一元二次方程的求根公式
∵a ≠0,4a2>0，
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∵a ≠0,4a2>0，
而x取任何實數都不能使上式成立.
因此，方程無實數根.
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的形式，這個式子叫作一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.
直接利用求根公式解一元二次方程的方法叫作公式法.
當Δ≥0時,方程ax2+bx+c=0（a≠0)的實數根可寫為
歸納
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解：a=1，b=-4，c=-7
Δ= b2－4ac=(-4)2-4×1×(-7)
=44>0
典例精析
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知
(3)5x2-3x=x+1； (4)x2+17=8x.
解：方程化為5x2-4x-1=0
a=5，b=-4，c=-1
Δ= b2－4ac=(-4)2-4×5×(-1)
=36>0
解：方程化為x2-8x+17=0
a=1，b=-8，c=17
Δ= b2－4ac
=(-8)2-4×1×17
=-4＜0
方程無實數根
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總結歸納
1.變形: 化已知方程為一般形式;
2.確定系數:用a,b,c寫出各項系數;
3.計算: △=b2-4ac的值;
4.判斷：若△=b2-4ac ≥0，則利用求根公式求出;
若△=b2-4ac<0，則方程沒有實數根.
公式法解方程的步驟
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練習
1.利用公式法解下列一元二次方程
(1)x2-3x-1=0
(2)2x2+x-6=0
(3)x2+4=3x
(4)5x2-3x=x+1
(5)x2-6x+13=4
原方程無實根
x1=x2=3
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2.在等腰△ABC 中，三邊分別為a,b,c，其中a=5，若關于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有兩個相等的實數根，求△ABC的周長.
解：關于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有兩個相等的實數根，
∴Δ=b2－4ac=(b-2)2-4(6-b)=b2+8b-20=0.
∴b=-10或b=2.
將b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4；
將b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（舍去）；
∴△ABC 的三邊長為4，4，5，其周長為4+4+5=13.
課 堂 小 結
通過本節課的學習
1.你掌握了哪些知識？
2.你學會了哪些解題方法？
3.你運用了哪些數學思想？
4.你總結了哪些學習經驗？
5.還有什么感悟和思考？
第4課時
用公式法解一元二次方程
情境導入
課堂小結
新課探究
公式法
求根公式
步驟
一化（一般形式）；
二定（系數值）；
三求（ Δ值）；
四判（方程根的情況）；
五代（求根公式計算）.
1．用公式法解下列一元二次方程：
(1)x2－x－2＝0．
解：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　．
b2－4ac＝　 　＝　 　＞0．
x＝＝ 　＝ 　，
即x1＝　 　，x2＝　 　．
　－1　
　2　
　
　
　9　
　 (-1)2 －4×1×(－2)　
　－2　
　－1　
　1　
課后練習
(2)2x2－4x＋2＝0．
解：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　．
b2－4ac＝　 　＝　 　．
x＝＝ 　，
即x1＝x2＝　 　．
　1　

　0　
　(－4) 2 －4×2×2　
　2　
　－4　
　2　
2．用公式法解下列一元二次方程：
(1)(2024重慶模擬)x2－5x＋1＝0；
解：(1)a＝1，b＝－5，c＝1，
b2－4ac＝(－5)2－4×1×1＝21＞0，
x＝，
即x1＝，x2＝．
(2)x2－3x＋4＝0．
解：(2)a＝1，b＝－3，c＝4，
b2－4ac＝(－3)2－4×1×4＝2＞0，
x＝，
即x1＝2，x2＝．
小結：用公式法解方程時，先確定出a，b，c和b2-4ac的值.
3．【例1】用公式法解方程：x2＋3x＋1＝0．
解：a＝1，b＝3，c＝1，b2－4ac＝5＞0，
x＝，
所以x1＝，x2＝．
小結：確定各項系數a，b，c的值時，不要漏掉前面的符號.
4．【例2】(北師9上P43)(2024鞍山模擬)用公式法解方程：2x2－4x－1＝0．
解：a＝2，b＝－4，c＝－1，b2－4ac＝24＞0，
x＝，
所以x1＝，x2＝．
小結：用公式法解一元二次方程的一般步驟：（1）把方程化為一般形式，確定a，b，c的值；（2）求出b2-4ac的值；（3）若b2-4ac≥0，用求根公式求解.
5．【例3】用公式法解方程：(x－2)2＝x－3．
解：整理，得　 　．
a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　．
b2－4ac＝　 　＝　 　＜0．
故方程　 　實數根．
　無　
　－3　
　(－5)2－4×1×7　
　7　
　－5　
　1　
　x2－5x＋7＝0　
小結：注意一元二次方程的二次項系數不能為0.
6．【例4】(創新題)某數學小組對關于x的方程(m＋1)＋(m－2)x－1＝0提出了問題：若使方程為一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程．
解：存在．若使方程為一元二次方程，則m＋1≠0，即m≠－1，且m2＋2＝2，即m2＝0，m＝0，∴m＝0，當m＝0時，方程變為x2－2x－1＝0，
∵a＝1，b＝－2，c＝－1，∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×(－1)＝8＞0，
∴x＝＝1±，∴x1＝1＋，x2＝1－．
因此，該方程是一元二次方程時，m＝0，兩根為x1＝1＋，x2＝1－．
7．(人教9上P12、北師9上P56改編)用公式法解方程：x2－x－＝0．
x＝
8．(人教9上P25)用公式法解方程：2x2＋3x＝3．
x＝
9．用公式法解方程：x2－5＝2(x＋1)．
x＝1±2
★10． 若a2＋5ab－b2＝0(ab≠0)，求的值．
解：∵a2＋5ab－b2＝0，∴－1＝0，
令t＝，∴方程可化為t2＋5t－1＝0，
∴52－4×1×(－1)＝29＞0，
根據公式法得t＝，
∴的值為．
0.50
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