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第5課時 因式分解法
第二十一章 一元二次方程
情 境 導 入
第5課時 因式分解法
我們已經學過了幾種解一元二次方程的方法
x2=a (a≥0)
(x+m)2=n (n≥0)
直接開平方法
配方法
公式法
復習回顧
新 課 探 究
1.把一個多項式化成幾個整式積的形式，這種變形叫作把這個多項式__________.
2.因式分解常用的方法有____________________.
3.將下列各式分解因式：
(1) 7x2-28x (2) 2(a-3)2-a+3 (3) (y+3)2-(3y-3)2
因式分解
提公因式法、
公式法
解：(1)原式=7x(x-4)
(2)原式=2(a-3)2-(a-3)=(a-3)[2(a-3)-1]=(a-3)(2a-7)
(3)原式=[(y+3)+(3y-3)][(y+3)-(3y-3)]
=(y+3+3y-3)(y+3-3y+3)=4y(6-2y)=8y(3-y)
第5課時 因式分解法
新課探究
情境導入
課堂小結
根據物理學規律，如果把一個物體從地面以10m/s的速度豎直上拋，那么經過x s后物體離地面的高度（單位：m）為：10x-4.9x2.
問題：設物體經過x s落回地面，請說說你列出的方程.
10x-4.9x2=0
①
新課探究
情境導入
課堂小結
除配方法或公式法以外，能否找到更簡單的方法解方程①？
方程①的右邊為0，左邊可以因式分解,得
　　　 x(10-4.9x)=0.
怎么解上面這個一元二次方程呢？
如果ab=0，那么a=0，或b=0.
x=0,或10-4.9x=0 ②
所以，方程①的兩個根是 x1=0，x2=
這兩個根中，x2表示物體約在2.04s時落回地面，而x1=0表示物體被上拋離開地面的時刻，即0s時物體被拋出，此刻物體的高度是0m.
思考
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情境導入
課堂小結
這種解法是如何使二次方程降為一次的？
可以發現，上述解法中，由①到②的過程，不是用開平方降次，而是先因式分解，使方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而實現降次.這種解一元二次方程的方法叫作因式分解法．
思考
新課探究
情境導入
課堂小結
典例精析
例1 用因式分解法解下列方程：
(1)x(x-2)+x-2=0； (2)5x2-2x- =x2-2x+
解：（1）因式分解，得
于是得
x-2=0，或x＋1=0,
x1=2，x2=-1.
（2）移項、合并同類項，得
因式分解，得
(2x+1)(2x-1)=0.
于是得
2x＋1=0，或2x-1=0，
(x-2)(x＋1)=0.
4x2-1=0
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情境導入
課堂小結
例2 用適當的方法解方程：
(1) 3x(x + 5)= 5(x + 5)； (2) (5x + 1)2 = 1；
即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0.
∴ x 1= 0 , x2=
分析：該式左右兩邊可以提取公因式，
所以用因式分解法解答較快.
解：化簡 (3x -5) (x + 5) = 0.
分析：方程一邊以平方形式出現，另一邊是常數，可用直接開平方法.
解：開平方,得
5x + 1 = ±1.
典例精析
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情境導入
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總結歸納
配方法要先配方，再降次；通過配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先使方程一邊為兩個一次因式相乘，另一邊為0，再分別使各一次因式等于0. 配方法、公式法適用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程時比較簡便.
解一元二次方程的基本思路是：將二次方程化為一次方程，即降次.
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解： 因式分解，得
（1） x2+x=0
x ( x+1 ) = 0.
于是得 x = 0 或 x + 1 =0，
x1=0 , x2=－1.
解：因式分解，得
（2）x2- 2x=0
x（x-2）=0
于是得 x=0 或 x-2 =0
x1=0，x2=2
1.解下列方程：
練習
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解：將方程化為
因式分解，得
x2－2x+1 = 0.
( x－1 )( x－1 ) = 0.
于是得 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0，
x1=x2=1.
解：因式分解，得
( 2x + 11 )( 2x－11 ) = 0.
于是得 2x + 11 = 0 或 2x－ 11 = 0，
x1=-5.5 ， x2=5.5 .
（3）
（4）
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解：將方程化為
因式分解，得
6x2 － x －2 = 0.
( 3x － 2 )( 2x + 1 ) = 0.
有 3x － 2 = 0 或 2x + 1 = 0，
解：將方程化為
因式分解，得
( x －4 ) 2 － ( 5 － 2x )2=0.
( x － 4 － 5 + 2x )( x － 4 + 5 －2x ) = 0.
( 3x － 9 )( 1 － x ) = 0.
有 3x － 9 = 0 或 1 － x = 0，
x1 = 3 , x2 = 1.
x1= ， x2=-
（5）
（6）
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2.用合適的方法法解下列一元二次方程.
(1)(5x)2-9=16；
(2)x2+4x+5=2；
(3)2x2-3x-2=0；
(4)(x-2)(x-3)=12；
(1)x1=1， x2=-1.
(2)x1=-1，x2=-3.
(3)x1=2， x2=-0.5.
(4)x1=-1，x2=6.
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情境導入
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十字相乘法
拓展提升
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
兩個一次二項式相乘的積
一個二次三項式
整式的乘法
反過來，得
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
一個二次三項式
兩個一次二項式相乘的積
因式分解
如果二次三項式x2+px+q中的常數項系數q能分解成兩個因數a、b的積，而且一次項系數p又恰好是a+b，那么x2+px+q就可以用如上的方法進行因式分解.
新課探究
情境導入
課堂小結
步驟：
①豎分二次項與常數項
②交叉相乘，積相加
③檢驗確定，橫寫因式
簡記口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中.
解方程：x2+5x-6=0.
解：因式分解得
(x+6)(x-1)=0.
∴x+6=0,或x-1=0.
∴x1=-6,x2=1.
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情境導入
課堂小結
總結歸納
解法選擇基本思路：
1.一般地，當一元二次方程的一次項系數為0時(ax2+c=0)，應選用直接開平方法；
2.若常數項為0( ax2+bx=0)，應選用因式分解法；
3.若一次項系數和常數項都不為0 (ax2+bx+c=0)，先化為一般式，看左邊的整式是否容易因式分解，若容易，宜選用因式分解法，否則選用公式法；
4.當二次項系數是1，且一次項系數是偶數時，用配方法也比較簡單.
課 堂 小 結
通過本節課的學習
1.你掌握了哪些知識？
2.你學會了哪些解題方法？
3.你運用了哪些數學思想？
4.你總結了哪些學習經驗？
5.還有什么感悟和思考？
第5課時 因式分解法
情境導入
課堂小結
新課探究
平方差公式
因式分解法
通過因式分解實現降次來解一元二次方程
提公因式法
公式法
十字相乘法
完全平方公式
1．把下列各式進行因式分解：
(1)x2－2x＝　 　；
(2)(x－2)2＋3(x－2)＝　 　；
(3)x2－4＝　 　；
(4)x2－6x＋9＝　 　．
　(x－3)2　
　(x＋2)(x－2)　
　(x－2)(x＋1)　
　x(x－2)　
課后練習
2．填空與選擇：
(1)解方程：(x＋1)(x－2)＝0．
解：(x＋1)(x－2)＝0，
則有　 　＝0或　 　＝0，
x1＝　 　，x2＝　 　．
(2)方程x(x－1)＝0的解是( )
A．x＝1　 B．x＝0
C．x1＝1，x2＝0　 D．沒有實數根
C
　2　
　－1　
　x－2　
　x＋1 　
3．填空與選擇：
(1)(2024柳州一模)解方程：x2－4x＝0．
解：因式分解，得　 　＝0，
則有　 　＝0或　 　＝0，
x1＝　 　，x2＝　 　．
(2)方程x2＝－5x的適當解法是( )
A．直接開平方法 B．配方法
C．因式分解法 D．公式法
(3)(2024常州模擬)方程x(x－1)＝x的解是　 　．
　x1＝0，x2＝2　
C
　4　
　0　
　x－4　
　x　
　x(x－4)　
小結：解沒有常數項的一元二次方程，首選因式分解法.
4．【例1】(人教9上P14改編)解方程：5x2－2x＝0．
解：x(5x－2)＝0，所以x1＝0，x2＝．
5．【例2】(人教9上P14、北師9上P47改編)解方程：
(1)x(x－2)＋x－2＝0；
解：(1)(x－2)(x＋1)＝0，
所以x1＝2，x2＝－1．
(2)(x＋3)2＝3(x＋3)．
解：(2)(x＋3)(x＋3－3)＝0，即x(x＋3)＝0，
所以x1＝0，x2＝－3．
小結：公因式也可以是一個多項式，注意符號.
6．【例3】解方程：(拓展)
(1)x2＋3x－4＝0；
解：(1)(x＋4)(x－1)＝0，
所以x1＝－4，x2＝1．
(2)(北師9上P48)(x－2)(x－3)＝12．
解：(2)x2－5x＋6＝12，即x2－5x－6＝0，
(x－6)(x＋1)＝0，所以x1＝6，x2＝－1．
小結：解形如x2+（a+b）x+ab=0的一元二次方程，可將其左邊因式分解，化為（x+a）（x+b）=0的形式.
小結：方程的根和三角形邊長相結合的時候注意分類討論，并驗證是否符合題意.
7．【例4】三角形的兩邊長分別為3和6，第三邊長為方程x2－7x＋10＝0的一個根，求這個三角形的周長．
解：方程x2－7x＋10＝0，
可化為(x－2)(x－5)＝0，解得x＝2或5，
∴第三邊長為2或5．
∵邊長為2，3，6不能構成三角形，
而3，5，6能構成三角形，
∴三角形的周長為3＋5＋6＝14．
8．(北師9上P47)解方程：5x2＝4x．
x1＝0，x2＝
9．(人教9上P14改編、北師9上P47改編)解方程：
(1)(2x－3)2－2x＋3＝0；
(1)x1＝2，x2＝
(2)4(2x－1)2＝8x－4．
(2)x1＝1，x2＝
10．解方程：(拓展)
(1)(2023廣州)x2－6x＋5＝0；
(1)x1＝1，x2＝5
(2)(2x－1)2－2(2x－1)－3＝0．
(2)x1＝0，x2＝2
★11． 0.55 方程x2－mx＋m＋1＝0的一個根為x＝2．
(1)求m的值及另一根；
(2)若該方程的兩個根分別是等腰三角形的兩條邊的長，求此等腰三角形的周長．
解：(1)∵方程x2－mx＋m＋1＝0的一個根為x＝2，
∴22－2m＋m＋1＝0，∴m＝5，
∴一元二次方程為x2－5x＋6＝0，
解得x＝2或x＝3，
∴m＝5，方程的另一根為x＝3．
(2)當等腰三角形的三邊長為2，2，3時，周長為7；
當等腰三角形的三邊長為2，3，3時，周長為8．
THANK YOU

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