資源簡介

2024-2025學年山東省淄博市淄川區七年級（上）期中數學試卷（五四學制）
一、精心選一選（本題共12小題，在每小題所給出的四個選項中，只有一個是正確的，請選出你認為唯一正確的選項，涂到答題卡上，每小題4分，計48分）．
1．（4分）下列長度的三條線段能組成直角三角形的是（　　）
A．3，4，5 B．2，3，4 C．4，6，7 D．5，11，12
2．（4分）如果一個三角形的三條高的交點恰是三角形的一個頂點，則這個三角形是（　　）
A．銳角三角形 B．鈍角三角形
C．直角三角形 D．不能確定
3．（4分）如圖，直線a∥b，c，d是截線且交于點A，若∠1＝60°，∠2＝100°，則∠A＝（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
4．（4分）如圖，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分線上一點，CP∥OB，交OA于點C，PD⊥OB，垂足為點D，且PC＝4，則PD等于（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．（4分）下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（4分）如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點D，過點D作DE∥BC交AC于點E．若∠A＝54°，∠B＝48°，則∠CDE的大小為（　　）
A．38° B．39° C．40° D．44°
7．（4分）如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米．一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行（　　）
A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
8．（4分）如圖，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分線．若在邊AB上截取BE＝BC，連接DE，則圖中等腰三角形共有（　　）
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
9．（4分）如圖，直線l，m相交于點O，P為這兩條直線外一點，且OP＝3．若點P關于直線l，m的對稱點分別是點P1，P2，則P1，P2兩點之間的距離可能是（　　）
A．2 B．5 C．6 D．7
10．（4分）如圖，等邊△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝1.5，點P、Q分別為AB、AD上的兩個定點且BP＝AQ＝2，在BD上有一動點E使PE+QE最短，則PE+QE的最小值為（　　）
A．3.5 B．4 C．5 D．6
11．（4分）如圖，小明從一張三角形紙片ABC的AC邊上選取一點N，將紙片沿著BN對折一次使得點A落在A′處后，再將紙片沿著BA′對折一次，使得點C落在BN上的C′處，已知∠CMB＝68°，∠A＝18°，則原三角形的∠C的度數為（　　）
A．87° B．84° C．75° D．72°
12．（4分）如圖，正方形ABCD的邊長為2，面積標記為S1，以CD為底邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，面積標記為S2，…，按此規律繼續作下去，則Sn的值為（　　）
A． B． C．2n﹣3 D．2n﹣2
二、細心填一填（本題共8小題，滿分32分，只要求填寫最后結果，每小題填對得4分）．
13．等腰三角形的一個內角為50°，則它的頂角的度數為 　 　 ．
14．請列舉三個最簡單的軸對稱圖形：　 　 ．
15．如圖，△ABC≌△DEF，FA＝1，AC＝3，則AD＝　 　 ．
16．如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高，CM是∠ACB的平分線，若∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，則∠MCD＝　 　 °．
17．《九章算術》是我國古代最重要的數學著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？”翻譯成數學問題是：如圖所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求AC的長，如果設AC＝x，則可列方程為 　 　 ．
18．如圖，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD．請按圖中所標注的數據，計算圖中陰影部分的面積為　 　 ．
19．如圖，已知△ABC的面積為8，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于D，則△ADC的面積是 　 　 ．
20．如圖，將一矩形紙片ABCD折疊，使兩個頂點A，C重合，折痕為FG．若AB＝4，BC＝8，則△ABF的面積為　 　 ．
三、耐心做一做，相信你能寫出正確的解答過程（共70分，注意審題要細心，書寫要規范和解答要完整）．
21．（1）畫出圖中三角形的三條高．
（2）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是中線．結合圖形，請你寫出至少6個正確的結論．
（3）利用一個點、一條線段、一個正三角形、一個正方形設計一個軸對稱圖形，并說明你希望表達的含義．
22．（1）如圖，已知△ABC≌△A1B1C1，D，D1分別是BC，B1C1上的點，且BD＝B1D1．AD與A1D1相等嗎？為什么？
（2）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，交AC于點E，DE垂直平分AB于點D．試說明：BE+DE＝AC．
（3）如圖，在△ABC中，∠BAC：∠B：∠C＝3：1：1，AD，AE將∠BAC三等分，點D，E在BC上．
①求∠ADE的度數；
②寫出圖中所有的等腰三角形．
23．一架梯子AB長25米，如圖斜靠在一面墻上，梯子底端B離墻7米．
（1）這個梯子的頂端距地面有多高？
（2）如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子底部在水平方向滑動了4米嗎？為什么？
24．在一個支架的橫桿點O處用一根繩懸掛一個小球A，小球A可以擺動，如圖，OA表示小球靜止時的位置．當小球從OA擺到OB位置時，過點B作BD⊥OA于點D，當小球擺到OC位置時，OB與OC恰好垂直，過點C作CE⊥OA于點E，測得CE＝24cm，OA＝OB＝OC＝30cm．
（1）試說明OE＝BD；
（2）求AD的長．
25．如圖，點P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動點，點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，且它們的速度都為1cm/s．
（1）連接AQ、CP交于點M，則在P、Q運動的過程中，∠CMQ變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數；
（2）請求出何時△PBQ是直角三角形？
2024-2025學年山東省淄博市淄川區七年級（上）期中數學試卷（五四學制）
參考答案與試題解析
一．選擇題（共12小題）
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C A B D B B D B C A
題號 12
答案 A
1．解：A、32+42＝52，能組成直角三角形，故此選項正確，符合題意；
B、22+32≠42，不能組成直角三角形，故此選項錯誤，不符合題意；
C、42+62≠72，不能組成直角三角形，故此選項錯誤，不符合題意；
D、52+112≠122，不能組成直角三角形，故此選項錯誤，不符合題意．
故選：A．
2．解：A、銳角三角形，三條高線交點在三角形內，故A不符合題意；
B、鈍角三角形，三條高線交于三角形的外部，故B不符合題意；
C、直角三角形的直角所在的頂點正好是三條高線的交點，故C符合題意；
D、能確定C正確，故D不符合題意．
故選：C．
3．解法一：如圖，∵∠2是△ABC的外角，
∴∠A＝∠2﹣∠1＝100°﹣60°＝40°，
故選：A．
解法二：如圖，∵a∥b，
∴∠1＝∠3＝60°，∠2＝∠4＝100°，
∴∠5＝180°﹣∠4＝80°，
∴∠A＝180°﹣∠3﹣∠5＝180°﹣60°﹣80°＝40°，
故選：A．
4．解：作PE⊥OA于E，如圖，
∵CP∥OB，
∴∠ECP＝∠AOB＝30°，
在Rt△EPC中，PEPC4＝2，
∵P是∠AOB平分線上一點，PE⊥OA，PD⊥OB，
∴PD＝PE＝2．
故選：B．
5．解：選項A中：（a+b）（a+b）ab×2c2，化簡得：a2+b2＝c2，故選項A不符合題意；
選項B中：（a+b）2ab×4+c2，化簡得：a2+b2＝c2，故選項B不符合題意；
選項C中：cab×4+（b﹣a）2，化簡得：a2+b2＝c2，故選項C不符合題意；
選項D中：（a+b）2＝ab×2+a2+b2，即（a+b）2＝a2+2ab+b2，故選項D符合題意；
故選：D．
6．解：∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD∠ACB，
∵∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣54°﹣48°＝78°，
∴∠BCD＝39°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD＝39°，
故選：B．
7．解：如圖，設大樹高為AB＝10m，
小樹高為CD＝4m，
過C點作CE⊥AB于E，則EBDC是矩形，
連接AC，
∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6m，
在Rt△AEC中，AC10m，
故選：B．
8．解：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵BD是△ABC的角平分線，
∴∠ABD＝∠DBC∠ABC＝36°，
∴∠A＝∠ABD＝36°，
∴BD＝AD，
∴△ABD是等腰三角形；
在△BCD中，∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∴∠C＝∠BDC＝72°，
∴BD＝BC，
∴△BCD是等腰三角形；
∵BE＝BC，
∴BD＝BE，
∴△BDE是等腰三角形；
∴∠BED＝（180°﹣36°）÷2＝72°，
∴∠ADE＝∠BED﹣∠A＝72°﹣36°＝36°，
∴∠A＝∠ADE，
∴DE＝AE，
∴△ADE是等腰三角形；
∴圖中的等腰三角形有5個．
故選：D．
9．解：如圖，連接OP1，OP2，根據對稱性可得：OP1＝OP2＝OP＝3，
由條件可知P1P2＜6，
在△OP1P2中，
∵∠P1OP2最大，
∴P1P2＞OP1＝3，
即3＜P1P2＜6，選項中只有B選項符合條件．
故選：B．
10．解：如圖，∵△ABC是等邊三角形，
∴BA＝BC，
∵BD⊥AC，AQ＝2，QD＝1.5，
∴AD＝DC＝AQ+QD＝3.5，
作點Q關于BD的對稱點Q′，連接PQ′交BD于E，連接QE，此時PE+EQ的值最小．最小值PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′，
∵AQ＝2cm，AD＝DC＝3.5，
∴QD＝DQ′＝1.5，
∴CQ′＝BP＝2，
∴AP＝AQ′＝5，
∵∠A＝60°，
∴△APQ′是等邊三角形，
∴PQ′＝PA＝5，
∴PE+QE的最小值為5．
故選：C．
11．解：如圖，
由題意得：△ABN≌△A′BN，△C′BN≌△CBM．
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠CMB＝∠C′MB＝68°．
∴∠1＝∠2＝∠3．
∴∠ABC＝3∠3．
又∵∠3+∠C+∠CMB＝180°，
∴∠3+∠C＝180°﹣∠CMB＝180°﹣68°＝112°．
又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴18°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°．
∴18°+2∠3+112°＝180°．
∴∠3＝25°．
∴∠C＝112°﹣∠3＝112°﹣25°＝87°．
故選：A．
12．解：如圖所示．
∵正方形ABCD的邊長為2，△CDE為等腰直角三角形，
∴DE2+CE2＝CD2，DE＝CE，
∴S2+S2＝S1．
觀察，發現規律：，，，，…，
∴．
故選：A．
二、細心填一填（本題共8小題，滿分32分，只要求填寫最后結果，每小題填對得4分）．
13．解：當50°的內角是等腰三角形的底角時，
它的頂角的度數為：180°﹣50°﹣50°＝80°；
當50°的內角是等腰三角形的頂角時，
它的底角的度數為：，符合要求；
故答案為：80°或50°．
14．解：最簡單的軸對稱圖形是等腰三角形，角和線段，
故答案為：等腰三角形，角和線段（答案不唯一）．
15．解：∵△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF，
∴AD＝FC，
∵FA＝1，AC＝3，
∴AD＝FC＝AC﹣FA＝3﹣1＝2，
故答案為：2．
16．解：由三角形內角和定理可得：
∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠CBA
＝180°﹣45°﹣75°
＝60°，
∵CM是∠ACB的平分線，
∴，
∴∠CMD＝180°﹣∠AMC
＝180°﹣（1800﹣∠CAB﹣∠ACM）
＝∠CAB+∠ACM
＝45°+30°
＝75°，
∵CD是AB邊上的高，
∴∠CDM＝90°，
∴∠MCD＝90°﹣75°＝15°，
故答案為：15．
17．解：設AC＝x，
∵AC+AB＝10，
∴AB＝10﹣x．
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，即x2+32＝（10﹣x）2．
故答案為：x2+32＝（10﹣x）2．
18．解：∵AE⊥AB，EF⊥FH，BG⊥FH，
∴∠EAB＝∠EFA＝∠AGB＝90°．
∵∠EAF+∠BAG+∠BAE＝180°，
∴∠EAF+∠BAG＝90°．
∵∠ABG+∠BAG＝90°，
∴∠EAF＝∠ABG．
在△EFA和△AGB中，
，
∴△EFA≌△AGB（AAS），
∴AF＝BG＝3，EF＝AG＝6．
∵BC⊥CD，BG⊥FH，DH⊥FH，
∴∠BGC＝∠BCD＝∠CHD＝90°，
∵∠BCG+∠BCD+∠HCD＝180°，
∴∠BCG+∠HCD＝90°．
∵∠CDH+∠HCD＝90°，
∴∠BCG＝∠CDH．
在△BGC和△CHD中，
，
∴△BGC≌△CHD（AAS），
∴BG＝CH＝3，GC＝HD＝4，
則FH＝FA+AG+GC+CH＝3+6+4+3＝16．
∵EF⊥FH，DH⊥FH，
∴梯形EFDH的面積為：．
∴陰影部分面積為：
梯形EFHD的面積﹣S△EFA﹣S△AGB﹣S△BGC﹣S△CHD
，
＝80﹣9﹣9﹣6﹣6
＝50，
故答案為：50．
19．解：如圖，延長BD交AC于點E，
∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，
∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（ASA），
∴BD＝DE，
∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，
∴S△ABD+S△BDC＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC，
∴S△ADCS△ABC8＝4，
故答案為：4
20．解：∵將一矩形紙片ABCD折疊，使兩個頂點A，C重合，折痕為FG，
∴FG是AC的垂直平分線，
∴AF＝CF，
設AF＝FC＝x，
在Rt△ABF中，有勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，
42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
即CF＝5，BF＝8﹣5＝3，
∴△ABF的面積為3×4＝6，
故答案為：6．
三、耐心做一做，相信你能寫出正確的解答過程（共70分，注意審題要細心，書寫要規范和解答要完整）．
21．解：（1）如圖：
（2）∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AD是中線，
∴BD＝DC，AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，△ADB≌△ADC（SAS），，
故正確結論為：BD＝DC，AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∠ABC＝∠ACB，△ADB≌△ADC，（答案不唯一）；
（3）如圖：
表示一個臺燈．
22．解：（1）AD與A1D1相等，理由如下：
∵△ABC≌△A1B1C1，
∴AB＝A1B1，∠B＝∠B1，
在△ABD和△A1B1D1中，
，
∴△ABD≌△A1B1D1（SAS），
∴AD＝A1D1；
（2）BE+DE＝AC，理由如下：
由條件可知AE＝BE，
∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，
∴DE＝CE，
∴BE+DE＝AE+CE，
即BE+DE＝AC；
（3）①由條件可知∠BAC＝108°，∠B＝36°，∠C＝36°，
∵AD，AE將∠BAC三等分，
∴∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝72°；
②由條件可知∠ADE＝∠AED＝∠BAE＝∠CAD＝72°，
∴AD＝BD，AD＝AE，AE＝CE，AB＝AC，AB＝BE，AC＝CD，
∴△ABD，△ADE，△AEC，△ABC，△ABE，△ACD是等腰三角形．
23．解：（1）由題意，得AB2＝AC2+BC2，得
AC24（米）．
（2）由A′B′2＝A′C2+CB′2，得
B′C15（米）．
∴BB′＝B′C﹣BC＝15﹣7＝8（米）．
答：梯子底部在水平方向不是滑動了4米，而是8米．
24．解：（1）∵OB⊥OC，
∴∠BOD+∠COE＝90°，
又∵CE⊥OA，BD⊥OA，
∴∠CEO＝∠ODB＝90°，
∴∠BOD+∠B＝90°，
∴∠COE＝∠B，
在△COE和△OBD中，
，
∴△COE≌△OBD（AAS），
∴OE＝BD；
（2）∵△COE≌△OBD，
∴CE＝OD＝24cm，
∵OA＝30cm，
∴AD＝OA﹣OD＝30﹣24＝6（cm）．
25．解：（1）不變，∠CMQ＝60°．
∵△ABC是等邊三角形，
∴等邊三角形中，AB＝AC，∠B＝∠CAP＝60°
又∵點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，且它們的速度都為1cm/s．
∴AP＝BQ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ＝∠ACP，
∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°；
（2）設時間為t秒，則AP＝BQ＝tcm，PB＝（4﹣t）cm，
當∠PQB＝90°時，
∵∠B＝60°，
∴PB＝2BQ，即4﹣t＝2t，t，
當∠BPQ＝90°時，
∵∠B＝60°，
∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），t，
∴當第秒或第秒時，△PBQ為直角三角形．
第1頁（共1頁）

展開更多......

收起↑