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第6課時 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
第二十一章 一元二次方程
情 境 導(dǎo) 入
第6課時
一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
從因式分解法可知，方程(x-x1)(x-x2)=0(x1，x2為已知數(shù))的兩根為x1和x2，將方程化為x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2與p，q之間的關(guān)系嗎？
把方程(x-x1)(x-x2)=0的左邊展開，化成一般形式，得方程：x2-(x1+x2)x+x1x2=0 ?
這個方程的二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)p=-(x1+x2)，常數(shù)項q=x1x2. ?
于是，上述方程兩個根的和、積與系數(shù)分別有如下關(guān)系：
x1+x2=-p，x1x2=q.
思考
情 境 導(dǎo) 入
算一算 解下列方程并完成填空：
(1)x2+3x-4=0; (2)x2-5x+6=0; (3)2x2+3x+1=0.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}一元二次方程
兩 根
關(guān) 系
x1
x2
x2+3x-4=0
x2-5x+6=0
2x2+3x+1=0
想一想 方程 的兩根x1和x2與系數(shù)a,b,c
有什么關(guān)系？
-4
1
2
3
-1
x1+x2=-3
x1 · x2=-4
x1+x2=5
x1 · x2=6
x1 · x2=12
?
新 課 探 究
第6課時
一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
根據(jù)求根公式可知，
由此可得
因此，方程的兩個根x1，x2和系數(shù)a，b，c有如下關(guān)系：
=?????????
?
=?????????
?
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課堂小結(jié)
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課堂小結(jié)

方程的兩個根x1，x2和系數(shù)a，b，c有如下關(guān)系：
總結(jié)歸納
注意：滿足上述關(guān)系的前提條件
b2-4ac≥0.
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課堂小結(jié)
韋達(dá),1540年出生于法國的波亞圖,他把符號系統(tǒng)引入代數(shù)學(xué)對數(shù)學(xué)的發(fā)展發(fā)揮了巨大的作用,人們?yōu)榱思o(jì)念他在代數(shù)學(xué)上的功績，稱他為“代數(shù)學(xué)之父”.
????歷史上流傳著一個有關(guān)韋達(dá)的趣事:有一次，荷蘭派到法國的一位使者告訴法國國王,比利時的數(shù)學(xué)家羅門提出了一個45次的方程向各國數(shù)學(xué)家挑戰(zhàn).國王于是把這個問題交給韋達(dá),韋達(dá)當(dāng)即得出一正數(shù)解,回去后很快又得出了另外的22個正數(shù)解(他舍棄了另外的22個負(fù)數(shù)解).消息傳開,數(shù)學(xué)界為之震驚.同時,韋達(dá)也回敬了羅門一個問題,羅門一時不得其解,冥思苦想了好多天才把它解出來.
韋達(dá)研究了方程根與系數(shù)的關(guān)系,在一元二次方程中就有一個根與系數(shù)之間關(guān)系的韋達(dá)定理.
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例4 根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程兩個根x1,x2的和與積.
(1)x2-6x-15=0 (2)3x2+7x-9=0 (3)5x-1=4x2
解： (1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15.

(3)方程化為4x2－5x＋1＝0，
　　　　　
注意：(1)不是一般式的，要化成一般式.
(2)在方程有實數(shù)根的條件下應(yīng)用，即b2-4ac≥0.
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課堂小結(jié)
例5 已知方程3x2-18x+m=0的一個根是1，求它的另一個根及m的值.
解：設(shè)方程的兩個根分別是x1、x2，其中x1=1.
所以：x1+x2=1+x2=6，
即：x2=5.
由于x1x2=1×5=
得：m=15.
答：方程的另一個根是5，m=15.
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三角形的三邊關(guān)系
1.不解方程，求下列方程兩根的和與積：
(1)x2-3x=15 (2)3x2+2=1-4x
(3)5x2-1=4x2+x (4)2x2-x+2=3x+1
?
練習(xí)
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三角形的三邊關(guān)系
練習(xí)
2.方程 x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0 的兩個實數(shù)根 x1，x2 滿足x12＋x22＝4，則k的值為________．
k＝1
解析：由x12＋x22＝x12＋2x1·x2＋x22－2x1·x2＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝4，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得到一個關(guān)于k的方程，從而求得k的值．
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三角形的三邊關(guān)系
練習(xí)
解：(1)∵一元二次方程 ，
∴無論為任何非零實數(shù)，此方程總有兩個實數(shù)根.
3．已知關(guān)于的一元二次方程 ．
(1)求證：無論為任何非零實數(shù)，此方程總有兩個實數(shù)根；
(2)若該方程的兩個實數(shù)根分別為x1、x2，且 x1-x2=2，求a的值．
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練習(xí)
3．已知關(guān)于的一元二次方程 ．
(1)求證：無論為任何非零實數(shù)，此方程總有兩個實數(shù)根；
(2)若該方程的兩個實數(shù)根分別為x1、x2，且 x1-x2=2，求a的值．
(2)依題意得， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
(3a+1)(a-1)=0，
解得 ， .
課 堂 小 結(jié)
通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)
1.你掌握了哪些知識？
2.你學(xué)會了哪些解題方法？
3.你運用了哪些數(shù)學(xué)思想？
4.你總結(jié)了哪些學(xué)習(xí)經(jīng)驗？
5.還有什么感悟和思考？
第6課時
一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
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根與系數(shù)的關(guān)系
（韋達(dá)定理）
內(nèi)容
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根分別是x1、 x2，那么
應(yīng)用
1．(1)若x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程2x2－6x－1＝0的兩個實數(shù)根，則
a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　．?
x1＋x2＝－ba＝　 　；?
x1·x2＝? 　＝　 　．?
?
?
　3　
　－1　
　－6　
　2　
－12
?
ca
?
課后練習(xí)
(3)(2024江西模擬)設(shè)x1，x2是關(guān)于x的方程x2－12x＋1＝0的兩個根，則x1＋x2－x1x2＝　 　．
(2)(2023天津)若x1，x2是方程x2－6x－7＝0的兩個根，則( )
A．x1＋x2＝6 B．x1＋x2＝－6
C．x1x2＝76 D．x1x2＝7
?
　11　
A
答：k的值為　 　，方程的另一個根為　 　．?
　－3　
1＋x2＝－k,1·x2＝　?????　,
解得k＝　????　,x2＝　?????　．
?
　2　
2．已知關(guān)于x的方程x2＋kx－3＝0，若該方程的一個根為1，求k的值及方程的另一個根．
解：設(shè)方程的另一個根為x2，則
－3
?
2
?
－3
?
3．(人教9上P15改編)如果關(guān)于x的方程x2＋px＋q＝0的兩根是x1，x2，那么
x1＋x2＝　 　，x1·x2＝　 　．?
請根據(jù)這一結(jié)論，解決下列問題：
(1)若x1，x2是方程x2－2x－3＝0的兩個實數(shù)根，則x1＋x2＝　 　，x1·x2＝　 　；?
(2)若2和3是方程x2＋px＋q＝0的兩根，則
p＝　 　，q＝　 　．?
　6　
　－5　
　－3　
　2　
　q　
小結(jié)：直接運用公式，注意符號的正確性.
　－p 　
(2)若方程x2－x－4＝0的兩個實數(shù)根為α，β，則α＋β＝
　 　，α·β＝　 　，?
(α＋1)(β＋1)＝　 　；?
(3)若3和5是方程x2＋px＋q＝0的兩根，則p＝　 　，
q＝　 　．?
　15　
　－8　
　－2　
　－4 　
　1　
4．【例2】若一元二次方程x2＋px＋q＝0的兩根為4和5，則這個方程為　 　．?
　x2－9x＋20＝0 　
5．【例3】若一元二次方程x2＋x－2＝0的解為x1，x2，則
1x1＋1x2的值是? 　．
?
小結(jié)：對所求式子變形，使其與x1+x2，x1x2有關(guān).
12
?
小結(jié)：解決這類問題有兩種方法：（1）把已知的根代入方程求出字母的值，得到一元二次方程，解這個方程；（2）設(shè)方程的另一個根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列出方程組求解.
6．(北師9上P51改編)關(guān)于x的一元二次方程2x2＋ax－4＝0的一個根是1，則a的值為　 　，該方程的另一個根為　 　．?
　－2　
　2　
7．(2024襄陽)已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋2x＋3－k＝0有兩個不相等的實數(shù)根．
(1)求k的取值范圍；
(2)若方程的兩個根為α，β，且k2＝αβ＋3k，求k的值．
解：(1)Δ＝22－4×1×(3－k)＝－8＋4k，
∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∴－8＋4k＞0，解得k＞2．
(2)∵方程的兩個根為α，β，
∴αβ＝3－k，∴k2＝3－k＋3k，
解得k1＝3，k2＝－1(不合題意，舍去)，
∴k的值為3．
小結(jié)：先求出αβ，再代入已知關(guān)系式，解方程求字母的值，特別要注意字母k的取值范圍.
8．(1)(人教9上P16、北師9上P50改編)已知關(guān)于x的一元二次方程x2－3x＝15的兩實數(shù)根為x1，x2，則x1＋x2＝( )
A．3　 B．－3 C．1　 D．－1
A
9．若某一元二次方程的兩根為－3和6，寫出一個滿足題意的方程為　 　．
　x2－3x－18＝0(答案不唯一)　
10．若方程x2－x－3＝0的兩個實數(shù)根為α，β，則α2＋β2＝
　 　．?
　7 　
??
?

11．關(guān)于x的一元二次方程3x2－2x＋m＝0有兩根，其中一根為x＝1，則m的值為　 　，這兩根的積為　 　，該方程的另一個根為　 　．?
－13
?
　－1　
－13
?
★12． 0.50 (2024瀘州一模)已知關(guān)于x的方程x2－(m＋3)x＋3m＝0．
(1)求證：無論m取任何實數(shù)，方程總有實數(shù)根；
(2)若兩根x1，x2滿足x12＋x22－x1x2＝19，求m的值．
?
(1)證明：∵Δ＝［－(m＋3)］2－4×3m
＝m2－6m＋9＝(m－3)2，
∵(m－3)2≥0，∴Δ≥0，
∴無論m取任何實數(shù)，方程總有實數(shù)根．
(2)解：∵x1＋x2＝m＋3，x1·x2＝3m，x12＋x22－x1x2＝19，∴(x1＋x2)2－3x1x2＝19，
∴(m＋3)2－3×3m＝19，
整理得m2－3m－10＝0，解得m＝5或m＝－2．
?
THANK YOU

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