資源簡介

第十一章《平面直角坐標系》提升卷—滬科版（2024）數學八（上）單元分層測
一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的.每小題選對得3分，選錯、不選或多選，均不得分.
1．（2025八上·慈溪期末）坐標思想是法國數學家笛卡爾創立的，在平面直角坐標系中，關于點坐標（-2，4）和（2，-4），下列結論正確的是（　　）
A．橫坐標相同 B．縱坐標相同
C．所在象限相同 D．到y軸距離相同
2．（2025七下·越秀期末） 若為方程的一組解，則點不可能在第（　　）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
3．（2025七下·南寧月考）如圖是紅軍長征路線圖，如果表示會寧會師的點的坐標為，表示吳起鎮會師的點的坐標為，則表示瑞金的點的坐標為（　　）
A． B． C． D．
4．（2024七下·遵義期末）如圖，，，為的平分線，若A點可表示為，B點可表示為，則D點可表示為(　　)
A． B． C． D．
5．（2025七下·梓潼期末）已知點A的坐標為（1，2），直線AB∥x軸，若AB=5，則點B的坐標為（　　）
A．（1，7） B．（6，2）
C．（1，7）或（1，-3） D．（6，2）或（-4，2）
6．（2025八上·蘭州期末）敦煌文書是華夏民族引以為傲的藝術瑰寶，其中敦煌《算經》中出現的《田積表》部分如圖1所示，它以表格形式將矩形土地的面積直觀展示，可迅速準確地查出邊長10步到60步的矩形田地面積，極大地提高了農田面積的測量效率．如圖2是復原的部分《田積表》，表中對田地的長和寬都用步來表示，A區域表示的是長15步，寬16步的田地面積為一畝，用有序數對記為，那么有序數對記為對應的田地面積為（　　）
A．一畝八十步 B．一畝二十步
C．半畝七十八步 D．半畝八十四步
7．（2024七下·重慶市期中）在平面直角坐標系中，將點先向右平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，最后所得點的坐標是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025七下·長沙期末）如圖，在平面直角坐標系中長方形是由7個小長方形拼成（不重疊），其中有6個小長方形的形狀、大小相同，且點A在x軸上，若、，則的值為（　　）
A． B．1 C．6 D．7
9．如圖，所有正方形的中心均在坐標原點，且各邊與x軸或y軸平行，從內到外，它們的邊長依次為2，4，6，8，…頂點依次用. 表示，則頂點 A55的坐標是（　　）.
A．（13，13） B．（-13，-13）
C．（14，14） D．（-14，-14）
10．（2024七下·重慶市月考）如圖，點，的坐標分別為，.若將線段平移至，點，的坐標分別為，，則的值為(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
11．（2025七下·南雄月考）如圖，將點向上平移個單位長度，再向右平移個單位長度，得到點；將點向上平移個單位長度，再向右平移個單位長度，得到點；將點A3向上平移個單位長度，再向右平移個單位長度，得到點；……．按照這個規律平移得到點，則點的橫坐標為（　　）
A． B． C． D．
12．（2025七下·義烏月考）七年級某班有48名學生，所在教室有6行8列座位，用（m，n）表示第m行第n列的座位，新學期準備調整座位.設某個學生原來的座位為（m，n），若調整后的座位為（i，j），則稱該生作了平移[a，b]=[m-i，n-j]，并稱a+b為該生的位置數.某生的位置數為8，當m+n取最小值時，則mn的最大值為（　　）
A．25 B．30 C．36 D．48
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.只要求填出最后結果.
13．（2025七下·東莞期中）在平面直角坐標系中，點在第二象限，到軸，軸的距離分別為，則點的坐標為　 　．
14．（2025七下·通渭期中）在平面直角坐標系中，對于點，我們把點叫作點的伴隨點．已知的伴隨點為的伴隨點為的伴隨點為，這樣依次得到．若點的坐標為，則點的坐標為　 　．
15．（2025七下·南充期中）如圖，三角形中任意一點向左平移3個單位長度后，點的對應點恰好在軸上，將三角形同樣向左平移3個單位長度得到三角形．若點的坐標是，則點的對應點的坐標是　 　．
16．（2024七下·合江期中）如圖， 已知點A， B的坐標分別為， ，將沿x軸向右平移，使點B平移到點E，得到，若，則點C的坐標為　 　．
三、解答題：本大題7小題，共68分.
17．（2024七下·陽東期末）廣東省廣州市的長隆野生動物世界是國內最大的野生動物保護基地之一，擁有超過500種、逾2萬只陸生動物，是游客們了解廣州必到的勝地．如圖是長隆野生動物世界部分景點的分布示意圖，分別以正東、正北方向為x軸、y軸的正方向建立平面直角坐標系，并且“五彩廣場”和“考拉園”的坐標分別是和．
（1）根據題意，畫出正確的平面直角坐標系．
（2）“百虎山”的坐標為______；“熊貓樂園”的坐標為______．
（3）小明現在在“熊貓樂園”，想要前往“百虎山”（只能走網格，每個網格為一個單位長度），可以先向上走______個單位長度，再向______走______個單位長度．
18．（2025七下·雨花期末）在平面直角坐標系中，已知點的坐標為．
（1）若點在軸上，求m的值；
（2）若點到坐標軸距離相等，求m的值．
（3）判斷是否可能在第三象限，如果可能，求出m的取值范圍，若不可能，請說明理由。
19．（2025七下·惠州期中）如圖，三角形ABC的頂點A在原點，B，C坐標分別為B(3，0)，C(2，2)，將三角形ABC向左平移1個單位后再向下平移2個單位，可得到三角形．
（1）請畫出平移后的三角形的圖形．
（2）寫出三角形各個頂點的坐標．
（3）在x軸上是否存在點P，使三角形ACP的面積等于三角形ABC面積的一半，若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
20．（2025七下·江城期中）我省某大學生機器人戰隊在全國比賽中取得優異成績，機器人的行走由編程控制，可近似理解為機器人站在格點上，把行走區域看作網格，沿格線行走，每走一步為一個單位長度，然后轉化為程序語言．如圖，從點B走到點C記作，從點B走到點A記作．
（1）從點B到點D可記作______．
（2）若一個機器人從點C出發，按照行走后到達點E，請在圖中標出點E的位置．
（3）若圖中另有兩個格點M，N，從點M走到點A記作，從點M走到點N記作，則點A走到點N應記作什么？
21．（2025七下·雨花期末）在平面直角坐標系中，若點N（x，y）的坐標滿足2x+y＝3，則我們稱點N為“健康點”；若點Q（x，y）的坐標滿足x﹣2y＝﹣1，則我們稱Q為“快樂點”。
（1）若點A（a，b）既是“健康點”又是“快樂點”，則點A的坐標為 　 　 ；
（2）在（1）的條件下，若點B是x軸上的“快樂點”，點C是y軸上的“健康點”，如果P為x軸上一點，且三角形BPC是三角形ABC面積的3倍，求點P的坐標；
（3）在上述條件下，直線AB與x軸所夾的銳角為α，直線AC與y軸所夾的銳角為β，試探究∠BAC與α和β之間的數量關系，并說明理由.
22．（2024七下·海珠期中）如圖，在平面直角坐標系中，已知，，其中a，b滿足．
（1）填空： ， ；
（2）若在第三象限內有一點，用含m的式子表示的面積；
（3）在（2）條件下，線段與y軸相交于，當時，點P是y軸上的動點，當滿足的面積是的面積的2倍時，求點P的坐標．
23．（2024七下·廣州期中）在平面直角坐標系中，對于點P，給出如下定義：
點P的“第Ⅰ類變換”：將點P向左平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度；
點P的“第Ⅱ類變換”：將點P向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度．
（1）①點A的坐標為，對點A進行1次“第Ⅰ類變換”后得到的點的坐標為　 　；
②點B為平面內一點，若對點B進行1次“第Ⅰ類變換”后得到點，則對點B進行1次“第Ⅱ類變換”后得到的點的坐標為　 　；
（2）點C在x軸上，若對點C進行a次“第Ⅰ類變換”，再進行b次“第Ⅱ類變換”后，所得到的點仍在x軸上，直接用等式表示a與b的數量關系為　 　；
（3）點P的坐標，對點P進行“第1類變換”和“第Ⅱ類變換”共計20次后得到點Q，請問是否存在一種上述兩類變換的組合，使得點Q恰好在y軸上？如果存在，請求出此時點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知識點】點的坐標
【解析】【解答】解：點 在第二象限，橫坐標為 縱坐標為4，到y軸距離為2；
點 )在第四象限，橫坐標為2，縱坐標為 到y軸距離為2；
故答案為：D.
【分析】根據點的坐標的意義是解題的關鍵.根據點的坐標的意義判斷即可.
2．【答案】B
【知識點】點的坐標與象限的關系；已知二元一次方程的解求參數
【解析】【解答】
解： ∵為方程的一組解
∴2a-b=5
∴b=2a-5
當a＞0時，假設a=3，則b=1，此時點P坐標為（3，1）在第一象限；
假設假設a=1，則b=-3，此時點P坐標為（1，-3）在第四象限；
當a＜0時，假設a=-1，則b=-7，此時點P坐標為（-1，-7）在第三象限；
故點P不可能在第二象限；
故答案為：B.
【分析】根據二元一次方程的解的定義：將x=a和y=b代入方程可得：2a-b=5，移項得：b=2a-5；假設a的值，代入得出b的值，再根據象限內點的坐標特征：第一象限(+，+)、第二象限(-，+)、第三象限(-，-)、第四象限(+，-)，橫、縱坐標的符號判斷點所在象限，由此可得出答案.
3．【答案】C
【知識點】用坐標表示地理位置；平面直角坐標系的構成
【解析】【解答】解：建立平面直角坐標系，如圖所示：
表示瑞金的點的坐標為．
故答案為：C．
【分析】先建立平面直角坐標系，再根據平面直角坐標系直接求出瑞金表示的點坐標即可.
4．【答案】A
【知識點】角平分線的概念；用方向和距離確定物體的位置
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵為的平分線，
∴，
∴，
∵A點可表示為，B點可表示為，
∴D點可表示為：．
故答案為：A．
【分析】根據已知條件“A點可表示為，B點可表示為，可知2，4代表圓環上數字，角度是與邊的夾角；由此需要得出D點所在圓環位置及的度數才可以正確的表示D；由角平分線的性質得出，進而得出的度數為90°，即D點可表示為：.
5．【答案】D
【知識點】坐標與圖形性質
【解析】【解答】解：∵AB∥x軸，點A的坐標為（1，2），
∴點B的縱坐標為2，
∵AB=5，
∴點B在點A的左邊時，橫坐標為1-5=-4，
點B在點A的右邊時，橫坐標為1+5=6，
∴點B的坐標為（-4，2）或（6，2）．
故答案為：D．
【分析】根據平行于x軸的直線上的點的縱坐標相等求出點B的縱坐標，再分點B在點A的左邊與右邊兩種情況求出點B的橫坐標，即可得解.
6．【答案】D
【知識點】有序數對
【解析】【解答】解：根據可得，橫從上面從右向左看，縱從右邊自下而上看，
故對應的是半畝八十四步，
故答案為：D．
【分析】根據可知坐標與位置的關系，即可求得（12，17）.
7．【答案】B
【知識點】用坐標表示平移
【解析】【解答】解：將點先向右平移3個單位，再向上平移2個單位，最后所得點的坐標是，
故選：B．
【分析】
平移時點的坐標變化規律：水平移動，橫坐標左減右加，豎立移動，縱坐標上加下減．
8．【答案】C
【知識點】坐標與圖形性質；二元一次方程組的應用-幾何問題
【解析】【解答】解：設小長方形的長為，寬為，
∵點，
∴大長方形的長：，寬．
觀察可得：OA：，OC：，
解得：，，
∴點的橫坐標，縱坐標，
∴，
∴的值為6，
故答案為：C．
【分析】設小長方形的長為，寬為，根據大長方形的長與寬和小長方形長與寬的關系列出方程組，，，求解得、的值，進而可得點的坐標，最后計算的值即可．
9．【答案】C
【知識點】點的坐標；探索數與式的規律
【解析】【解答】解：每四個點一圈進行循環，每一圈第一個點在第三象限.
∵55÷4=13......3，
∴A55是第13圈的第三個點，
3，A7(2，2)；11=4×2+3，A11=(3，3)；…，
∴55=4×13+3，A55(14，14).故答案為：C
【分析】先找出點的循環規律，確定A55所在的象限，再通過分析特殊點坐標的規律來求出A55的坐標。
10．【答案】B
【知識點】沿著坐標軸方向平移的點的坐標特征
【解析】【解答】解：由A平移至A'，即向上平移4個單位，而B平移至B'即向左平移2個單位，故0-2=m，1+4=n，得m=-2，n=5，故m+n=3
答案：B.
【分析】根據平移的規律，A到A'與B至B'平移方式一樣，即可得m、n的值.
11．【答案】B
【知識點】坐標與圖形變化﹣平移；探索規律-點的坐標規律
【解析】【解答】解：根據題意得的橫坐標為，
的橫坐標為，
的橫坐標為，
的橫坐標為，
按這個規律平移得到點，則的橫坐標為，
按照這個規律平移得到點，則點的橫坐標為，
故選：B ．
【分析】根據題意得出的橫坐標為，的橫坐標為，的橫坐標為，的橫坐標為，按這個規律平移得到點，則的橫坐標為，即可得到答案
12．【答案】A
【知識點】用方向和距離確定物體的位置
【解析】【解答】解：∵[a，b]=[m-i，n-j]，
∴a+b=m-i+n-j=m+n-(i+j)，
又∵a+b=8，
∴m+n-(i+j)=8，即m+n=i+j+8，
∵1≤i≤ 6，l≤j≤8，且i、j都是整數，
∴m+n的最小值為10，
當m=2，n=8時，mn=16，
當m=3，n=7時，mn=21，
當m=4，n=6時，mn=24，
當m=5，n=5時，mn=25，
當m=6，n=4時，mn=24，
即mn的最大值為25，
故答案為：A.
【分析】根據1≤i≤6，l≤ j≤8，且i、j都是整數，某生的位置數為8，可得出m+n的最小值，在分別列出m、n為符合條件的整數時mn的值，從而得出答案.
13．【答案】
【知識點】點的坐標；點的坐標與象限的關系
【解析】【解答】解：∵點在第二象限，
∴點的橫坐標為負數，縱坐標為正數，
又∵點到軸，軸的距離分別為，
∴點的橫坐標為，縱坐標為，
∴點的坐標為，
故答案為：．
【分析】利用點坐標與象限的關系可得點的橫坐標為負數，縱坐標為正數，再結合點到軸，軸的距離分別為，最后求出點M的坐標即可.
14．【答案】
【知識點】點的坐標
【解析】【解答】解：點的坐標為，根據伴隨點的定義得，
，，，，…
依此類推，每4個點為一個循環組依次循環，
，
∴當時，有
點的坐標為為．
故答案為：．
【分析】根據伴隨點的定義依次求出各點的坐標，每4個點為一個循環組依次循環，用2025除以4，根據商和余數的情況確定點的坐標．
15．【答案】
【知識點】坐標與圖形變化﹣平移
【解析】【解答】解：∵三角形中任意一點向左平移3個單位長度后，點的對應點恰好在軸上，
∴，解得，
∴點的坐標是，
∴點的對應點的坐標是，
故答案為．
【分析】根據平移的性質得到，求出m的值，即可求得點B的坐標，進而可得到點的對應點的坐標．
16．【答案】
【知識點】坐標與圖形變化﹣平移
【解析】【解答】解：，
，
，
，
即沿軸正方向平移2個單位長度得到，
，
點的坐標為．
故答案為：．
【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化平移，解題關鍵是掌握點的坐標的變化規律：橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減．根據得出，求出，則沿軸正方向平移2個單位長度得到，即可求解．
17．【答案】（1）解：因為“五彩廣場”和“考拉園”的坐標分別是和，所以平面直角坐標系如圖所示．
（2），
（3）5，左，1
【知識點】點的坐標；用坐標表示地理位置；坐標與圖形性質；平面直角坐標系的構成
【解析】【解答】（2）解：由（1）中所建平面直角坐標系可知，
“百虎山”的坐標為，“熊貓樂園”的坐標為．
故答案為：，．
（3）解：根據“熊貓樂園”的坐標為， “百虎山”的坐標為，可以得出從“熊貓樂園”前往“百虎山”可以先向上走5個單位長度，再向左走1個單位長度，
故答案為：5 ； 左 ； 1．
【分析】（1）根據“五彩廣場”和“考拉園”的坐標，直接建立平面直角坐標系即可；
（2）根據平面直角坐標系直接求出點坐標即可；
（3）利用點坐標平移的特征（上加下減、左減右加）分析求解即可.
18．【答案】（1）解：依題意5-2m=0，解得.
（2）解：依題意
若3m-2=5-2m，則；
若3m-2=2m-5，則m=-3。
綜上可知m=-3或
（3）解：不可能，理由如下：
假設點P在第三象限，則
該不等式組無解
∴點P不可能在第三象限。
【知識點】坐標與圖形性質；點的坐標與象限的關系
【解析】【分析】（1）位于x軸上的點縱坐標為0，故5-2m=0，解得；
（2）點到x軸的距離等于縱坐標的絕對值，到y軸的距離等于橫坐標的絕對值，因此，絕對值相等的兩個數要么相等，要么互為相反數，故3m-2=5-2m或3m-2=2m-5，解得m=-3或；
（3）點在第三象限，則橫縱坐標都小于0，解不等式組發現無解，故點P不可能在第三象限。
19．【答案】解：（1）如圖所示：
（2）A'（﹣1，﹣2），B'（2，﹣2），C'（1，0）；
（3）存在點P的坐標，P1（，0），P2（﹣，0）．
【知識點】平移的性質；坐標與圖形變化﹣平移；作圖﹣平移
【解析】【解答】解：（3）存在點P的坐標，
設P（x，0），則OP＝|x|，∵△ACP的面積等于△ABC面積的一半，
∴OP×2＝AB×2，
∴|x|×2＝3×2，
解得x＝±，
∴P1（，0），P2（﹣，0）．
【分析】（1）根據網格結構找出點A、B、C平移后的對應點A'、B'、C'的位置，然后順次連接，作圖求解即可；
（2）根據平面直角坐標系求出點的坐標即可；
（3）先求出OP＝|x|，再利用三角形的面積公式計算求解即可。
20．【答案】（1）
（2）解：點E的位置如圖所示，
（3）解：∵從點M走到點A記作，從點M走到點N記作，
∴，，
∴點A向上走4個格點，向右走2個格點到點N，
∴點A走到點N應記作．
【知識點】整式的加減運算；點的坐標；坐標與圖形變化﹣平移；正數、負數的實際應用
【解析】【解答】（1）解：由規定：向上向右走均為正，向下向左走均為負，
從點B到點D可記作；
故答案為：；
【分析】（1）根據“向上向右走均為正，向下向左走均為負”分析求解即可；（2）利用“機器人的行走路線”及“向上向右走均為正，向下向左走均為負”分析求解即可；（3）根據題意列出算式求解即可.
（1）解：由規定：向上向右走均為正，向下向左走均為負，
從點B到點D可記作；
故答案為；
（2）解：點E的位置如圖所示，
；
（3）解：∵從點M走到點A記作，從點M走到點N記作，
∴，，
∴點A向上走4個格點，向右走2個格點到點N，
∴點A走到點N應記作．
21．【答案】（1）（1，1）
（2）解：∵B是x軸上的“快樂點”，
在x﹣2y＝﹣1中，令y＝0得x＝﹣1，
∴B（﹣1，0），
∵C是y軸上的“健康點”，
在2x+y＝3中，令x＝0得y＝3，
∴C（0，3），
∴S△ABC＝2×3﹣×1×2﹣×1×2﹣×1×3＝，
設點P（a，0），
∴×3 |a+1|＝，
∴a＝﹣6或4，
∴點P的坐標為（﹣6，0）或（4，0）
（3）解：∠CAB＝90°﹣β+α．理由如下：
過A作AM⊥y軸交于M，過C作CH⊥y軸，
∴∠BAM＝α，∠HCA＝∠CAM＝90°﹣β，
∴∠CAB＝90°﹣β+α
【知識點】解一元一次不等式組；點的坐標；平行線的性質
【解析】【解析】（1）解：點A(a，2）代入2x+y=3得：2a+b=3，
代入x-2y=-1得：a-2b=-1，
可得不等式組
解得，
則點的坐標為（1，1），
故答案為：（1，1）.
【分析】（1）將點A(a，2）分別代入2x+y=3和x-2y=-1可得二元一次方程組，解二元一次方程組即可得；
（2）先求出點B，C的坐標，再設點P的坐標為P(a，0），根據 三角形BPC是三角形ABC面積的3倍 建立方程，解方程即可得；
（3）過點A作AM⊥y軸于點M，過點C作CH⊥y軸于點H，則AM∥CH∥x軸，再根據平行線的性
質可得∠BAM和∠CAM，然后根據∠BAC=∠BAM+∠CAM求解即可得.
22．【答案】（1），3
（2）解：∵，∴，，
∴，
∵，且M在第三象限，
∴，
∴的面積；
（3）解：當時，則，，
∵的面積的面積的2倍，
∵的面積的面積的面積，
解得：，
∵，
∴，
當點P在點C的下方時，，即；
當點P在點C的上方時，，即；
綜上所述，點P的坐標為或．
【知識點】坐標與圖形性質；算術平方根的性質（雙重非負性）；絕對值的非負性
【解析】【解答】解：（1）∵a、b滿足，
∴，且，
∴，
故答案為：；
【分析】（1）根據偶次根式和偶次方的非負形，得到，且，求得a和b的值，即可得到答案；
（2）根據題意，利用三角形面積公式，結合的面積，即可求解；
（3）當時，得到，且，根據的面積是的面積的2倍，列出方程，求得的長，得出，分點P在點C的下方和點P在點C的上方，兩種情況討論，進而求得點P的坐標，得到答案.
23．【答案】（1）①；②
（2）
（3）解：不存在，理由如下：設經過次“第1類變換”，經過次“第Ⅱ類變換”，使得點恰好在軸上，
點的坐標，對點進行“第1類變換”和“第Ⅱ類變換”共計20次后得到點，點恰好在軸上，
，
，
為非負整數，
不合題意舍去，
不存在一種上述兩類變換的組合，使得點恰好在軸上．
【知識點】點的坐標；沿著坐標軸方向平移的點的坐標特征
【解析】【解答】解：（1）①點的坐標為，
點進行1次“第Ⅰ類變換”后得到的點的坐標，
故答案為：；
②點進行1次“第Ⅰ類變換”后得到點，
點坐標為，
點進行1次“第Ⅱ類變換”后得到的點的坐標為，
故答案為：；
解：（2）設點，
點進行次“第Ⅰ類變換”，再進行次“第Ⅱ類變換”后，所得到的點仍在軸上，
，
，
故答案為：；
【分析】
（1）①利用點的“第Ⅰ類變換”的定義，即可求得點進行1次“第Ⅰ類變換”后得到的點的坐標，得到答案；
②利用點的“第Ⅰ類變換”的定義，以及點的“第Ⅱ類變換”的定義，求得變換后點的坐標，即可得到答案；
（2）利用點的“第Ⅰ類變換”的定義和點的“第Ⅱ類變換”的定義，列出方程，化簡得到，即可求解；
（3）利用點的“第Ⅰ類變換”的定義和點的“第Ⅱ類變換”的定義，列出方程，求得m的值，結合為非負整數，即可得到答案.
（1）解：①點的坐標為，
點進行1次“第Ⅰ類變換”后得到的點的坐標，
故答案為：；
②點進行1次“第Ⅰ類變換”后得到點，
點坐標為，
點進行1次“第Ⅱ類變換”后得到的點的坐標為，
故答案為：；
（2）設點，
點進行次“第Ⅰ類變換”，再進行次“第Ⅱ類變換”后，所得到的點仍在軸上，
，
，
故答案為：；
（3）不存在，理由如下：
設經過次“第1類變換”，經過次“第Ⅱ類變換”，使得點恰好在軸上，
點的坐標，對點進行“第1類變換”和“第Ⅱ類變換”共計20次后得到點，點恰好在軸上，
，
，
為非負整數，
不合題意舍去，
不存在一種上述兩類變換的組合，使得點恰好在軸上．
1 / 1第十一章《平面直角坐標系》提升卷—滬科版（2024）數學八（上）單元分層測
一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的.每小題選對得3分，選錯、不選或多選，均不得分.
1．（2025八上·慈溪期末）坐標思想是法國數學家笛卡爾創立的，在平面直角坐標系中，關于點坐標（-2，4）和（2，-4），下列結論正確的是（　　）
A．橫坐標相同 B．縱坐標相同
C．所在象限相同 D．到y軸距離相同
【答案】D
【知識點】點的坐標
【解析】【解答】解：點 在第二象限，橫坐標為 縱坐標為4，到y軸距離為2；
點 )在第四象限，橫坐標為2，縱坐標為 到y軸距離為2；
故答案為：D.
【分析】根據點的坐標的意義是解題的關鍵.根據點的坐標的意義判斷即可.
2．（2025七下·越秀期末） 若為方程的一組解，則點不可能在第（　　）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】B
【知識點】點的坐標與象限的關系；已知二元一次方程的解求參數
【解析】【解答】
解： ∵為方程的一組解
∴2a-b=5
∴b=2a-5
當a＞0時，假設a=3，則b=1，此時點P坐標為（3，1）在第一象限；
假設假設a=1，則b=-3，此時點P坐標為（1，-3）在第四象限；
當a＜0時，假設a=-1，則b=-7，此時點P坐標為（-1，-7）在第三象限；
故點P不可能在第二象限；
故答案為：B.
【分析】根據二元一次方程的解的定義：將x=a和y=b代入方程可得：2a-b=5，移項得：b=2a-5；假設a的值，代入得出b的值，再根據象限內點的坐標特征：第一象限(+，+)、第二象限(-，+)、第三象限(-，-)、第四象限(+，-)，橫、縱坐標的符號判斷點所在象限，由此可得出答案.
3．（2025七下·南寧月考）如圖是紅軍長征路線圖，如果表示會寧會師的點的坐標為，表示吳起鎮會師的點的坐標為，則表示瑞金的點的坐標為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】用坐標表示地理位置；平面直角坐標系的構成
【解析】【解答】解：建立平面直角坐標系，如圖所示：
表示瑞金的點的坐標為．
故答案為：C．
【分析】先建立平面直角坐標系，再根據平面直角坐標系直接求出瑞金表示的點坐標即可.
4．（2024七下·遵義期末）如圖，，，為的平分線，若A點可表示為，B點可表示為，則D點可表示為(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】角平分線的概念；用方向和距離確定物體的位置
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵為的平分線，
∴，
∴，
∵A點可表示為，B點可表示為，
∴D點可表示為：．
故答案為：A．
【分析】根據已知條件“A點可表示為，B點可表示為，可知2，4代表圓環上數字，角度是與邊的夾角；由此需要得出D點所在圓環位置及的度數才可以正確的表示D；由角平分線的性質得出，進而得出的度數為90°，即D點可表示為：.
5．（2025七下·梓潼期末）已知點A的坐標為（1，2），直線AB∥x軸，若AB=5，則點B的坐標為（　　）
A．（1，7） B．（6，2）
C．（1，7）或（1，-3） D．（6，2）或（-4，2）
【答案】D
【知識點】坐標與圖形性質
【解析】【解答】解：∵AB∥x軸，點A的坐標為（1，2），
∴點B的縱坐標為2，
∵AB=5，
∴點B在點A的左邊時，橫坐標為1-5=-4，
點B在點A的右邊時，橫坐標為1+5=6，
∴點B的坐標為（-4，2）或（6，2）．
故答案為：D．
【分析】根據平行于x軸的直線上的點的縱坐標相等求出點B的縱坐標，再分點B在點A的左邊與右邊兩種情況求出點B的橫坐標，即可得解.
6．（2025八上·蘭州期末）敦煌文書是華夏民族引以為傲的藝術瑰寶，其中敦煌《算經》中出現的《田積表》部分如圖1所示，它以表格形式將矩形土地的面積直觀展示，可迅速準確地查出邊長10步到60步的矩形田地面積，極大地提高了農田面積的測量效率．如圖2是復原的部分《田積表》，表中對田地的長和寬都用步來表示，A區域表示的是長15步，寬16步的田地面積為一畝，用有序數對記為，那么有序數對記為對應的田地面積為（　　）
A．一畝八十步 B．一畝二十步
C．半畝七十八步 D．半畝八十四步
【答案】D
【知識點】有序數對
【解析】【解答】解：根據可得，橫從上面從右向左看，縱從右邊自下而上看，
故對應的是半畝八十四步，
故答案為：D．
【分析】根據可知坐標與位置的關系，即可求得（12，17）.
7．（2024七下·重慶市期中）在平面直角坐標系中，將點先向右平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，最后所得點的坐標是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】用坐標表示平移
【解析】【解答】解：將點先向右平移3個單位，再向上平移2個單位，最后所得點的坐標是，
故選：B．
【分析】
平移時點的坐標變化規律：水平移動，橫坐標左減右加，豎立移動，縱坐標上加下減．
8．（2025七下·長沙期末）如圖，在平面直角坐標系中長方形是由7個小長方形拼成（不重疊），其中有6個小長方形的形狀、大小相同，且點A在x軸上，若、，則的值為（　　）
A． B．1 C．6 D．7
【答案】C
【知識點】坐標與圖形性質；二元一次方程組的應用-幾何問題
【解析】【解答】解：設小長方形的長為，寬為，
∵點，
∴大長方形的長：，寬．
觀察可得：OA：，OC：，
解得：，，
∴點的橫坐標，縱坐標，
∴，
∴的值為6，
故答案為：C．
【分析】設小長方形的長為，寬為，根據大長方形的長與寬和小長方形長與寬的關系列出方程組，，，求解得、的值，進而可得點的坐標，最后計算的值即可．
9．如圖，所有正方形的中心均在坐標原點，且各邊與x軸或y軸平行，從內到外，它們的邊長依次為2，4，6，8，…頂點依次用. 表示，則頂點 A55的坐標是（　　）.
A．（13，13） B．（-13，-13）
C．（14，14） D．（-14，-14）
【答案】C
【知識點】點的坐標；探索數與式的規律
【解析】【解答】解：每四個點一圈進行循環，每一圈第一個點在第三象限.
∵55÷4=13......3，
∴A55是第13圈的第三個點，
3，A7(2，2)；11=4×2+3，A11=(3，3)；…，
∴55=4×13+3，A55(14，14).故答案為：C
【分析】先找出點的循環規律，確定A55所在的象限，再通過分析特殊點坐標的規律來求出A55的坐標。
10．（2024七下·重慶市月考）如圖，點，的坐標分別為，.若將線段平移至，點，的坐標分別為，，則的值為(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知識點】沿著坐標軸方向平移的點的坐標特征
【解析】【解答】解：由A平移至A'，即向上平移4個單位，而B平移至B'即向左平移2個單位，故0-2=m，1+4=n，得m=-2，n=5，故m+n=3
答案：B.
【分析】根據平移的規律，A到A'與B至B'平移方式一樣，即可得m、n的值.
11．（2025七下·南雄月考）如圖，將點向上平移個單位長度，再向右平移個單位長度，得到點；將點向上平移個單位長度，再向右平移個單位長度，得到點；將點A3向上平移個單位長度，再向右平移個單位長度，得到點；……．按照這個規律平移得到點，則點的橫坐標為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】坐標與圖形變化﹣平移；探索規律-點的坐標規律
【解析】【解答】解：根據題意得的橫坐標為，
的橫坐標為，
的橫坐標為，
的橫坐標為，
按這個規律平移得到點，則的橫坐標為，
按照這個規律平移得到點，則點的橫坐標為，
故選：B ．
【分析】根據題意得出的橫坐標為，的橫坐標為，的橫坐標為，的橫坐標為，按這個規律平移得到點，則的橫坐標為，即可得到答案
12．（2025七下·義烏月考）七年級某班有48名學生，所在教室有6行8列座位，用（m，n）表示第m行第n列的座位，新學期準備調整座位.設某個學生原來的座位為（m，n），若調整后的座位為（i，j），則稱該生作了平移[a，b]=[m-i，n-j]，并稱a+b為該生的位置數.某生的位置數為8，當m+n取最小值時，則mn的最大值為（　　）
A．25 B．30 C．36 D．48
【答案】A
【知識點】用方向和距離確定物體的位置
【解析】【解答】解：∵[a，b]=[m-i，n-j]，
∴a+b=m-i+n-j=m+n-(i+j)，
又∵a+b=8，
∴m+n-(i+j)=8，即m+n=i+j+8，
∵1≤i≤ 6，l≤j≤8，且i、j都是整數，
∴m+n的最小值為10，
當m=2，n=8時，mn=16，
當m=3，n=7時，mn=21，
當m=4，n=6時，mn=24，
當m=5，n=5時，mn=25，
當m=6，n=4時，mn=24，
即mn的最大值為25，
故答案為：A.
【分析】根據1≤i≤6，l≤ j≤8，且i、j都是整數，某生的位置數為8，可得出m+n的最小值，在分別列出m、n為符合條件的整數時mn的值，從而得出答案.
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分.只要求填出最后結果.
13．（2025七下·東莞期中）在平面直角坐標系中，點在第二象限，到軸，軸的距離分別為，則點的坐標為　 　．
【答案】
【知識點】點的坐標；點的坐標與象限的關系
【解析】【解答】解：∵點在第二象限，
∴點的橫坐標為負數，縱坐標為正數，
又∵點到軸，軸的距離分別為，
∴點的橫坐標為，縱坐標為，
∴點的坐標為，
故答案為：．
【分析】利用點坐標與象限的關系可得點的橫坐標為負數，縱坐標為正數，再結合點到軸，軸的距離分別為，最后求出點M的坐標即可.
14．（2025七下·通渭期中）在平面直角坐標系中，對于點，我們把點叫作點的伴隨點．已知的伴隨點為的伴隨點為的伴隨點為，這樣依次得到．若點的坐標為，則點的坐標為　 　．
【答案】
【知識點】點的坐標
【解析】【解答】解：點的坐標為，根據伴隨點的定義得，
，，，，…
依此類推，每4個點為一個循環組依次循環，
，
∴當時，有
點的坐標為為．
故答案為：．
【分析】根據伴隨點的定義依次求出各點的坐標，每4個點為一個循環組依次循環，用2025除以4，根據商和余數的情況確定點的坐標．
15．（2025七下·南充期中）如圖，三角形中任意一點向左平移3個單位長度后，點的對應點恰好在軸上，將三角形同樣向左平移3個單位長度得到三角形．若點的坐標是，則點的對應點的坐標是　 　．
【答案】
【知識點】坐標與圖形變化﹣平移
【解析】【解答】解：∵三角形中任意一點向左平移3個單位長度后，點的對應點恰好在軸上，
∴，解得，
∴點的坐標是，
∴點的對應點的坐標是，
故答案為．
【分析】根據平移的性質得到，求出m的值，即可求得點B的坐標，進而可得到點的對應點的坐標．
16．（2024七下·合江期中）如圖， 已知點A， B的坐標分別為， ，將沿x軸向右平移，使點B平移到點E，得到，若，則點C的坐標為　 　．
【答案】
【知識點】坐標與圖形變化﹣平移
【解析】【解答】解：，
，
，
，
即沿軸正方向平移2個單位長度得到，
，
點的坐標為．
故答案為：．
【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化平移，解題關鍵是掌握點的坐標的變化規律：橫坐標，右移加，左移減；縱坐標，上移加，下移減．根據得出，求出，則沿軸正方向平移2個單位長度得到，即可求解．
三、解答題：本大題7小題，共68分.
17．（2024七下·陽東期末）廣東省廣州市的長隆野生動物世界是國內最大的野生動物保護基地之一，擁有超過500種、逾2萬只陸生動物，是游客們了解廣州必到的勝地．如圖是長隆野生動物世界部分景點的分布示意圖，分別以正東、正北方向為x軸、y軸的正方向建立平面直角坐標系，并且“五彩廣場”和“考拉園”的坐標分別是和．
（1）根據題意，畫出正確的平面直角坐標系．
（2）“百虎山”的坐標為______；“熊貓樂園”的坐標為______．
（3）小明現在在“熊貓樂園”，想要前往“百虎山”（只能走網格，每個網格為一個單位長度），可以先向上走______個單位長度，再向______走______個單位長度．
【答案】（1）解：因為“五彩廣場”和“考拉園”的坐標分別是和，所以平面直角坐標系如圖所示．
（2），
（3）5，左，1
【知識點】點的坐標；用坐標表示地理位置；坐標與圖形性質；平面直角坐標系的構成
【解析】【解答】（2）解：由（1）中所建平面直角坐標系可知，
“百虎山”的坐標為，“熊貓樂園”的坐標為．
故答案為：，．
（3）解：根據“熊貓樂園”的坐標為， “百虎山”的坐標為，可以得出從“熊貓樂園”前往“百虎山”可以先向上走5個單位長度，再向左走1個單位長度，
故答案為：5 ； 左 ； 1．
【分析】（1）根據“五彩廣場”和“考拉園”的坐標，直接建立平面直角坐標系即可；
（2）根據平面直角坐標系直接求出點坐標即可；
（3）利用點坐標平移的特征（上加下減、左減右加）分析求解即可.
18．（2025七下·雨花期末）在平面直角坐標系中，已知點的坐標為．
（1）若點在軸上，求m的值；
（2）若點到坐標軸距離相等，求m的值．
（3）判斷是否可能在第三象限，如果可能，求出m的取值范圍，若不可能，請說明理由。
【答案】（1）解：依題意5-2m=0，解得.
（2）解：依題意
若3m-2=5-2m，則；
若3m-2=2m-5，則m=-3。
綜上可知m=-3或
（3）解：不可能，理由如下：
假設點P在第三象限，則
該不等式組無解
∴點P不可能在第三象限。
【知識點】坐標與圖形性質；點的坐標與象限的關系
【解析】【分析】（1）位于x軸上的點縱坐標為0，故5-2m=0，解得；
（2）點到x軸的距離等于縱坐標的絕對值，到y軸的距離等于橫坐標的絕對值，因此，絕對值相等的兩個數要么相等，要么互為相反數，故3m-2=5-2m或3m-2=2m-5，解得m=-3或；
（3）點在第三象限，則橫縱坐標都小于0，解不等式組發現無解，故點P不可能在第三象限。
19．（2025七下·惠州期中）如圖，三角形ABC的頂點A在原點，B，C坐標分別為B(3，0)，C(2，2)，將三角形ABC向左平移1個單位后再向下平移2個單位，可得到三角形．
（1）請畫出平移后的三角形的圖形．
（2）寫出三角形各個頂點的坐標．
（3）在x軸上是否存在點P，使三角形ACP的面積等于三角形ABC面積的一半，若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】解：（1）如圖所示：
（2）A'（﹣1，﹣2），B'（2，﹣2），C'（1，0）；
（3）存在點P的坐標，P1（，0），P2（﹣，0）．
【知識點】平移的性質；坐標與圖形變化﹣平移；作圖﹣平移
【解析】【解答】解：（3）存在點P的坐標，
設P（x，0），則OP＝|x|，∵△ACP的面積等于△ABC面積的一半，
∴OP×2＝AB×2，
∴|x|×2＝3×2，
解得x＝±，
∴P1（，0），P2（﹣，0）．
【分析】（1）根據網格結構找出點A、B、C平移后的對應點A'、B'、C'的位置，然后順次連接，作圖求解即可；
（2）根據平面直角坐標系求出點的坐標即可；
（3）先求出OP＝|x|，再利用三角形的面積公式計算求解即可。
20．（2025七下·江城期中）我省某大學生機器人戰隊在全國比賽中取得優異成績，機器人的行走由編程控制，可近似理解為機器人站在格點上，把行走區域看作網格，沿格線行走，每走一步為一個單位長度，然后轉化為程序語言．如圖，從點B走到點C記作，從點B走到點A記作．
（1）從點B到點D可記作______．
（2）若一個機器人從點C出發，按照行走后到達點E，請在圖中標出點E的位置．
（3）若圖中另有兩個格點M，N，從點M走到點A記作，從點M走到點N記作，則點A走到點N應記作什么？
【答案】（1）
（2）解：點E的位置如圖所示，
（3）解：∵從點M走到點A記作，從點M走到點N記作，
∴，，
∴點A向上走4個格點，向右走2個格點到點N，
∴點A走到點N應記作．
【知識點】整式的加減運算；點的坐標；坐標與圖形變化﹣平移；正數、負數的實際應用
【解析】【解答】（1）解：由規定：向上向右走均為正，向下向左走均為負，
從點B到點D可記作；
故答案為：；
【分析】（1）根據“向上向右走均為正，向下向左走均為負”分析求解即可；（2）利用“機器人的行走路線”及“向上向右走均為正，向下向左走均為負”分析求解即可；（3）根據題意列出算式求解即可.
（1）解：由規定：向上向右走均為正，向下向左走均為負，
從點B到點D可記作；
故答案為；
（2）解：點E的位置如圖所示，
；
（3）解：∵從點M走到點A記作，從點M走到點N記作，
∴，，
∴點A向上走4個格點，向右走2個格點到點N，
∴點A走到點N應記作．
21．（2025七下·雨花期末）在平面直角坐標系中，若點N（x，y）的坐標滿足2x+y＝3，則我們稱點N為“健康點”；若點Q（x，y）的坐標滿足x﹣2y＝﹣1，則我們稱Q為“快樂點”。
（1）若點A（a，b）既是“健康點”又是“快樂點”，則點A的坐標為 　 　 ；
（2）在（1）的條件下，若點B是x軸上的“快樂點”，點C是y軸上的“健康點”，如果P為x軸上一點，且三角形BPC是三角形ABC面積的3倍，求點P的坐標；
（3）在上述條件下，直線AB與x軸所夾的銳角為α，直線AC與y軸所夾的銳角為β，試探究∠BAC與α和β之間的數量關系，并說明理由.
【答案】（1）（1，1）
（2）解：∵B是x軸上的“快樂點”，
在x﹣2y＝﹣1中，令y＝0得x＝﹣1，
∴B（﹣1，0），
∵C是y軸上的“健康點”，
在2x+y＝3中，令x＝0得y＝3，
∴C（0，3），
∴S△ABC＝2×3﹣×1×2﹣×1×2﹣×1×3＝，
設點P（a，0），
∴×3 |a+1|＝，
∴a＝﹣6或4，
∴點P的坐標為（﹣6，0）或（4，0）
（3）解：∠CAB＝90°﹣β+α．理由如下：
過A作AM⊥y軸交于M，過C作CH⊥y軸，
∴∠BAM＝α，∠HCA＝∠CAM＝90°﹣β，
∴∠CAB＝90°﹣β+α
【知識點】解一元一次不等式組；點的坐標；平行線的性質
【解析】【解析】（1）解：點A(a，2）代入2x+y=3得：2a+b=3，
代入x-2y=-1得：a-2b=-1，
可得不等式組
解得，
則點的坐標為（1，1），
故答案為：（1，1）.
【分析】（1）將點A(a，2）分別代入2x+y=3和x-2y=-1可得二元一次方程組，解二元一次方程組即可得；
（2）先求出點B，C的坐標，再設點P的坐標為P(a，0），根據 三角形BPC是三角形ABC面積的3倍 建立方程，解方程即可得；
（3）過點A作AM⊥y軸于點M，過點C作CH⊥y軸于點H，則AM∥CH∥x軸，再根據平行線的性
質可得∠BAM和∠CAM，然后根據∠BAC=∠BAM+∠CAM求解即可得.
22．（2024七下·海珠期中）如圖，在平面直角坐標系中，已知，，其中a，b滿足．
（1）填空： ， ；
（2）若在第三象限內有一點，用含m的式子表示的面積；
（3）在（2）條件下，線段與y軸相交于，當時，點P是y軸上的動點，當滿足的面積是的面積的2倍時，求點P的坐標．
【答案】（1），3
（2）解：∵，∴，，
∴，
∵，且M在第三象限，
∴，
∴的面積；
（3）解：當時，則，，
∵的面積的面積的2倍，
∵的面積的面積的面積，
解得：，
∵，
∴，
當點P在點C的下方時，，即；
當點P在點C的上方時，，即；
綜上所述，點P的坐標為或．
【知識點】坐標與圖形性質；算術平方根的性質（雙重非負性）；絕對值的非負性
【解析】【解答】解：（1）∵a、b滿足，
∴，且，
∴，
故答案為：；
【分析】（1）根據偶次根式和偶次方的非負形，得到，且，求得a和b的值，即可得到答案；
（2）根據題意，利用三角形面積公式，結合的面積，即可求解；
（3）當時，得到，且，根據的面積是的面積的2倍，列出方程，求得的長，得出，分點P在點C的下方和點P在點C的上方，兩種情況討論，進而求得點P的坐標，得到答案.
23．（2024七下·廣州期中）在平面直角坐標系中，對于點P，給出如下定義：
點P的“第Ⅰ類變換”：將點P向左平移1個單位長度，再向上平移2個單位長度；
點P的“第Ⅱ類變換”：將點P向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度．
（1）①點A的坐標為，對點A進行1次“第Ⅰ類變換”后得到的點的坐標為　 　；
②點B為平面內一點，若對點B進行1次“第Ⅰ類變換”后得到點，則對點B進行1次“第Ⅱ類變換”后得到的點的坐標為　 　；
（2）點C在x軸上，若對點C進行a次“第Ⅰ類變換”，再進行b次“第Ⅱ類變換”后，所得到的點仍在x軸上，直接用等式表示a與b的數量關系為　 　；
（3）點P的坐標，對點P進行“第1類變換”和“第Ⅱ類變換”共計20次后得到點Q，請問是否存在一種上述兩類變換的組合，使得點Q恰好在y軸上？如果存在，請求出此時點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．
【答案】（1）①；②
（2）
（3）解：不存在，理由如下：設經過次“第1類變換”，經過次“第Ⅱ類變換”，使得點恰好在軸上，
點的坐標，對點進行“第1類變換”和“第Ⅱ類變換”共計20次后得到點，點恰好在軸上，
，
，
為非負整數，
不合題意舍去，
不存在一種上述兩類變換的組合，使得點恰好在軸上．
【知識點】點的坐標；沿著坐標軸方向平移的點的坐標特征
【解析】【解答】解：（1）①點的坐標為，
點進行1次“第Ⅰ類變換”后得到的點的坐標，
故答案為：；
②點進行1次“第Ⅰ類變換”后得到點，
點坐標為，
點進行1次“第Ⅱ類變換”后得到的點的坐標為，
故答案為：；
解：（2）設點，
點進行次“第Ⅰ類變換”，再進行次“第Ⅱ類變換”后，所得到的點仍在軸上，
，
，
故答案為：；
【分析】
（1）①利用點的“第Ⅰ類變換”的定義，即可求得點進行1次“第Ⅰ類變換”后得到的點的坐標，得到答案；
②利用點的“第Ⅰ類變換”的定義，以及點的“第Ⅱ類變換”的定義，求得變換后點的坐標，即可得到答案；
（2）利用點的“第Ⅰ類變換”的定義和點的“第Ⅱ類變換”的定義，列出方程，化簡得到，即可求解；
（3）利用點的“第Ⅰ類變換”的定義和點的“第Ⅱ類變換”的定義，列出方程，求得m的值，結合為非負整數，即可得到答案.
（1）解：①點的坐標為，
點進行1次“第Ⅰ類變換”后得到的點的坐標，
故答案為：；
②點進行1次“第Ⅰ類變換”后得到點，
點坐標為，
點進行1次“第Ⅱ類變換”后得到的點的坐標為，
故答案為：；
（2）設點，
點進行次“第Ⅰ類變換”，再進行次“第Ⅱ類變換”后，所得到的點仍在軸上，
，
，
故答案為：；
（3）不存在，理由如下：
設經過次“第1類變換”，經過次“第Ⅱ類變換”，使得點恰好在軸上，
點的坐標，對點進行“第1類變換”和“第Ⅱ類變換”共計20次后得到點，點恰好在軸上，
，
，
為非負整數，
不合題意舍去，
不存在一種上述兩類變換的組合，使得點恰好在軸上．
1 / 1

展開更多......

收起↑