資源簡介

第二章《整式及其加減》提升卷—滬科版（2024）數學七（上）單元分層測
一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的.每小題選對得3分，選錯、不選或多選，均不得分.
1．（2021七上·衢州期末）代數式的意義是（　　）
A．x除以y加3 B．y加3除x
C．y與3的和除以x D．x除以y與3的和所得的商
2．（2025七上·海曙期末）下列計算正確的是（　　）
A．3a-2a=1 B．3a+2a=5a2
C． D．
3．（2025七上·鎮海區期末）如果 與 是同類項，那么 的值分別為（ ）
A． B． C． D．
4．（2025七上·光明期末）有一道題是一個多項式減去，小強誤當成加法計算，結果得到，正確的結果應該是（　　）
A． B． C． D．
5．（2021七上·呼和浩特期中）某公司今年2月份的利潤為x萬元，3月份比2月份減少7%，4月份比3月份增加了8%，則該公司4月份的利潤為（單位：萬元）（　　）
A． B．
C． D．
6．（2020七上·石景山期末）用“☆”定義一種新運算：對于任意有理數 和 ， ☆ = （ 為常數），如： ☆ = ．若 ☆ = ，則 ☆ 的值為（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．（2025七上·鎮海區期末）如圖，在一個大長方形中放入四個邊長不等的正方形①，②，③，④若要求圖中兩塊陰影部分的周長之差，則只需知道下列那個正方形的邊長（ ）
A．正方形① B．正方形② C．正方形③ D．正方形④
8．（2022七上·渭城期末）如圖，是一組有規律的圖案，它們是由邊長相同的小正方形組成的，其中部分小正方形涂有陰影，按照這樣的規律，第2022個圖案中涂有陰影的小正方形個數是（　　）
A．8089 B．8088 C．4044 D．4045
9．（2025七上·海曙期末）有一數值轉換器，原理如圖所示，若開始輸入的x是7，則第1次輸出的結果是12，第2次輸出的結果是6，第3次輸出的結果是3，依次繼續下去，…，第2025次輸出的結果是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．8
10．（2024七上·吳興期末）借助符號，數學語言變得簡潔明了.例如可用代數式 來表示“”(題目選自 1905年清朝學堂課本).觀察其中的規律，將“”化簡后得(　　)
A． B． C． D．
11．觀察等式： ；….已知按一定規律排列的一組數：250，251，252，…，299，2 .若 用含a 的式子表示這組數的和是（　　).
A． B． C． D．
12．（2023七上·大足期末）有依次排列的3個整式：，x，，對任意相鄰的兩個整式，都用右邊的整式減去左邊的整式，所得之差寫在這兩個整式之間，可以產生一個新整式串：則稱它為整式串1；將整式串1按上述方式再做一次操作，可以得到整式串2；以此類推．通過實際操作，得出以下結論：
①整式串2為：
②整式串3共17個整式；
③整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2；
④整式串2022的所有整式的和為．
上述四個結論錯誤的有（　　）個．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.只要求填出最后結果.
13．（2025七上·海曙期末）若單項式與單項式的和仍是一個單項式，則|mn|的值是　 　.
14．為落實“雙減”政策，學校利用課后服務開展了校園讀書活動，現需購買甲、乙兩種讀本共120本，其中甲讀本12元/本，乙讀本15元/本，設購買甲讀本x本，則購買兩種讀本的總費用為　 　元(用含x的代數式表示).
15．（2025七上·椒江期末）如圖是2025年1月份的日歷，“橫3”和“豎3”兩個陰影圖形分別覆蓋其中3個數字（兩個陰影圖形可以重疊覆蓋，也可以上下左右移動），設“橫3”覆蓋的數字之和為，“豎3”覆蓋的數字之和為，若，則的最小值為　 　．
16．（2025七上·鄞州期末）已知 4 個互不相等的非零整數 滿足 ， 其中，則 的最小值是　 　．
三、解答題：本大題7小題，共68分.
17．（2025七上·常德期末）計算：
（1）；
（2）．
18．（2024七上·蘭溪期末）先化簡，再求值：，其中．
19．（2024七上·成都期中）定義：已知，為關于x的多項式，若，其中k為大于0的常數，則稱M是N的“友好式”，k叫做M關于N的“友好值”．例如：，，，則稱是的“友好式”，關于的“友好值”為．又如，，，，x不是大于的常數，則稱不是N的“友好式”．
（1）已知，，則是的“友好式”嗎？若是，請證明并求出關于的“友好值”；若不是，請說明理由；
（2）已知，，若M是N的“友好式”，且“友好值”為，求m，n的值．
20．（2024七上·龍華月考）（1）觀察下列點陣圖，寫出與第4個點陣相對應的等式；
，，，______；
（2）結合（1）觀察下列點陣圖，寫出與第5個點陣相對應的等式．
，，，，______；
（3）寫出（2）中與第個點陣相對應的等式：______．
21．（2023七上·豐城期中）已知多項式A和B，且2A+B＝7ab+6a﹣2b﹣11，2B﹣A＝4ab﹣3a﹣4b+18．
閱讀材料：我們總可以通過添加括號的形式，求出多項式A和B．如：
5B＝（2A+B）+2（2B﹣A）
＝（7ab+6a﹣2b﹣11）+2（4ab﹣3a﹣4b+18）
＝15ab﹣10b+25
∴B＝3ab﹣2b+5
（1）應用材料：請用類似于閱讀材料的方法，求多項式A．
（2）小紅取a，b互為倒數的一對數值代入多項式A中，恰好得到A的值為0，求多項式B的值．
（3）聰明的小剛發現，只要字母b取一個固定的數，無論字母a取何數，B的值總比A的值大7，那么小剛所取的b的值是多少呢？
22．（2024七上·南海期末）綜合運用
將圖1中的長方形紙片剪成1號、2號、3號、4號正方形和5號長方形，設1號正方形的邊長為x，2號正方形的邊長為y．
（1）求3號、4號正方形的邊長．（用含x，y的代數式表示）
（2）若題圖1中5號長方形的周長為10，試求3號正方形的邊長．
（3）在第（2）問的條件下，將這5個圖形按圖2的方式互不重疊地放入長方形中，若陰影部分的周長為70，求長方形的周長．
23．（2023七上·南海月考）當你記不住九九乘法表中乘9的口訣是，你可以進行如下的操作：例如，伸出兩只手，做運算時，如圖，從左手開始數4下，數到第4根手指向下彎．這時，如圖1該手指左邊有3根手指，右邊有6根手指，可得36，即．類似的，做運算時，從左手開始數8下，數到第8根手指向下彎，這時，該手指左邊有7根手指，右邊有2根手指，可得72，即．
（1）在計算時，從左手開始數，數到第　 　根手指向下彎下，這時，該手指左邊有　 　根手指，右邊有　 　根手指；
（2）將問題一般化，我們可以解決（，且為整數）的問題．從左手開始數下，數到第根手指向下彎，此時該手指左邊有　 　根手指，右邊有　 　根手指，由此即可得　 　；
（3）小郭同學在研究的過程中發現，若是一個特殊兩位數時，如等，當這樣的兩位數與9相乘時，也能夠通過指算法求解．如圖2是的指算法過程，假設是這個兩位數的個位數字，請用含有的等式表示上述規律，并說明它的正確性．
答案解析部分
1．【答案】D
【知識點】代數式的概念
【解析】【解答】解：的意義是x除以y與3的和所得的商.
故答案為：D.
【分析】表示x與y+3的商，據此判斷即可.
2．【答案】C
【知識點】合并同類項法則及應用
【解析】【解答】解： 故A錯誤；
故B錯誤；
故C正確；
故D錯誤.
故答案為： C.
【分析】根據整式的加減運算法則即可求出答案.
3．【答案】C
【知識點】同類項的概念
【解析】【解答】解：∵與 是是同類項，
∴
解得
故答案為： B.
【分析】所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項叫做同類項， 由此得出 即可求出m、 n的值.
4．【答案】A
【知識點】整式的加減運算
【解析】【解答】解：由題意可得：
原多項式為
∴正確結果為：
故答案為：A
【分析】根據題意求出原多項式，再求出正確結果.
5．【答案】D
【知識點】列式表示數量關系
【解析】【解答】解：由題意得，3月份利潤為 ，
則4月份利潤為 ，
故答案為：D．
【分析】先利用x表示出3月份的利潤，再利用“4月份比3月份增加了8%”表示出4月份的利潤即可。
6．【答案】A
【知識點】定義新運算
【解析】【解答】∵ ☆ = ，
∴1☆2=
∴
∴ ☆ =
故答案為：A.
【分析】先根據 ☆ = 求出a的值，進而再計算 ☆ 的值即可.
7．【答案】B
【知識點】整式的加減運算
【解析】【解答】解： 設正方形①、②、③、④的邊長分別為a、b、c、d ，
右上角陰影部分的周長為：2×(AB-b-c+AD-a) ， 左下角陰影部分的周長為：2×(AB-a+AD-c) ，
∴ 兩塊陰影部分的周長之差為：2×(AB-a+AD-c) - 2×(AB-b-c+AD-a) = 2AB - 2a + 2AD - 2c - 2AB + 2b + 2c - 2AD + 2a = 2b，
故答案為：B.
【分析】設 正方形①、②、③、④的邊長分別為a、b、c、d ，表示兩個矩形的周長，求周長差為2b，然后判斷解題即可.
8．【答案】A
【知識點】有理數的加減乘除混合運算的法則；探索圖形規律
【解析】【解答】解：第一個圖案有5個：；
第二個圖案有9個：；
第三個圖案有13個：；
…
則第n個圖形有：個；
故第2022個圖案中有(個).
故答案為：A.
【分析】根據圖形可得：第一個、第二個、第三個圖案中陰影小正方形的個數，推出第n個圖案中陰影小正方形的個數，然后將n=2022代入計算即可.
9．【答案】C
【知識點】探索數與式的規律；求代數式的值-程序框圖
【解析】【解答】解：第1次輸出的結果是：
第2次輸出的結果是：
第3次輸出的結果是：
第4次輸出的結果為：
第5次輸出的結果為：
第6次輸出的結果為：
第7次輸出的結果為：
第8次輸出的結果為：
…，
可以發現：輸出的結果從第2次開始以6，3，8，4，2， 1為一個循環，
∴第2025次輸出的結果為3，
故答案為： C.
【分析】通過計算可以發現，輸出的結果從第2次開始以6，3，8，4，2， 1為一個循環，據此即可得出第2025次輸出的結果.
10．【答案】D
【知識點】整式的加減運算；用代數式表示幾何圖形的數量關系
【解析】【解答】解：根據題意，可知“”表示為，
化簡得：，
故答案為：D．
【分析】本題考查列代數式，整式的加減．根據給定的例題，可得：“”表示為，再進行化簡可列出代數式．
11．【答案】C
【知識點】探索數與式的規律；有理數混合運算法則（含乘方）
【解析】【解答】解：∵2 25-2 ，
∴，
∴
=
∵
∴
故答案為：C.
【分析】觀察2 25-2 ，發現規律，，將數列表示為兩個數列之差，并應用前面發現的規律來計算最終結果.
12．【答案】A
【知識點】整式的加減運算；探索數與式的規律
【解析】【解答】解：①整式串2為：，故①正確；
②整式串3為：
整式串3共17個整式，故②正確；
③整式串2的和為：
整式串3的和為：
整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2，故③正確；
……
整式串n的和為：
④整式串2022的所有整式的和為，故④正確，
綜上，錯誤的結論為0.
故答案為：A．
【分析】根據整式的加減運算法則“先去括號（括號前面是負號，去掉括號和負號，括號里的每一項都要變號；括號前面是正號，去掉括號和正號，括號里的每一項都不變號，括號前的數要與括號里的每一項都要相乘），再合并同類項”及題干要求寫出整式串2與整式串3，即可直接判斷①與②；再根據整式加法法則分別計算出整式串2與3的和，再求出整式串2與2的差，即可判斷③；通過觀察整式串2與3的和發現規律“整式串n的和為3x-2n”，進而將n=2022代入計算可判斷④.
13．【答案】4
【知識點】同類項的概念；求代數式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：解：∵ 單項式與單項式的和仍是一個單項式，
∴-m+1=3，n+1=3，
解得m=-2，n=2，
∴|mn|=|-2×2|=4，
故答案為：4.
【分析】根據同類項的定義“含有相同字母，并且相同字母的指數也相同的項”解題即可.
14．【答案】(-3x+1800)
【知識點】用代數式表示實際問題中的數量關系
【解析】【解答】解：設購買甲讀本x本，則購買乙讀本(120-x)本，
根據題意得，12x+15(120-x)=12x+1800-15x=-3x+1800，
故答案為：(-3x+1800) .
【分析】根據題意，先求出購買乙讀本的本數，再根據單價x數量=總價，分別求出購買甲、乙兩種讀本的費用，然后相加即可.
15．【答案】51
【知識點】整式的加減運算；探索數與式的規律
【解析】【解答】解：設“橫3”中間數為，“豎3”中間數為，
由題意得：，
，
∴，
∴，
∴x、y為同一橫行上，相鄰的兩個數，
∵，
∴當最小時，最小，
根據圖可知，y的最小值為8，
∴x的最小值為，
∴的最小值為，
∴的最大值為．
故答案為：51．
【分析】設“橫3”中間數為，“豎3”中間數為，即可得到，，根據題意得到，再根據日歷得到x，y的最小值解題即可．
16．【答案】
【知識點】有理數混合運算法則（含乘方）；求代數式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵且為非零整數
∴，
要使得最小，則都為最小值，
∴
∵，且最小，則
∵
∴
∵，為整數，且最小，則都為負數，
∴，，
∴，
故答案為：．
【分析】先求出為最小值時，得出，，再利用，即可得到，或，解題即可．
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知識點】整式的加減運算；有理數混合運算法則（含乘方）
【解析】【分析】（1）先去括號（括號前面是負號，去掉括號和負號，括號里的每一項都要變號；括號前面是正號，去掉括號和正號，括號里的每一項都不變號，括號前的數要與括號里的每一項都要相乘），再合并同類項即可；
（2）先算乘方，再算括號內的乘法，進而計算括號內減法，接著計算乘法，最后計算加法即可.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．【答案】解：
解得：
當時，
原式.
【知識點】偶次方的非負性；絕對值的非負性；利用整式的加減運算化簡求值
【解析】【分析】根據偶數次冪及絕對值的非負性，由兩個非負數的和為零，則每一個數都等于零，可求得x、y的值；再將原多項式去括號（括號前面是負號，去掉括號和負號，括號里的每一項都要變號；括號前面是正號，去掉括號和正號，括號里的每一項都不變號，括號前的數要與括號里的每一項都要相乘），進而合并同類項化簡，最后將x、y的值代入化簡結果按有理數的乘法法則計算即可.
19．【答案】（1）解：不是，理由如下
∵
，
又∵，
∴不符合定義，
∴不是的”友好式“；
（2）解：
∵是的“友好式”，
∴，
解得，
∴M與N“友好值”為，
∴，
解得，
，．
【知識點】整式的加減運算
【解析】【分析】（1）讀懂題意，利用新定義計算并判斷；
（2）利用新定義列等式求出、的值．
（1）解：
，
，
∴不符合定義，
∴不是的”友好式“；
（2）解：
∵是的“友好式”，
∴，，
∴，
∴，
，．
20．【答案】（1）；（2）；（3）
【知識點】探索數與式的規律
【解析】【解答】解：（1）前3個等式規律：
第1個：（左邊1個數，右邊對應公式 ）
第2個：（左邊2個數，右邊對應公式 ）
第3個：（左邊3個數，右邊對應公式 ）
第4個等式左邊是（4個連續自然數相加 ），按規律右邊為，即：
，
故答案為：.
（2）觀察前式：
第1個：和為，對應數（ ）
第2個：和為，對應數（ ）、（ ）
第3個：和為，對應數（ ）、（ ）
第4個：和為，對應數（ ）、（ ）
所以第5個等式左邊是（ ）和（ ）相加，右邊是，即：
，
故答案為：.
（3）結合（1）（2），左邊兩數是連續的三角形數：
第個等式中，前一個數為（對應第個三角形數 ）
后一個數為（對應第個三角形數 ）
兩數相加：
所以第個等式為：
故答案為： .
【分析】本題是找規律題型，需通過觀察點陣圖與等式的對應關系，歸納出通用規律，分三步突破：
（1）第4個點陣等式：觀察前3個等式，左邊是連續自然數相加（個數與點陣序號一致 ），右邊是“”的形式，據此推導第4個等式.
（2）第5個點陣等式：分析前4個等式（如， ），左邊是兩數相加，數的規律與“三角形數”（ ）相關，右邊是序號的平方，據此找第5個等式.
（3）第個點陣等式：結合（1）（2）的規律，將具體序號推廣到，用含的式子表示左邊兩數和（基于三角形數公式 ）與右邊的關系.
21．【答案】（1）解：5A＝2（2A+B）﹣（2B﹣A）
＝2（7ab+6a﹣2b﹣11）﹣（4ab﹣3a﹣4b+18）
＝14ab+12a﹣4b﹣22﹣4ab+3a+4b﹣18
＝10ab+15a﹣40，
∴A＝2ab+3a﹣8；
（2）解：根據題意知ab＝1，A＝2ab+3a﹣8＝0，
∴2+3a﹣8＝0，
解得a＝2，
∴b＝，
則B＝3ab﹣2b+5
＝3×1﹣2×+5
＝3﹣1+5
＝7；
（3）解：由題意可得：
B﹣A＝（3ab﹣2b+5）﹣（2ab+3a﹣8）
＝3ab﹣2b+5﹣2ab﹣3a+8
＝ab﹣3a﹣2b+13
＝（b﹣3）a﹣2b+13，
由題意知，B﹣A＝7且與字母a無關，
∴b﹣3＝0，即b＝3．
【知識點】整式的加減運算；去括號法則及應用
【解析】【分析】（1 ）計算5A＝2（2A+B）﹣（2B﹣A），去括號，合并同類項即可求出答案.
（2 ）根據倒數的性質可得ab＝1，A＝2ab+3a﹣8＝0，則2+3a﹣8＝0，解方程可得a的值，繼而得出b的值，再代入代數式即可求出答案.
（ 3）先計算得出B﹣A＝（3ab﹣2b+5）﹣（2ab+3a﹣8）＝（b﹣3）a﹣2b+13，根據B﹣A＝7且與字母a無關知b﹣3＝0，即可求出答案.
（1）5A＝2（2A+B）﹣（2B﹣A）
＝2（7ab+6a﹣2b﹣11）﹣（4ab﹣3a﹣4b+18）
＝14ab+12a﹣4b﹣22﹣4ab+3a+4b﹣18
＝10ab+15a﹣40，
∴A＝2ab+3a﹣8；
（2）根據題意知ab＝1，A＝2ab+3a﹣8＝0，
∴2+3a﹣8＝0，
解得a＝2，
∴b＝，
則B＝3ab﹣2b+5
＝3×1﹣2×+5
＝3﹣1+5
＝7；
（3）B﹣A＝（3ab﹣2b+5）﹣（2ab+3a﹣8）
＝3ab﹣2b+5﹣2ab﹣3a+8
＝ab﹣3a﹣2b+13
＝（b﹣3）a﹣2b+13，
由題意知，B﹣A＝7且與字母a無關，
∴b﹣3＝0，即b＝3．
22．【答案】（1）解：∵1號正方形的邊長為x，2號正方形的邊長為y．∴3號正方形的邊長為， 4號正方形的邊長為，
（2）解：5號長方形的長為：，寬為：，5號長方形的周長為10，
∴，
∴，
號正方形的邊長為，
號正方形的邊長為；
（3）解：
由（2）可知號正方形的邊長為，
∴4號正方形的邊長為，
，
∵陰影部分的周長為70，
∴，
∴，
∴長方形的周長．
【知識點】整式的加減運算；用代數式表示幾何圖形的數量關系
【解析】【分析】（1）觀察圖形，得到3號正方形的邊長為2號正方形的邊長加上1號正方形的邊長，4號正方形的邊長為3號正方形的邊長加上1號正方形的邊長，據此求解，即可得到答案；
（2）根據題意，得到5號長方形的長為4號正方形的邊長加上1號正方形的邊長，寬為2號正方形的邊長減去1號正方形的邊長，結合5號長方形的邊長為10，列出代數式，求得，即可得到答案；
（3）根據（2）所求得到4號正方形的邊長為， 得到，根據陰影部分的周長為70，得到，求得，得到長方形的周長的代數式，即可求解.
23．【答案】（1）6；5；4
（2）；；
（3）解：由題意得：這個兩位數的十位數字為，
則這個兩位數為，
計算（，且為整數）的問題，從左手開始數下，數到第根手指向下彎，此時該手指左邊有根手指，右邊有根手指，由此即可得，
說明它的正確性的過程如下：
，，
.
【知識點】整式的加減運算；探索數與式的規律
【解析】【解答】解：（1） 在計算時，從左手開始數，數到第6根手指向下彎下，這時，該手指左邊有5根手指，右邊有4根手指，即6×9=54.
故答案為：6，5，4.
（2） 將問題一般化，我們可以解決（，且為整數）的問題．從左手開始數下，數到第根手指向下彎，此時該手指左邊有（n-1）根手指，右邊有(10-n)根手指，由此即可得；
故答案為：（n-1），(10-n)，.
【分析】（1）根據題干中操作求解即可；
（2）根據題干中操作求解即可；
（3）先求出這個兩位數的十位數字為，則這個兩位數為，再參照（2）可得，再利用整式的加減進行驗證即可.
1 / 1第二章《整式及其加減》提升卷—滬科版（2024）數學七（上）單元分層測
一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的.每小題選對得3分，選錯、不選或多選，均不得分.
1．（2021七上·衢州期末）代數式的意義是（　　）
A．x除以y加3 B．y加3除x
C．y與3的和除以x D．x除以y與3的和所得的商
【答案】D
【知識點】代數式的概念
【解析】【解答】解：的意義是x除以y與3的和所得的商.
故答案為：D.
【分析】表示x與y+3的商，據此判斷即可.
2．（2025七上·海曙期末）下列計算正確的是（　　）
A．3a-2a=1 B．3a+2a=5a2
C． D．
【答案】C
【知識點】合并同類項法則及應用
【解析】【解答】解： 故A錯誤；
故B錯誤；
故C正確；
故D錯誤.
故答案為： C.
【分析】根據整式的加減運算法則即可求出答案.
3．（2025七上·鎮海區期末）如果 與 是同類項，那么 的值分別為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】同類項的概念
【解析】【解答】解：∵與 是是同類項，
∴
解得
故答案為： B.
【分析】所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項叫做同類項， 由此得出 即可求出m、 n的值.
4．（2025七上·光明期末）有一道題是一個多項式減去，小強誤當成加法計算，結果得到，正確的結果應該是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】整式的加減運算
【解析】【解答】解：由題意可得：
原多項式為
∴正確結果為：
故答案為：A
【分析】根據題意求出原多項式，再求出正確結果.
5．（2021七上·呼和浩特期中）某公司今年2月份的利潤為x萬元，3月份比2月份減少7%，4月份比3月份增加了8%，則該公司4月份的利潤為（單位：萬元）（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】列式表示數量關系
【解析】【解答】解：由題意得，3月份利潤為 ，
則4月份利潤為 ，
故答案為：D．
【分析】先利用x表示出3月份的利潤，再利用“4月份比3月份增加了8%”表示出4月份的利潤即可。
6．（2020七上·石景山期末）用“☆”定義一種新運算：對于任意有理數 和 ， ☆ = （ 為常數），如： ☆ = ．若 ☆ = ，則 ☆ 的值為（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【知識點】定義新運算
【解析】【解答】∵ ☆ = ，
∴1☆2=
∴
∴ ☆ =
故答案為：A.
【分析】先根據 ☆ = 求出a的值，進而再計算 ☆ 的值即可.
7．（2025七上·鎮海區期末）如圖，在一個大長方形中放入四個邊長不等的正方形①，②，③，④若要求圖中兩塊陰影部分的周長之差，則只需知道下列那個正方形的邊長（ ）
A．正方形① B．正方形② C．正方形③ D．正方形④
【答案】B
【知識點】整式的加減運算
【解析】【解答】解： 設正方形①、②、③、④的邊長分別為a、b、c、d ，
右上角陰影部分的周長為：2×(AB-b-c+AD-a) ， 左下角陰影部分的周長為：2×(AB-a+AD-c) ，
∴ 兩塊陰影部分的周長之差為：2×(AB-a+AD-c) - 2×(AB-b-c+AD-a) = 2AB - 2a + 2AD - 2c - 2AB + 2b + 2c - 2AD + 2a = 2b，
故答案為：B.
【分析】設 正方形①、②、③、④的邊長分別為a、b、c、d ，表示兩個矩形的周長，求周長差為2b，然后判斷解題即可.
8．（2022七上·渭城期末）如圖，是一組有規律的圖案，它們是由邊長相同的小正方形組成的，其中部分小正方形涂有陰影，按照這樣的規律，第2022個圖案中涂有陰影的小正方形個數是（　　）
A．8089 B．8088 C．4044 D．4045
【答案】A
【知識點】有理數的加減乘除混合運算的法則；探索圖形規律
【解析】【解答】解：第一個圖案有5個：；
第二個圖案有9個：；
第三個圖案有13個：；
…
則第n個圖形有：個；
故第2022個圖案中有(個).
故答案為：A.
【分析】根據圖形可得：第一個、第二個、第三個圖案中陰影小正方形的個數，推出第n個圖案中陰影小正方形的個數，然后將n=2022代入計算即可.
9．（2025七上·海曙期末）有一數值轉換器，原理如圖所示，若開始輸入的x是7，則第1次輸出的結果是12，第2次輸出的結果是6，第3次輸出的結果是3，依次繼續下去，…，第2025次輸出的結果是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．8
【答案】C
【知識點】探索數與式的規律；求代數式的值-程序框圖
【解析】【解答】解：第1次輸出的結果是：
第2次輸出的結果是：
第3次輸出的結果是：
第4次輸出的結果為：
第5次輸出的結果為：
第6次輸出的結果為：
第7次輸出的結果為：
第8次輸出的結果為：
…，
可以發現：輸出的結果從第2次開始以6，3，8，4，2， 1為一個循環，
∴第2025次輸出的結果為3，
故答案為： C.
【分析】通過計算可以發現，輸出的結果從第2次開始以6，3，8，4，2， 1為一個循環，據此即可得出第2025次輸出的結果.
10．（2024七上·吳興期末）借助符號，數學語言變得簡潔明了.例如可用代數式 來表示“”(題目選自 1905年清朝學堂課本).觀察其中的規律，將“”化簡后得(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】整式的加減運算；用代數式表示幾何圖形的數量關系
【解析】【解答】解：根據題意，可知“”表示為，
化簡得：，
故答案為：D．
【分析】本題考查列代數式，整式的加減．根據給定的例題，可得：“”表示為，再進行化簡可列出代數式．
11．觀察等式： ；….已知按一定規律排列的一組數：250，251，252，…，299，2 .若 用含a 的式子表示這組數的和是（　　).
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】探索數與式的規律；有理數混合運算法則（含乘方）
【解析】【解答】解：∵2 25-2 ，
∴，
∴
=
∵
∴
故答案為：C.
【分析】觀察2 25-2 ，發現規律，，將數列表示為兩個數列之差，并應用前面發現的規律來計算最終結果.
12．（2023七上·大足期末）有依次排列的3個整式：，x，，對任意相鄰的兩個整式，都用右邊的整式減去左邊的整式，所得之差寫在這兩個整式之間，可以產生一個新整式串：則稱它為整式串1；將整式串1按上述方式再做一次操作，可以得到整式串2；以此類推．通過實際操作，得出以下結論：
①整式串2為：
②整式串3共17個整式；
③整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2；
④整式串2022的所有整式的和為．
上述四個結論錯誤的有（　　）個．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知識點】整式的加減運算；探索數與式的規律
【解析】【解答】解：①整式串2為：，故①正確；
②整式串3為：
整式串3共17個整式，故②正確；
③整式串2的和為：
整式串3的和為：
整式串3的所有整式的和比整式串2的所有整式的和小2，故③正確；
……
整式串n的和為：
④整式串2022的所有整式的和為，故④正確，
綜上，錯誤的結論為0.
故答案為：A．
【分析】根據整式的加減運算法則“先去括號（括號前面是負號，去掉括號和負號，括號里的每一項都要變號；括號前面是正號，去掉括號和正號，括號里的每一項都不變號，括號前的數要與括號里的每一項都要相乘），再合并同類項”及題干要求寫出整式串2與整式串3，即可直接判斷①與②；再根據整式加法法則分別計算出整式串2與3的和，再求出整式串2與2的差，即可判斷③；通過觀察整式串2與3的和發現規律“整式串n的和為3x-2n”，進而將n=2022代入計算可判斷④.
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.只要求填出最后結果.
13．（2025七上·海曙期末）若單項式與單項式的和仍是一個單項式，則|mn|的值是　 　.
【答案】4
【知識點】同類項的概念；求代數式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：解：∵ 單項式與單項式的和仍是一個單項式，
∴-m+1=3，n+1=3，
解得m=-2，n=2，
∴|mn|=|-2×2|=4，
故答案為：4.
【分析】根據同類項的定義“含有相同字母，并且相同字母的指數也相同的項”解題即可.
14．為落實“雙減”政策，學校利用課后服務開展了校園讀書活動，現需購買甲、乙兩種讀本共120本，其中甲讀本12元/本，乙讀本15元/本，設購買甲讀本x本，則購買兩種讀本的總費用為　 　元(用含x的代數式表示).
【答案】(-3x+1800)
【知識點】用代數式表示實際問題中的數量關系
【解析】【解答】解：設購買甲讀本x本，則購買乙讀本(120-x)本，
根據題意得，12x+15(120-x)=12x+1800-15x=-3x+1800，
故答案為：(-3x+1800) .
【分析】根據題意，先求出購買乙讀本的本數，再根據單價x數量=總價，分別求出購買甲、乙兩種讀本的費用，然后相加即可.
15．（2025七上·椒江期末）如圖是2025年1月份的日歷，“橫3”和“豎3”兩個陰影圖形分別覆蓋其中3個數字（兩個陰影圖形可以重疊覆蓋，也可以上下左右移動），設“橫3”覆蓋的數字之和為，“豎3”覆蓋的數字之和為，若，則的最小值為　 　．
【答案】51
【知識點】整式的加減運算；探索數與式的規律
【解析】【解答】解：設“橫3”中間數為，“豎3”中間數為，
由題意得：，
，
∴，
∴，
∴x、y為同一橫行上，相鄰的兩個數，
∵，
∴當最小時，最小，
根據圖可知，y的最小值為8，
∴x的最小值為，
∴的最小值為，
∴的最大值為．
故答案為：51．
【分析】設“橫3”中間數為，“豎3”中間數為，即可得到，，根據題意得到，再根據日歷得到x，y的最小值解題即可．
16．（2025七上·鄞州期末）已知 4 個互不相等的非零整數 滿足 ， 其中，則 的最小值是　 　．
【答案】
【知識點】有理數混合運算法則（含乘方）；求代數式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵且為非零整數
∴，
要使得最小，則都為最小值，
∴
∵，且最小，則
∵
∴
∵，為整數，且最小，則都為負數，
∴，，
∴，
故答案為：．
【分析】先求出為最小值時，得出，，再利用，即可得到，或，解題即可．
三、解答題：本大題7小題，共68分.
17．（2025七上·常德期末）計算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知識點】整式的加減運算；有理數混合運算法則（含乘方）
【解析】【分析】（1）先去括號（括號前面是負號，去掉括號和負號，括號里的每一項都要變號；括號前面是正號，去掉括號和正號，括號里的每一項都不變號，括號前的數要與括號里的每一項都要相乘），再合并同類項即可；
（2）先算乘方，再算括號內的乘法，進而計算括號內減法，接著計算乘法，最后計算加法即可.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．（2024七上·蘭溪期末）先化簡，再求值：，其中．
【答案】解：
解得：
當時，
原式.
【知識點】偶次方的非負性；絕對值的非負性；利用整式的加減運算化簡求值
【解析】【分析】根據偶數次冪及絕對值的非負性，由兩個非負數的和為零，則每一個數都等于零，可求得x、y的值；再將原多項式去括號（括號前面是負號，去掉括號和負號，括號里的每一項都要變號；括號前面是正號，去掉括號和正號，括號里的每一項都不變號，括號前的數要與括號里的每一項都要相乘），進而合并同類項化簡，最后將x、y的值代入化簡結果按有理數的乘法法則計算即可.
19．（2024七上·成都期中）定義：已知，為關于x的多項式，若，其中k為大于0的常數，則稱M是N的“友好式”，k叫做M關于N的“友好值”．例如：，，，則稱是的“友好式”，關于的“友好值”為．又如，，，，x不是大于的常數，則稱不是N的“友好式”．
（1）已知，，則是的“友好式”嗎？若是，請證明并求出關于的“友好值”；若不是，請說明理由；
（2）已知，，若M是N的“友好式”，且“友好值”為，求m，n的值．
【答案】（1）解：不是，理由如下
∵
，
又∵，
∴不符合定義，
∴不是的”友好式“；
（2）解：
∵是的“友好式”，
∴，
解得，
∴M與N“友好值”為，
∴，
解得，
，．
【知識點】整式的加減運算
【解析】【分析】（1）讀懂題意，利用新定義計算并判斷；
（2）利用新定義列等式求出、的值．
（1）解：
，
，
∴不符合定義，
∴不是的”友好式“；
（2）解：
∵是的“友好式”，
∴，，
∴，
∴，
，．
20．（2024七上·龍華月考）（1）觀察下列點陣圖，寫出與第4個點陣相對應的等式；
，，，______；
（2）結合（1）觀察下列點陣圖，寫出與第5個點陣相對應的等式．
，，，，______；
（3）寫出（2）中與第個點陣相對應的等式：______．
【答案】（1）；（2）；（3）
【知識點】探索數與式的規律
【解析】【解答】解：（1）前3個等式規律：
第1個：（左邊1個數，右邊對應公式 ）
第2個：（左邊2個數，右邊對應公式 ）
第3個：（左邊3個數，右邊對應公式 ）
第4個等式左邊是（4個連續自然數相加 ），按規律右邊為，即：
，
故答案為：.
（2）觀察前式：
第1個：和為，對應數（ ）
第2個：和為，對應數（ ）、（ ）
第3個：和為，對應數（ ）、（ ）
第4個：和為，對應數（ ）、（ ）
所以第5個等式左邊是（ ）和（ ）相加，右邊是，即：
，
故答案為：.
（3）結合（1）（2），左邊兩數是連續的三角形數：
第個等式中，前一個數為（對應第個三角形數 ）
后一個數為（對應第個三角形數 ）
兩數相加：
所以第個等式為：
故答案為： .
【分析】本題是找規律題型，需通過觀察點陣圖與等式的對應關系，歸納出通用規律，分三步突破：
（1）第4個點陣等式：觀察前3個等式，左邊是連續自然數相加（個數與點陣序號一致 ），右邊是“”的形式，據此推導第4個等式.
（2）第5個點陣等式：分析前4個等式（如， ），左邊是兩數相加，數的規律與“三角形數”（ ）相關，右邊是序號的平方，據此找第5個等式.
（3）第個點陣等式：結合（1）（2）的規律，將具體序號推廣到，用含的式子表示左邊兩數和（基于三角形數公式 ）與右邊的關系.
21．（2023七上·豐城期中）已知多項式A和B，且2A+B＝7ab+6a﹣2b﹣11，2B﹣A＝4ab﹣3a﹣4b+18．
閱讀材料：我們總可以通過添加括號的形式，求出多項式A和B．如：
5B＝（2A+B）+2（2B﹣A）
＝（7ab+6a﹣2b﹣11）+2（4ab﹣3a﹣4b+18）
＝15ab﹣10b+25
∴B＝3ab﹣2b+5
（1）應用材料：請用類似于閱讀材料的方法，求多項式A．
（2）小紅取a，b互為倒數的一對數值代入多項式A中，恰好得到A的值為0，求多項式B的值．
（3）聰明的小剛發現，只要字母b取一個固定的數，無論字母a取何數，B的值總比A的值大7，那么小剛所取的b的值是多少呢？
【答案】（1）解：5A＝2（2A+B）﹣（2B﹣A）
＝2（7ab+6a﹣2b﹣11）﹣（4ab﹣3a﹣4b+18）
＝14ab+12a﹣4b﹣22﹣4ab+3a+4b﹣18
＝10ab+15a﹣40，
∴A＝2ab+3a﹣8；
（2）解：根據題意知ab＝1，A＝2ab+3a﹣8＝0，
∴2+3a﹣8＝0，
解得a＝2，
∴b＝，
則B＝3ab﹣2b+5
＝3×1﹣2×+5
＝3﹣1+5
＝7；
（3）解：由題意可得：
B﹣A＝（3ab﹣2b+5）﹣（2ab+3a﹣8）
＝3ab﹣2b+5﹣2ab﹣3a+8
＝ab﹣3a﹣2b+13
＝（b﹣3）a﹣2b+13，
由題意知，B﹣A＝7且與字母a無關，
∴b﹣3＝0，即b＝3．
【知識點】整式的加減運算；去括號法則及應用
【解析】【分析】（1 ）計算5A＝2（2A+B）﹣（2B﹣A），去括號，合并同類項即可求出答案.
（2 ）根據倒數的性質可得ab＝1，A＝2ab+3a﹣8＝0，則2+3a﹣8＝0，解方程可得a的值，繼而得出b的值，再代入代數式即可求出答案.
（ 3）先計算得出B﹣A＝（3ab﹣2b+5）﹣（2ab+3a﹣8）＝（b﹣3）a﹣2b+13，根據B﹣A＝7且與字母a無關知b﹣3＝0，即可求出答案.
（1）5A＝2（2A+B）﹣（2B﹣A）
＝2（7ab+6a﹣2b﹣11）﹣（4ab﹣3a﹣4b+18）
＝14ab+12a﹣4b﹣22﹣4ab+3a+4b﹣18
＝10ab+15a﹣40，
∴A＝2ab+3a﹣8；
（2）根據題意知ab＝1，A＝2ab+3a﹣8＝0，
∴2+3a﹣8＝0，
解得a＝2，
∴b＝，
則B＝3ab﹣2b+5
＝3×1﹣2×+5
＝3﹣1+5
＝7；
（3）B﹣A＝（3ab﹣2b+5）﹣（2ab+3a﹣8）
＝3ab﹣2b+5﹣2ab﹣3a+8
＝ab﹣3a﹣2b+13
＝（b﹣3）a﹣2b+13，
由題意知，B﹣A＝7且與字母a無關，
∴b﹣3＝0，即b＝3．
22．（2024七上·南海期末）綜合運用
將圖1中的長方形紙片剪成1號、2號、3號、4號正方形和5號長方形，設1號正方形的邊長為x，2號正方形的邊長為y．
（1）求3號、4號正方形的邊長．（用含x，y的代數式表示）
（2）若題圖1中5號長方形的周長為10，試求3號正方形的邊長．
（3）在第（2）問的條件下，將這5個圖形按圖2的方式互不重疊地放入長方形中，若陰影部分的周長為70，求長方形的周長．
【答案】（1）解：∵1號正方形的邊長為x，2號正方形的邊長為y．∴3號正方形的邊長為， 4號正方形的邊長為，
（2）解：5號長方形的長為：，寬為：，5號長方形的周長為10，
∴，
∴，
號正方形的邊長為，
號正方形的邊長為；
（3）解：
由（2）可知號正方形的邊長為，
∴4號正方形的邊長為，
，
∵陰影部分的周長為70，
∴，
∴，
∴長方形的周長．
【知識點】整式的加減運算；用代數式表示幾何圖形的數量關系
【解析】【分析】（1）觀察圖形，得到3號正方形的邊長為2號正方形的邊長加上1號正方形的邊長，4號正方形的邊長為3號正方形的邊長加上1號正方形的邊長，據此求解，即可得到答案；
（2）根據題意，得到5號長方形的長為4號正方形的邊長加上1號正方形的邊長，寬為2號正方形的邊長減去1號正方形的邊長，結合5號長方形的邊長為10，列出代數式，求得，即可得到答案；
（3）根據（2）所求得到4號正方形的邊長為， 得到，根據陰影部分的周長為70，得到，求得，得到長方形的周長的代數式，即可求解.
23．（2023七上·南海月考）當你記不住九九乘法表中乘9的口訣是，你可以進行如下的操作：例如，伸出兩只手，做運算時，如圖，從左手開始數4下，數到第4根手指向下彎．這時，如圖1該手指左邊有3根手指，右邊有6根手指，可得36，即．類似的，做運算時，從左手開始數8下，數到第8根手指向下彎，這時，該手指左邊有7根手指，右邊有2根手指，可得72，即．
（1）在計算時，從左手開始數，數到第　 　根手指向下彎下，這時，該手指左邊有　 　根手指，右邊有　 　根手指；
（2）將問題一般化，我們可以解決（，且為整數）的問題．從左手開始數下，數到第根手指向下彎，此時該手指左邊有　 　根手指，右邊有　 　根手指，由此即可得　 　；
（3）小郭同學在研究的過程中發現，若是一個特殊兩位數時，如等，當這樣的兩位數與9相乘時，也能夠通過指算法求解．如圖2是的指算法過程，假設是這個兩位數的個位數字，請用含有的等式表示上述規律，并說明它的正確性．
【答案】（1）6；5；4
（2）；；
（3）解：由題意得：這個兩位數的十位數字為，
則這個兩位數為，
計算（，且為整數）的問題，從左手開始數下，數到第根手指向下彎，此時該手指左邊有根手指，右邊有根手指，由此即可得，
說明它的正確性的過程如下：
，，
.
【知識點】整式的加減運算；探索數與式的規律
【解析】【解答】解：（1） 在計算時，從左手開始數，數到第6根手指向下彎下，這時，該手指左邊有5根手指，右邊有4根手指，即6×9=54.
故答案為：6，5，4.
（2） 將問題一般化，我們可以解決（，且為整數）的問題．從左手開始數下，數到第根手指向下彎，此時該手指左邊有（n-1）根手指，右邊有(10-n)根手指，由此即可得；
故答案為：（n-1），(10-n)，.
【分析】（1）根據題干中操作求解即可；
（2）根據題干中操作求解即可；
（3）先求出這個兩位數的十位數字為，則這個兩位數為，再參照（2）可得，再利用整式的加減進行驗證即可.
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