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2024-2025學(xué)年山東省淄博市沂源縣八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制）
一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．（4分）下列各式，，，中，分式有（　　）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
2．（4分）下列各式從左到右的變形屬于因式分解的是（　　）
A．6x2y3＝2x2 3y3 B．x2﹣9＝（x﹣3）（x+3）
C．x2+2x+1＝x（x2+2）+1 D．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6
3．（4分）已知一組數(shù)據(jù)1，0，﹣3，5，x，2，﹣3的平均數(shù)是1，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是（　　）
A．﹣3 B．5 C．﹣3和5 D．1和3
4．（4分）下列因式分解中，正確的是（　　）
A．x2﹣4y2＝（x﹣4y）（x+4y）
B．a(chǎn)x+ay+a＝a（x+y）
C．a(chǎn)（x﹣y）+b（y﹣x）＝（x﹣y）（a﹣b）
D．4x2+9＝（2x+3）2
5．（4分）如圖是我市某周內(nèi)日最高氣溫的折線統(tǒng)計(jì)圖，關(guān)于這7天的日最高氣溫的說(shuō)法錯(cuò)誤的是（　　）
A．最大值與最小值的差是10
B．中位數(shù)是24
C．眾數(shù)是28
D．平均數(shù)是
6．（4分）計(jì)算210+（﹣2）11的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．210 D．﹣210
7．（4分）若x﹣y＝2xy，則的值為（　　）
A． B．2 C． D．﹣2
8．（4分）如果將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)都減去25，那么所得的一組新數(shù)據(jù)（　　）
A．眾數(shù)改變，方差改變
B．眾數(shù)不變，平均數(shù)改變
C．中位數(shù)改變，方差不變
D．中位數(shù)不變，平均數(shù)不變
9．（4分）“五一”旅游黃金周期間，幾名同學(xué)包租一輛面包車前往某景區(qū)游玩，面包車的租價(jià)為180元，出發(fā)時(shí)，又增加了2名學(xué)生，結(jié)果每個(gè)同學(xué)比原來(lái)少分擔(dān)3元車費(fèi)．設(shè)參加游玩的同學(xué)為x人，則可得方程（　　）
A．2 B．3
C．3 D．3
10．（4分）分式方程1的解為正數(shù)，則m的取值范圍（　　）
A．m＞﹣3 B．m＞﹣3且m≠﹣2
C．m＜3 D．m＜3且m≠﹣2
二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分，只要求填寫最后結(jié)果。
11．（4分）因式分解x2﹣3x﹣10＝　 　 ．
12．（4分）多項(xiàng)式x2﹣4和x2+4x+4的公因式是　 　 ．
13．（4分）已知a、b、c是△ABC的三邊的長(zhǎng)，且滿足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，則此三角形的形狀為　 　 ．
14．（4分）計(jì)算93﹣8×92的結(jié)果是　 　 ．
15．（4分）若分式方程4的解為整數(shù)，則整數(shù)a＝　 　 ．
三、解答題：本大題共8小題，共90分，解答要寫出必要的文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。
16．（16分）因式分解
（1）（m+n）2﹣n2；
（2）x3y2+2x2y+x；
（3）x（a﹣b）+y（b﹣a）；
（4）81a4﹣72a2b2+16b4．
17．（15分）計(jì)算
（1）；
（2）；
（3）．
18．（8分）解分式方程：
19．（8分）甲乙兩支籃球隊(duì)進(jìn)行了5場(chǎng)比賽，比賽成績(jī)繪制成了統(tǒng)計(jì)圖（如圖）．
（1）請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖填寫表
平均數(shù) 中位數(shù) 方差
甲
乙 90 87 70.8
（2）如果從兩隊(duì)中選派一支球隊(duì)參加籃球錦標(biāo)賽，根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)，從平均分、方差以及獲勝場(chǎng)數(shù)這三個(gè)方面分別進(jìn)行簡(jiǎn)要分析，你認(rèn)為選派哪支球隊(duì)參賽更能取得好成績(jī)？
20．（9分）8年級(jí)某老師對(duì)一、二班學(xué)生閱讀水平進(jìn)行測(cè)試，并將成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，繪制了如圖表（得分為整數(shù)，滿分為10分，成績(jī)大于或等于6分為合格，成績(jī)大于或等于9分為優(yōu)秀）．
平均分 方差 中位數(shù) 眾數(shù) 合格率 優(yōu)秀率
一班 7.2 2.11 7 6 92.5% 20%
二班 6.85 4.28 8 8 85% 10%
根據(jù)圖表信息，回答問題：
（1）用方差推斷，　 　 班的成績(jī)波動(dòng)較大；用優(yōu)秀率和合格率推斷，　 　 班的閱讀水平更好些；
（2）甲同學(xué)用平均分推斷，一班閱讀水平更好些；乙同學(xué)用中位數(shù)或眾數(shù)推斷，二班閱讀水平更好些．你認(rèn)為誰(shuí)的推斷比較科學(xué)合理，更客觀些．為什么？
21．（10分）某地修筑水渠，某工程隊(duì)出色地完成了任務(wù)．這是記者與工程隊(duì)總指揮的一段對(duì)話：
——你們是用9天完成4800米長(zhǎng)的水渠任務(wù)的？
——是的，我們修筑600米后，采用新的修筑模式，這樣每天修筑長(zhǎng)度是原來(lái)的2倍．
求工程隊(duì)原來(lái)每天修筑水渠多少米？
22．（12分）【閱讀材料】
因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：將“x+y”看成整體，令x+y＝A，則原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．
再將“A”還原，原式＝（x+y+1）2．
上述解題用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法．
【問題解決】
（1）因式分解：4+5（x﹣y）+（x﹣y）2；
（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；
（3）證明：若n為正整數(shù)，則代數(shù)式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某個(gè)整數(shù)的平方．
23．（12分）閱讀下列材料：
通過小學(xué)的學(xué)習(xí)我們知道，分?jǐn)?shù)可分為“真分?jǐn)?shù)”和“假分?jǐn)?shù)”．而假分?jǐn)?shù)都可化為帶分?jǐn)?shù)，如：22 ．我們定義：在分式中，對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”．
如：，這樣的分式就是假分式；再如：，這樣的分式就是真分式．類似的，假分式也可以化為帶分式（即：整式與真分式的和的形式）．
如：；
再如：．
解決下列問題：
（1）分式是 　 　 分式（填“真”或“假”）；
（2）如果分式的值為整數(shù)，求出所有符合條件的整數(shù)x的值．
（3）若分式拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式（分子為整數(shù)）的和（差）的形式為：，求m2+n2+mn的最小值．
2024-2025學(xué)年山東省淄博市沂源縣八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制）
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C C B D D C D B
一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．解：分母中不含有字母，不是分式，不符合題意；
分母中不含有字母，不是分式，不符合題意；
符合分式的定義，是分式，符合題意；
分母中不含有字母，不是分式，不符合題意；
即屬于分式的有1個(gè)，
故選：A．
2．解：A．從左到右的變形不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．從左到右的變形屬于因式分解，故本選項(xiàng)符合題意；
C．從左到右的變形不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．從左到右的變形屬于整式乘法，不屬于因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：B．
3．解：∵數(shù)據(jù)1，0，﹣3，5，x，2，﹣3的平均數(shù)是1，
∴1+0﹣3+5+x+2﹣3＝7×1，
解得x＝5，
則這組數(shù)據(jù)為1，0，﹣3，5，5，2，﹣3，
∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為﹣3和5，
故選：C．
4．解：A、x2﹣4y2＝（x﹣2y）（x+2y），選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B、ax+ay+a＝a（x+y+1），選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C、a（x﹣y）+b（y﹣x）＝（x﹣y）（a﹣b），選項(xiàng)正確，符合題意；
D、4x2+9無(wú)法分解因式，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：C．
5．解：求出最大值與最小值的差，中位數(shù)，眾數(shù)，平均數(shù)分析如下：
A、由圖可知，這7日最高溫度為30℃，最低溫度為20℃，
∴最大值與最小值的差是30﹣20＝10（℃），故A正確，不符合題意；
B、將這7天的溫度按大小排序?yàn)椋?0℃，22℃，24℃，26℃，28℃，28℃，30℃，
∴中位數(shù)為26℃，故B不正確，符合題意；
C、∵28℃出現(xiàn)了2次，出現(xiàn)次數(shù)最多，
∴眾數(shù)為28℃，故C正確，不符合題意；
D、，故D正確，不符合題意；
故選：B．
6．解：210+（﹣2）11
＝210﹣211
＝210﹣210×2
＝210×（1﹣2）
＝﹣210，
故選：D．
7．解：∵x﹣y＝2xy，即y﹣x＝﹣2xy，
∴2．
故選：D．
8．解：如果將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)都減去25，
易得，所得的一組新數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都減少25，
而根據(jù)方差公式s[（x1）2+…+（xn）2]可知，每個(gè)數(shù)和平均數(shù)的差不變，方差不變，
故選：C．
9．解：設(shè)參加游玩的同學(xué)為x人，
根據(jù)題意得：3．
故選：D．
10．解：去分母得：2＝x﹣1﹣m，
解得：x＝m+3，
由方程的解為正數(shù)，得到m+3＞0，且m+3≠1，
則m的范圍為m＞﹣3且m≠﹣2．
故選：B．
二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分，只要求填寫最后結(jié)果。
11．解：利用十字相乘法因式分解可得：
x2﹣3x﹣10＝（x﹣2）（x+5）．
故答案為：（x﹣2）（x+5）．
12．解：∵x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），x2+4x+4＝（x+2）2，
∴兩個(gè)多項(xiàng)式的公因式是x+2．
故答案為：x+2．
13．解：由已知條件a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0化簡(jiǎn)得，
（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0
即 a＝b，b＝c
∴a＝b＝c
故答案為等邊三角形．
14．解：原式＝92×9﹣8×92
＝92×（9﹣8）
＝92×1
＝81．
故答案為：81．
15．解：方程兩邊同時(shí)乘以（x+1）（x﹣1）得（2x﹣a）（x+1）﹣4（x+1）（x﹣1）＝（x﹣1）（﹣2x+a），
整理得﹣2ax＝﹣4，
整理得ax＝2，
∵x，a為整數(shù)，
∴a＝±1或a＝±2，
∵x＝±1為增根，
∴a≠±2，
∴a＝±1．
故答案為：±1．
三、解答題：本大題共8小題，共90分，解答要寫出必要的文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。
16．解：（1）（m+n）2﹣n2
＝[（m+n）+n][（m+n）﹣n]
＝m（m+2n）；
（2）x3y2+2x2y+x
＝x（x2y2+2xy+1）
＝x（xy+1）2；
（3）原式＝x（a﹣b）﹣y（a﹣b）
＝（a﹣b）（x﹣y）；
（4）原式＝（9a2﹣4b2）2
＝（3a+2b）2（3a﹣2b）2．
17．解：（1）
；
（2）原式
；
（3）原式
．
18．解：原方程可化為，
方程兩邊同乘以（2﹣x），得
x﹣1＝1﹣2（2﹣x），
解得：x＝2．
檢驗(yàn)：當(dāng)x＝2時(shí)，原分式方程的分母2﹣x＝0．
∴x＝2是增根，原分式方程無(wú)解．
19．（1）
平均數(shù) 中位數(shù) 方差
甲 90 91 28.4
乙 90 87 70.8
（2）甲乙兩隊(duì)平均數(shù)相同，甲隊(duì)勝3場(chǎng)，乙隊(duì)勝2場(chǎng)，甲隊(duì)成績(jī)較好，甲隊(duì)方差小，乙隊(duì)方差大，說(shuō)明甲隊(duì)成績(jī)穩(wěn)定，因此選派甲球隊(duì)參賽更能取得好成績(jī)．
20．解：（1）從方差看，二班成績(jī)波動(dòng)較大，從眾數(shù)、中位數(shù)上看，一班的成績(jī)較好，
故答案為：二，一．
（2）乙同學(xué)的說(shuō)法較合理，眾數(shù)和中位數(shù)是反映一組數(shù)據(jù)集中發(fā)展趨勢(shì)和集中水平，由于二班的眾數(shù)、中位數(shù)都比一班的要好．
21．解：設(shè)原來(lái)每天修筑x米，根據(jù)題意得，
，
整理得，18x＝5400，
解得；x＝300，
經(jīng)檢驗(yàn)：x＝300是原方程的根．
所以工程隊(duì)原來(lái)每天修筑水渠300米，
答：工程隊(duì)原來(lái)每天修筑水渠300米．
22．（1）解：設(shè)x﹣y＝A，
原式＝4+5A+A2
＝（A+1）（A+1）
＝（x﹣y+4）[（x﹣y）+1]
＝（4+x﹣y）（1+x﹣y）．
（2）解：設(shè)a+b＝B，
原式＝B（B﹣4）+4
＝B2﹣4B+4
＝（B﹣2）2
＝（a+b）2﹣4（a+b）+4
＝[（a+b）﹣2]2
＝（a+b﹣2）2；
（3）證明：原式＝（n2+3n+2）（n2+3n）+1
設(shè)n2+3n＝C，
（n+1）（n+2）（n2+3n）+1
＝（C+2）C+1
＝C2+2C+1
＝（C+1）2
＝（n2+3n+1）2．
∴代數(shù)（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某個(gè)整數(shù)的平方．
23．解：（1）由題意，∵當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”，
∴分式是假分式．
故答案為：假．
（2）由題意得，2，
又∵的值為整數(shù)，
∴x+1＝±1．
∴x＝0或x＝﹣2．
（3）由題意得，5x﹣1，
∴5x﹣1＝5m﹣11，﹣x﹣2＝n﹣6．
∴m＝x+2，n＝﹣x+4．
∴m2+n2+mn＝（x+2）2+（﹣x+4）2+（x+2）（﹣x+4）
＝x2+4x+4+x2﹣8x+16﹣x2+2x+8
＝x2﹣2x+28
＝（x﹣1）2+27．
∴當(dāng)x＝1時(shí)，m2+n2+mn取最小值為27．
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