資源簡介

第一章《三角形》提升卷—蘇科版（2024）數學八（上）單元分層測
一、選擇題選擇題：本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的.每小題選對得3分，選錯、不選或多選，均不得分.
1．（2025八上·寧波期末）下列各組線段中，首尾相接不能組成三角形的是（　　）
A．12cm，8cm，5cm B．12cm，8cm，6cm
C．12cm，5cm，6cm D．8cm，5cm，6cm
2．（2024八上·尋甸期中）如圖，是一塊三角形的草坪，現在要在草坪上修建一個涼亭供大家乘涼，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應選在（　　）
A．三角形三條邊的垂直平分線的交點處
B．三角形三條高的交點處
C．三角形三條中線的交點處
D．三角形三個內角的角平分線的交點處
3．（2024八上·廣州期中）如圖，用直尺和圓規作一個角等于已知角，能得出的依據是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八上·高唐期末）下列尺規作圖求作上點D，使得的周長等于正確的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025八上·桓臺期末）已知的三邊，，滿足，則的形狀為（　　）
A．等邊三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
6． 如圖，△ABC≌△ADE，BC的延長線交DE于點F，∠B=30°，∠AED=110°，∠DAC=10°，則∠DFB等于(　　)
A．55° B．50° C．65° D．60°
7．（2024八上·新會月考） 如圖， ， 線段 的延長線過點 ， 與線段 交于點 ， ， 則 的度數為 ( )
A． B． C． D．
8．（2025八上·慈溪期末）如圖，D、E為等邊邊、上的點，連結，和的角平分線恰好過邊上同一點F．若要知道的周長，只需要知道下列哪個三角形的周長？該三角形是（　　）
A． B． C． D．
二、填空題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.只要求填出最后結果.
9．（2024八上·湖北月考）某興趣小組利用幾何圖形畫出螳螂的簡筆畫，如圖，已知，則　 　．
10．（2023八上·洞口月考）如圖，在中，已知點，，分別為邊，，的中點，且的面積等于，則陰影部分圖形面積等于　 　．
11．（2024八上·順平期末）我們知道要使四邊形木架不變形，至少要釘一根木條，如圖，有一個正五邊形木框，要使五邊形木架不變形，至少要釘　 　根木條．
12．（2024八上·咸安期末）如圖，，于A，于B，且，點P從B向A運動，每分鐘走，點Q從B向D運動，每分鐘走，P、Q兩點同時出發，運動　 　分鐘后，與全等.
13．（2024八上·浙江期中）一個三角形的三條邊的長分別是5，7，10，另一個三角形的三條邊的長分別是5，2x+1，y-1，若這兩個三角形全等，則x+y的值是　 　．
14．（2016八上·禹州期末）如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA長分別為40、50、60．其三條角平分線交于點O，則S△ABO：S△BCO：S△CAO=　 　．
15．（2023八上·雙峰期末）如圖所示中，，的垂直平分線交于，的周長是，則　 　．
16．（2022八上·成都期末）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①以點C為圓心，任意長為半徑作弧，分別交AC，CB于點E和F；②分別以E，F為圓心，大于EF為半徑畫弧，兩弧交于點D；③作射線CD交AB于點G；延長CA至H，使CH＝CB，連接HG，若AH＝2，AB＝5，則△AHG的周長為 　 　.
17．（2024八上·曾都期末）“三等分角”是古希臘三大幾何問題之一．如圖這個“三等分角儀”由兩根有槽的棒組成，兩根棒在O點相連并可繞O轉動，C點固定，，點D，E可在槽中滑動，若，則　 　°．
18．如圖，AOB 是一鋼架，且∠AOB=10°，為使鋼架更加堅固，需在其內部添加一些鋼管EF，FG，GH……添加的鋼管長度都與OE 相等，則最多能添加這樣的鋼管　 　根.
三、解答題：本大題10小題，共96分.
19．（2024八上·新會月考） 電信部門要修建一座電視信號發射塔 ， 按照設計要求， 發射塔 到兩城鎮 的距離必須相等， 到兩條高速公路 和 的距離也必須相等. 請在圖中作出發射塔 的位置 .(尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
20．（2025八上·紅花崗期末）如圖，在和中，在同一條直線上，已知：，下列給出三個條件：．解答下列問題：
（1）請選擇兩個合適的作為已知條件，余下一個作為結論，并給出證明過程：
我選擇 作為已知條件， 作為結論（填寫序號）．
（2）在（1）的條件下，若與相交于點，求．
21．（2024八上·黔西南期末）中華人民共和國五星紅旗上大五角星代表中國共產黨，四顆小五角星代表工人、農民、小資產階級和民族資產階級四個階級．五顆五角星互相連綴、疏密相間，象征中國人民大團結．每顆小星各有一個尖角正對大星中心點，表示人民對黨的向心之意，如圖①：根據圖形填空：
（1）　 　，　 　；
（2）　 　　 　；
（3）【應用】
如圖②．求的度數．
22．（2024八上·義烏月考）如圖，在中，，，點D在邊上，、關于所在的直線對稱，的角平分線交邊于點G，連接．
（1）求的度數．
（2）設，當為何值時，為等腰三角形？
23．（2025八上·余姚期末）如圖，中，點D在邊上，，的平分線交于點E，過點E作，垂足為F，且，連接．
（1）求證：平分．
（2）求證：平分．
（3）若，，，，求的面積．
24．（2024八上·隆安期末）綜合與實踐：
初步認識箏形后，實踐小組動手制作了一個“箏形功能器”，如圖，在筆形中，．
(1)【操作應用】如圖1，將“箏形功能器”上的點與的頂點重合，分別放置在角的兩邊上，并過點畫射線，求證：是的平分線；
(2)【實踐拓展】實踐小組嘗試使用“箏形功能器”檢測教室門框是否水平．如圖2，在儀器上的點處栓一條線繩，線繩另一端掛一個鉛錘，儀器上的點緊貼門框上方，觀察發現線繩恰好經過點，即判斷門框是水平的．實踐小組的判斷對嗎？請說明理由．
25．（2024八上·柯橋月考）已知在中，，，點是平面內一點，連接、、，．
（1）如圖1，點在的內部．
①當，求的度數；
②當平分，判斷的形狀，并說明理由；
（2）如果直線與直線相交于點，如果是以為腰的等腰三角形，求的度數（直接寫出答案）．
26．（2024八上·南寧月考）閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題：
如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC=2∠C.探究AB、BD、AC之間的數量關系；
小明通過思考發現，可以通過“截長、補短”兩種方法解決問題：
方法一：如圖2，在AC上截取AE，使得AE=AB，連接DE，得到全等三角形，進而解決問題．
方法二：如圖3，延長AB到點E，使得BE=BD，連接DE，得到等腰三角形，進而解決問題．
（1）試猜想AB、BD、AC之間的數量關系　 　．
（2）根據閱讀材料，任選一種方法證明AC=AB+BD，根據自己的解題經驗或參考小明的方法
（3）解決下面的問題；
如圖4，四邊形ABCD中，E是BC上一點，EA=ED，∠DCB=2∠B，∠DAE+∠B=90°，探究DC、CE、BE之間的數量關系，并證明．
27．（2024八上·恩施期中）
（1）感知：如圖，平分，，易知：（不需證明）
（2）探究：如圖，平分，，求證：．
（3）應用：如圖，四邊形中，，，，，求證：．
28．（2020八上·贛榆期中）如圖1，點P、Q分別是等邊 上的動點（端點除外），點P從頂點A、點Q從頂點B同時出發，且它們的運動速度相同，連接AQ、CP交于點M.
（1）求證： ；
（2）當點P、Q分別在AB、BC邊上運動時，∠QMC變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數.
（3）如圖2，若點P、Q在運動到終點后繼續在射線AB、BC上運動，直線AQ、CP交點為M，則∠QMC變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，則求出它的度數.
答案解析部分
1．【答案】C
【知識點】三角形三邊關系
【解析】【解答】解：
∴長為12cm， 8cm， 5cm的三條線段能組成三角形，不符合題意；
∴長為12cm， 8cm， 6cm的三條線段能組成三角形，不符合題意；
∴長為12cm， 5cm， 6cm的三條線段不能組成三角形，符合題意；
∴長為8cm，5cm，6cm的三條線段能組成三角形， 不符合題意；
故答案為：C.
【分析】根據三角形兩邊之和大于第三邊判斷即可.
2．【答案】D
【知識點】角平分線的性質
【解析】【解答】解：∵角平分線上的點到角兩邊的距離相等，
∴涼亭的位置應為三角形三個內角的角平分線的交點，
故答案為：D．
【分析】根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等，從而得出的角平分線交于三角形內一點，判斷它到三角形各邊的距離是否相等求解即可.
3．【答案】D
【知識點】三角形全等的判定-SSS；尺規作圖-作一個角等于已知角
【解析】【解答】解：在和中，
，
，
，
故答案為：D．
【分析】根據作一個角等于已知角的作法和步驟可得OD=OC=O'D'=O'C'，CD=C'D'，從而利用SSS判斷出△OCD≌△O'C'D'，根據全等三角形對應角相等可得∠AOB=∠A'O'B'.
4．【答案】B
【知識點】線段垂直平分線的性質；尺規作圖-作角的平分線；尺規作圖-垂直平分線
【解析】【解答】解：當的垂直平分交于點D時，
∴，
∴的周長．
故答案為：B．
【分析】根據基本的尺規作圖可得作的垂直平分交于點D時滿足題意．
5．【答案】C
【知識點】因式分解的應用；三角形三邊關系；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵的三邊，，，
∴，
∵，
∴，
，
a、b、c是的三邊，
，
，
的形狀為等腰三角形，
故選：C．
【分析】
由三角形三邊關系可知，則原等式可變形為，即有，即可判斷的形狀．
6．【答案】B
【知識點】三角形內角和定理；三角形全等及其性質
【解析】【解答】解：設AD與BF交于點M
△ABC≌△ADE， ∠B=30°，∠AED=110°
AED=ACB=110° ， ∠B=∠D=30°
ACM=180° -110°=70°
AMC=180° -ACM-DAC=180° -70°-10°=100°
FMD=AMC=100°
DFB=180° -D-FMD=180° -100°-30°=50°
故答案為：B
【分析】設AD與BF交于點M，根據全等三角形的性質可得AED=ACB=110° ， ∠B=∠D=30°，
則ACM=180° -110°=70°，根據三角形內角和定理可得AMC=180° -ACM-DAC=100°，則FMD=AMC=100°，可得DFB=180° -D-FMD=180° -100°-30°=50°。
7．【答案】B
【知識點】角的運算；三角形內角和定理；全等三角形中對應角的關系
【解析】【解答】解：∵，
∴∠ACB=∠AED=108°，∠D=∠B=48°，
∴∠CAB=∠EAD=180°-108°-48°=24°，
∵∠CAD=12°，
∴∠EAB=24°+12°+24°=60°，
∴∠AEB=180°-48°-60°=72°，
∴∠DEF=∠AED-∠AEB=108°-72°=36°。
故答案為：B。
【分析】根據全等三角形的對應角相等，可得出∠ACB=∠AED=108°，∠D=∠B=48°，進而根據三角形內角和定理可求出∠CAB=∠EAD=24°，進而得出∠EAB=60°，再根據三角形內角和定理可得出∠AEB=72°，進而根據兩角之差，即可求得 的度數 。
8．【答案】B
【知識點】角平分線的性質；等邊三角形的性質；含30°角的直角三角形；角平分線的判定
【解析】【解答】解：如圖，過作交于，交于，交于，連接，則，
∵和的角平分線交于點，
∴，
∴平分，，，
∴，，
∴的周長，
∵等邊，
∴，，
設，
∵平分，，
∴，
在中，，則，
∴，
同理可得，，
∴的周長，
∵的周長，
∴的周長是的周長的兩倍，
∴若要知道的周長，只需要知道的周長，
故選：B．
【分析】由角平分線的性質和判定定理知，點F既是和角平分線的交點，同時也在的角平分線上，則可證明的周長恰好是周長的一半。
9．【答案】30
【知識點】三角形外角的概念及性質；鄰補角；兩直線平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如圖所示，延長DE交AC于點F，取直線AB上一點N，點N位于點A右側，
∵∠BAC=125°
∴∠CAN=180°-125°=55°
AB∥DE
∴∠CFD=∠CAN=55°
∠CDE=∠CFD+∠DCF
即85°=55°+∠DCF
∠DCF=30°
∠ACD=∠DCF=30°，
故答案為：30．
【分析】
本題主要考查平行線的性質、平角性質、三角形的外角的性質。延長DE交AC于點F，取直線AB上一點N，點N位于點A右側，由平角性質得平行線的性質可得∴∠CAN=55°，由平行線性質得∠CFD=55°，由外角的性質可得∠CDE=∠CFD+∠DCF，求出∠DCF=30°。∠ACD=∠DCF=30°
10．【答案】1
【知識點】三角形的中線
【解析】【解答】解：∵點是的中點，
∴，
∵點是的中點，
∴，
同理可證，
∵點是的中點，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【分析】根據三角形的中線分得的兩個三角形的面積相等，就可證得，，，，再由的面積為，就可得到的面積.
11．【答案】2
【知識點】三角形的穩定性；多邊形的對角線
【解析】【解答】解：∵三角形具有穩定性，其它多邊形都不具有穩定性，
∴要使五邊形木架不變形，根據同一頂點出發的對角線把五邊形分成3個三角形，需連兩條對角線，每條對角線用一根木條，
∴至少要釘2根木條.
故答案為：2．
【分析】根據三角形具有穩定性，由題意將五邊形可以分成3個三角形，根據從一個頂點發出的對角線有（n-3）條可知需要兩根木條．
12．【答案】4
【知識點】三角形全等及其性質
【解析】【解答】解：①當△CPA≌△PQB時，BP＝AC＝4（米），
則BQ＝AP＝AB BP＝12 4＝8（米），
A的運動時間是：4÷1＝4（分鐘），
Q的運動時間是：8÷2＝4（分鐘），
則當t＝4分鐘時，兩個三角形全等；
②當△CPA≌△PQB時，BQ＝AC＝4（米），
AP＝BP=AB＝6（米），
則P運動的時間是：6÷1＝6（分鐘），
Q運動的時間是：4÷2＝2（分鐘），
所以不能成立．
綜上所述，運動4分鐘后，△CPA與△PQB全等.
故答案為：4.
【分析】分類討論：①當△CPA≌△PQB時，BP＝AC＝4（米），②當△CPA≌△PQB時，BQ＝AC＝4（米），再利用“速度、路程和時間”的關系分別列出算式求出時間即可.
13．【答案】14 或 12.5
【知識點】全等三角形中對應邊的關系
【解析】【解答】解：兩個三角形全等，
當時，解得，
，
當時，解得，
，
綜上所述，.
故答案為：14 或 12.5.
【分析】由全等三角形的性質可得或，進而求得x、y的值，即可得到x+y的值.
14．【答案】4：5：6
【知識點】角平分線的性質
【解析】【解答】首先過點O作OD⊥AB于點D，作OE⊥AC于點E，作OF⊥BC于點F，由OA，OB，OC是△ABC的三條角平分線，根據角平分線的性質，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三邊AB、BC、CA長分別為40、50、60，即可求得S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．
過點O作OD⊥AB于點D，作OE⊥AC于點E，作OF⊥BC于點F，
∵OA，OB，OC是△ABC的三條角平分線，
∴OD=OE=OF，
∵△ABC的三邊AB、BC、CA長分別為40、50、60，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（ AB OD）：（ BC OF）：（ AC OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6．
【分析】根據角平分線的性質可知，角平分線上的點到角兩邊的距離相等；求出S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．
15．【答案】
【知識點】線段垂直平分線的性質
【解析】【解答】解：是的垂直平分線，
，
的周長，
，的周長是，
．
故答案為：．
【分析】
由線段垂直平分線的性質可得，則的周長，再代入數據進行計算即可得解．
16．【答案】7
【知識點】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：由作圖可知，CH=CB，∠GCH=∠GCB，
在△GCH和△GCB中，
，
∴△GCH≌△GCB（SAS），
∴GH=GB，
∴△AHG的周長=AH+AG+GH=AH+AG+GB=AH+AB=2+5=7.
故答案為：7.
【分析】由作圖可知：CH=CB，∠GCH=∠GCB，利用SAS證明△GCH≌△GCB，得到GH=GB，則可將△AHG的周長轉化為AH+AB，據此解答.
17．【答案】24
【知識點】三角形外角的概念及性質；等腰三角形的性質-等邊對等角
【解析】【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠COD＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，
∵∠DCE＝∠COD＋∠CDO，
∴∠DEC＝2∠COD，
∴∠BDE＝∠DEC＋∠COD＝3∠COD，∠BDE＝72°，
∴∠COD＝24°，
即∠AOB＝24°，
故答案為：24．
【分析】先利用等邊對等角的性質可得∠COD＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，再利用三角形外角的性質可得∠DCE＝∠COD＋∠CDO，再將數據代入求出∠COD＝24°，即可得到∠AOB＝24°.
18．【答案】8
【知識點】三角形內角和定理；三角形外角的概念及性質；等腰三角形的性質
【解析】【解答】解： ∵添加的鋼管長度都與OE相等，∠AOB=10°，
∴∠GEF=∠FGE=20°，…從圖中我們會發現有好幾個等腰三角形，
即第一個等腰三角形的底角是10°，第二個是20°，第三個是30°，四個是40°，五個是50°，六個是60°，七個是70°，八個是80°，九個是90°就不存在了．所以一共有8個．
故答案為：8．
【分析】 此題考查了三角形的內角和是180度的性質和等腰三角形的性質及三角形外角的性質，由圖可發現，圖中隨著鋼管數量的增加，出現了好幾個等腰三角形，第一個等腰三角形的底角是10°，第二個是20°，第三個是30°，四個是40°，五個是50°......以此類推，而由等腰三角形的性質得知，等腰三角形的底角應小于90°，所以，底角最大增加到80°，故最多添加8根鋼管.
19．【答案】解：連接AB，作線段AB的垂直平分線，作角的平分線，兩線相交于點P，則點P為所求。
【知識點】尺規作圖-作角的平分線；尺規作圖-垂直平分線
【解析】【分析】分別根據線段垂直平分線的作法，以及角平分線的作法作圖，兩線相交于點P，點P為所求。
20．【答案】（1）①③；②或②③，①，
解：條件：①， ③；
結論：②；
理由：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
條件：②；③；
結論： ①，
理由：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
由（1）可得：，
∴．
【知識點】三角形內角和定理；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；內錯角的概念；全等三角形中對應角的關系
【解析】【分析】（1）選擇條件和結論，然后證明解題；
（2）先得到，根據（1）可得，然后運用三角形的內角和定理解題．
（1）解：條件：①， ③；
結論：②；
理由：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
條件：②；③；
結論： ①，
理由：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
由（1）可得：，
∴．
21．【答案】（1）；
（2）；
（3）解：如圖②，由三角形外角的性質得，，
由三角形內角定理得，
．
【知識點】三角形內角和定理；三角形外角的概念及性質
【解析】【分析】（1）根據三角形的外角性質即可求解；
（2）根據三角形的內角和定理以及等量代化即可求解；
（3）利用三角形的外角性質以及內角和定理即可求解.
22．【答案】（1）（1）解：∵，，∴，
∵、關于所在的直線對稱，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴；
（2）（2）解：∵使得為等腰三角形，分三種情況討論：令與交點為，
①當時，
∴，
∵，
∴在中：，
∴；
②當時，
∴，
∵，
∴，
∴在中：，
∴；
③當時，
∴，
∴，
∴在中：，
∴；
綜上所述：當或時，為等腰三角形．
【知識點】三角形內角和定理；三角形外角的概念及性質；等腰三角形的判定與性質；軸對稱的性質
【解析】【分析】（1）先求出，再利用軸對稱性質得，即，再證明，繼而得到；
（2）為等腰三角形時分三種情況討論，①當時，②當時，③當時，分別求出即可．
（1）解：∵，，
∴，
∵、關于所在的直線對稱，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴；
（2）解：∵使得為等腰三角形，分三種情況討論：
令與交點為，
，
①當時，
∴，
∵，
∴在中：，
∴；
②當時，
∴，
∵，
∴，
∴在中：，
∴；
③當時，
∴，
∴，
∴在中：，
∴；
綜上所述：當或時，為等腰三角形．
23．【答案】（1）證明：，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）證明：如圖，過點作于點，于點，
由（1）可得：是的平分線，
，
是的平分線，
，
，
點在的平分線上，
平分；
（3）解：設，
由（2）可得：，
，，，
，
即：，
解得：，
，
．
【知識點】三角形的面積；角平分線的性質；角平分線的判定；直角三角形的兩銳角互余
【解析】【分析】（1）由鄰補角定義得∠FAD=80°，由直角三角形的兩個銳角互余得∠FAE=40°，由角的和差關系得∠DAE=∠FAE=40°，從而根據角平分線定義可得結論；
（2）過點E作于點G，于點H，由角平分線的上的點到角兩邊的距離相等可得EF=EG，EF=EH，則EG=EH，然后由到角兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上即可得出結論；
（3）設EG=x，則EG=EF=EH=x，由S△ACD=S△ADE+S△CDE建立方程，解方程即可求出x的值，從而得到EF的長，然后利用三角形的面積公式列式計算可得△ABE的面積.
（1）證明：，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）證明：如圖，過點作于點，于點，
由（1）可得：是的平分線，
，
是的平分線，
，
，
點在的平分線上，
平分；
（3）解：設，
由（2）可得：，
，，，
，
即：，
解得：，
，
．
24．【答案】解：（1）證明：在和中，
∵，
，
，
是的平分線；
（2）實踐小組的判斷對，理由如下：
是等腰三角形，，
由（1）知：平分，
，
是鉛錘線，
是水平的．
門框是水平的．
實踐小組的判斷對．
【知識點】等腰三角形的性質；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】(1)證明，得，即可證得是的平分線 ；
（2）根據等腰三角形的三線合一可得，進而即可解決問題．
25．【答案】（1）解：①在中，，，
，
，
又，
，
，，
，
在中，，，
；
②為等邊三角形，理由如下：
如圖1所示：
平分，
設，則，
在中，，
，
∵ ，，
∴，
，
在中，，，
，
，，
在中，，
，
，，，
∴∠ACB=∠CAB=∠CBA，
為等邊三角形
（2）的度數為或
【知識點】等腰三角形的判定與性質；等邊三角形的判定
【解析】【解答】（2）解：的度數為或，理由如下：
直線與直線相交于點，且是以為腰的等腰三角形，
有以下兩種情況：
①當直線與線段交于點時，如圖2①所示：
設，
是以為腰的等腰三角形，即，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
即，
②當直線與的延長線交于點時，如圖2②所示：
設，
，
，
是以為腰的等腰三角形，即，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
綜上所述：的度數為或．
故答案為：或．
【分析】（1）①先根據等角對等邊得，由三角形的內角和得，再利用周角得∠BOC的度數，再推出，根據等角對等邊得；
②設，則可表示出，根據等邊對等角得的度數，再推出得，可表示出、，再根據三角形內角和定理列方程計算，進而得、、，由此可判定的形狀；
（2）分兩種情況討論如下：①當直線與線段交于點時，設，則可依次表示出、、，再根據三角形內角和定理列方程計算出，即可寫出的度數 ，②當直線與的延長線交于點時，設，則可依次表示出、、，再根據三角形內角和定理列方程計算，即可寫出的度數 ，綜上所述即可得出的度數．
（1）解：①在中，，，
，
，
又，
，
，，
，
在中，，，
；
②為等邊三角形，理由如下：
如圖1所示：
平分，
設，則，
在中，，
，
在中，，
，
在中，，，
，
，，
在中，，
，
，，，
為等邊三角形；
（2）解：的度數為或，理由如下：
直線與直線相交于點，且是以為腰的等腰三角形，
有以下兩種情況：
①當直線與線段交于點時，如圖2①所示：
設，
是以為腰的等腰三角形，即，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
即，
②當直線與的延長線交于點時，如圖2②所示：
設，
，
，
是以為腰的等腰三角形，即，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
綜上所述：的度數為或．
26．【答案】（1）AC＝AB+BD
（2）證明：方法一：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△BAD和△EAD中
，
∴△ABD≌△AED（SAS）
∴BD＝ED，∠AED＝∠B＝2∠C，
∵∠AED＝∠C+∠EDC，
∴∠EDC＝∠C，
∴ED＝EC，
∴BD＝EC，
∴AC＝AB+BD；
方法二：∵
∴∠BED＝∠BDE
∵∠ABC＝∠BED+∠BDE，且∠ABC＝2∠C
∴∠BED＝∠ABC=∠C
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
在△AED和△ACD中，
∴△AED≌△ACD（AAS）
∴AE=AC
∵AE=AB+BE=AB+BD
∴AC=AB+BD
（3）解：DC、CE、BE之間的數量關系是BE＝DC+CE，
證明：在EB上截取EF，使得EF＝DC，連接AF，
∵EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴2∠DAE＝180°﹣∠AED，
∵∠DAE+∠B＝90°，
∴2∠DAE+2∠B＝180°，
∴∠AED＝2∠B＝∠C，
∵∠BED＝∠CDE+∠C=∠AEB+∠AED，
∴∠AEB＝∠CDE，
在△AEF和△EDC中，
∴△AEF≌△EDC（SAS），
∴EC＝AF，∠AFE＝∠C＝2∠B，
∵∠AFE＝∠B+∠BAF，
∴∠ABF＝∠BAF，
∴BF＝AF，
∴BF＝CE，
∴BE＝DC+CE．
【知識點】三角形內角和定理；三角形外角的概念及性質；等腰三角形的判定與性質；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根據角平分線定義得到∠BAD＝∠CAD，然后利用"SAS"證明△ABD≌△AED得到：BD＝ED，∠AED＝∠B＝2∠C，再結合三角形外角的性質及等角對等邊得到BD＝EC，進而即可求證；
（2）方法一：根據角平分線定義得到∠BAD＝∠CAD，然后利用"SAS"證明△ABD≌△AED得到：BD＝ED，∠AED＝∠B＝2∠C，再結合三角形外角的性質及等角對等邊得到BD＝EC，進而即可求證；
方法二：由等邊對等角得∠BED＝∠BDE，再結合三角形外角的性質和角平分線的定義得∠BAD＝∠CAD即可利用"AAS"證明△AED≌△ACD，由全等三角形的性質得AE=AC，最后根據線段間的數量關系即可求解；
（3）在EB上截取EF，使得EF＝DC，連接AF，等邊對等角及三角形內角和定理得∠AED＝2∠B＝∠C，再結合三角形外角的性質得∠AEB＝∠CDE，利用"SAS"證明△AEF≌△EDC，由全等三角形的性質可得EC＝AF，∠AFE＝∠C＝2∠B，進而由等角對等邊可得到BF＝CE，進而即可求解.
27．【答案】（1）證明：，，
，
平分，
，
在和中，
≌，
；
（2）證明：作于，于，如圖所示：
平分，，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
（3）證明：連接，作于點，如圖所示：
，
，
，
，
在和中，
≌，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
．
【知識點】直角三角形全等的判定-HL；角平分線的性質
【解析】【分析】（1）先利用角平分線的定義可得，再利用“AAS”證出≌，最后利用全等三角形的性質可得；
（2）作于，于，先利用角的運算求出，再利用“AAS”證出≌，最后利用全等三角形的性質可得；
（3）連接，作于點，先利用“AAS”證出≌，可得，，再利用“HL”證出≌，可得，最后利用線段的和差及等量代換可得．
（1），，
，
平分，
，
在和中，
≌，
；
（2）作于，于，如圖所示：
平分，，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
（3）連接，作于點，如圖所示：
，
，
，
，
在和中，
≌，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
．
28．【答案】（1）證明：∵ 是等邊三角形，
∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，
∵點P、Q運動速度相同，
∴AP=BQ，
∴ .
（2）解：點P、Q在運動的過程中，∠QMC不變.
∵ ，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠ACP+∠MAC， ∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°.
（3）解：點P、Q在運動到終點后繼續在射線AB、BC上運動，∠QMC不變.
∵ ，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°-∠PAC=180°-60°=120°.
【知識點】三角形外角的概念及性質；等邊三角形的性質；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由等邊三角形的性質得∠ABQ=∠CAP，AB=CA，由點P、Q運動速度相同得AP=BQ，然后由全等三角形的判定定理SAS進行證明；
（2）由全等三角形的性質可得∠BAQ=∠ACP，由三角形外角的性質可得 ∠QMC=∠ACP+∠MAC，據此求解；
（3）由全等三角形的性質可得∠BAQ=∠ACP，由三角形外角的性質可得∠QMC=∠BAQ+∠APM，據此求解.
1 / 1第一章《三角形》提升卷—蘇科版（2024）數學八（上）單元分層測
一、選擇題選擇題：本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的.每小題選對得3分，選錯、不選或多選，均不得分.
1．（2025八上·寧波期末）下列各組線段中，首尾相接不能組成三角形的是（　　）
A．12cm，8cm，5cm B．12cm，8cm，6cm
C．12cm，5cm，6cm D．8cm，5cm，6cm
【答案】C
【知識點】三角形三邊關系
【解析】【解答】解：
∴長為12cm， 8cm， 5cm的三條線段能組成三角形，不符合題意；
∴長為12cm， 8cm， 6cm的三條線段能組成三角形，不符合題意；
∴長為12cm， 5cm， 6cm的三條線段不能組成三角形，符合題意；
∴長為8cm，5cm，6cm的三條線段能組成三角形， 不符合題意；
故答案為：C.
【分析】根據三角形兩邊之和大于第三邊判斷即可.
2．（2024八上·尋甸期中）如圖，是一塊三角形的草坪，現在要在草坪上修建一個涼亭供大家乘涼，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應選在（　　）
A．三角形三條邊的垂直平分線的交點處
B．三角形三條高的交點處
C．三角形三條中線的交點處
D．三角形三個內角的角平分線的交點處
【答案】D
【知識點】角平分線的性質
【解析】【解答】解：∵角平分線上的點到角兩邊的距離相等，
∴涼亭的位置應為三角形三個內角的角平分線的交點，
故答案為：D．
【分析】根據角平分線上的點到角兩邊的距離相等，從而得出的角平分線交于三角形內一點，判斷它到三角形各邊的距離是否相等求解即可.
3．（2024八上·廣州期中）如圖，用直尺和圓規作一個角等于已知角，能得出的依據是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】三角形全等的判定-SSS；尺規作圖-作一個角等于已知角
【解析】【解答】解：在和中，
，
，
，
故答案為：D．
【分析】根據作一個角等于已知角的作法和步驟可得OD=OC=O'D'=O'C'，CD=C'D'，從而利用SSS判斷出△OCD≌△O'C'D'，根據全等三角形對應角相等可得∠AOB=∠A'O'B'.
4．（2024八上·高唐期末）下列尺規作圖求作上點D，使得的周長等于正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知識點】線段垂直平分線的性質；尺規作圖-作角的平分線；尺規作圖-垂直平分線
【解析】【解答】解：當的垂直平分交于點D時，
∴，
∴的周長．
故答案為：B．
【分析】根據基本的尺規作圖可得作的垂直平分交于點D時滿足題意．
5．（2025八上·桓臺期末）已知的三邊，，滿足，則的形狀為（　　）
A．等邊三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【知識點】因式分解的應用；三角形三邊關系；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵的三邊，，，
∴，
∵，
∴，
，
a、b、c是的三邊，
，
，
的形狀為等腰三角形，
故選：C．
【分析】
由三角形三邊關系可知，則原等式可變形為，即有，即可判斷的形狀．
6． 如圖，△ABC≌△ADE，BC的延長線交DE于點F，∠B=30°，∠AED=110°，∠DAC=10°，則∠DFB等于(　　)
A．55° B．50° C．65° D．60°
【答案】B
【知識點】三角形內角和定理；三角形全等及其性質
【解析】【解答】解：設AD與BF交于點M
△ABC≌△ADE， ∠B=30°，∠AED=110°
AED=ACB=110° ， ∠B=∠D=30°
ACM=180° -110°=70°
AMC=180° -ACM-DAC=180° -70°-10°=100°
FMD=AMC=100°
DFB=180° -D-FMD=180° -100°-30°=50°
故答案為：B
【分析】設AD與BF交于點M，根據全等三角形的性質可得AED=ACB=110° ， ∠B=∠D=30°，
則ACM=180° -110°=70°，根據三角形內角和定理可得AMC=180° -ACM-DAC=100°，則FMD=AMC=100°，可得DFB=180° -D-FMD=180° -100°-30°=50°。
7．（2024八上·新會月考） 如圖， ， 線段 的延長線過點 ， 與線段 交于點 ， ， 則 的度數為 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】角的運算；三角形內角和定理；全等三角形中對應角的關系
【解析】【解答】解：∵，
∴∠ACB=∠AED=108°，∠D=∠B=48°，
∴∠CAB=∠EAD=180°-108°-48°=24°，
∵∠CAD=12°，
∴∠EAB=24°+12°+24°=60°，
∴∠AEB=180°-48°-60°=72°，
∴∠DEF=∠AED-∠AEB=108°-72°=36°。
故答案為：B。
【分析】根據全等三角形的對應角相等，可得出∠ACB=∠AED=108°，∠D=∠B=48°，進而根據三角形內角和定理可求出∠CAB=∠EAD=24°，進而得出∠EAB=60°，再根據三角形內角和定理可得出∠AEB=72°，進而根據兩角之差，即可求得 的度數 。
8．（2025八上·慈溪期末）如圖，D、E為等邊邊、上的點，連結，和的角平分線恰好過邊上同一點F．若要知道的周長，只需要知道下列哪個三角形的周長？該三角形是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】角平分線的性質；等邊三角形的性質；含30°角的直角三角形；角平分線的判定
【解析】【解答】解：如圖，過作交于，交于，交于，連接，則，
∵和的角平分線交于點，
∴，
∴平分，，，
∴，，
∴的周長，
∵等邊，
∴，，
設，
∵平分，，
∴，
在中，，則，
∴，
同理可得，，
∴的周長，
∵的周長，
∴的周長是的周長的兩倍，
∴若要知道的周長，只需要知道的周長，
故選：B．
【分析】由角平分線的性質和判定定理知，點F既是和角平分線的交點，同時也在的角平分線上，則可證明的周長恰好是周長的一半。
二、填空題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.只要求填出最后結果.
9．（2024八上·湖北月考）某興趣小組利用幾何圖形畫出螳螂的簡筆畫，如圖，已知，則　 　．
【答案】30
【知識點】三角形外角的概念及性質；鄰補角；兩直線平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如圖所示，延長DE交AC于點F，取直線AB上一點N，點N位于點A右側，
∵∠BAC=125°
∴∠CAN=180°-125°=55°
AB∥DE
∴∠CFD=∠CAN=55°
∠CDE=∠CFD+∠DCF
即85°=55°+∠DCF
∠DCF=30°
∠ACD=∠DCF=30°，
故答案為：30．
【分析】
本題主要考查平行線的性質、平角性質、三角形的外角的性質。延長DE交AC于點F，取直線AB上一點N，點N位于點A右側，由平角性質得平行線的性質可得∴∠CAN=55°，由平行線性質得∠CFD=55°，由外角的性質可得∠CDE=∠CFD+∠DCF，求出∠DCF=30°。∠ACD=∠DCF=30°
10．（2023八上·洞口月考）如圖，在中，已知點，，分別為邊，，的中點，且的面積等于，則陰影部分圖形面積等于　 　．
【答案】1
【知識點】三角形的中線
【解析】【解答】解：∵點是的中點，
∴，
∵點是的中點，
∴，
同理可證，
∵點是的中點，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【分析】根據三角形的中線分得的兩個三角形的面積相等，就可證得，，，，再由的面積為，就可得到的面積.
11．（2024八上·順平期末）我們知道要使四邊形木架不變形，至少要釘一根木條，如圖，有一個正五邊形木框，要使五邊形木架不變形，至少要釘　 　根木條．
【答案】2
【知識點】三角形的穩定性；多邊形的對角線
【解析】【解答】解：∵三角形具有穩定性，其它多邊形都不具有穩定性，
∴要使五邊形木架不變形，根據同一頂點出發的對角線把五邊形分成3個三角形，需連兩條對角線，每條對角線用一根木條，
∴至少要釘2根木條.
故答案為：2．
【分析】根據三角形具有穩定性，由題意將五邊形可以分成3個三角形，根據從一個頂點發出的對角線有（n-3）條可知需要兩根木條．
12．（2024八上·咸安期末）如圖，，于A，于B，且，點P從B向A運動，每分鐘走，點Q從B向D運動，每分鐘走，P、Q兩點同時出發，運動　 　分鐘后，與全等.
【答案】4
【知識點】三角形全等及其性質
【解析】【解答】解：①當△CPA≌△PQB時，BP＝AC＝4（米），
則BQ＝AP＝AB BP＝12 4＝8（米），
A的運動時間是：4÷1＝4（分鐘），
Q的運動時間是：8÷2＝4（分鐘），
則當t＝4分鐘時，兩個三角形全等；
②當△CPA≌△PQB時，BQ＝AC＝4（米），
AP＝BP=AB＝6（米），
則P運動的時間是：6÷1＝6（分鐘），
Q運動的時間是：4÷2＝2（分鐘），
所以不能成立．
綜上所述，運動4分鐘后，△CPA與△PQB全等.
故答案為：4.
【分析】分類討論：①當△CPA≌△PQB時，BP＝AC＝4（米），②當△CPA≌△PQB時，BQ＝AC＝4（米），再利用“速度、路程和時間”的關系分別列出算式求出時間即可.
13．（2024八上·浙江期中）一個三角形的三條邊的長分別是5，7，10，另一個三角形的三條邊的長分別是5，2x+1，y-1，若這兩個三角形全等，則x+y的值是　 　．
【答案】14 或 12.5
【知識點】全等三角形中對應邊的關系
【解析】【解答】解：兩個三角形全等，
當時，解得，
，
當時，解得，
，
綜上所述，.
故答案為：14 或 12.5.
【分析】由全等三角形的性質可得或，進而求得x、y的值，即可得到x+y的值.
14．（2016八上·禹州期末）如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA長分別為40、50、60．其三條角平分線交于點O，則S△ABO：S△BCO：S△CAO=　 　．
【答案】4：5：6
【知識點】角平分線的性質
【解析】【解答】首先過點O作OD⊥AB于點D，作OE⊥AC于點E，作OF⊥BC于點F，由OA，OB，OC是△ABC的三條角平分線，根據角平分線的性質，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三邊AB、BC、CA長分別為40、50、60，即可求得S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．
過點O作OD⊥AB于點D，作OE⊥AC于點E，作OF⊥BC于點F，
∵OA，OB，OC是△ABC的三條角平分線，
∴OD=OE=OF，
∵△ABC的三邊AB、BC、CA長分別為40、50、60，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（ AB OD）：（ BC OF）：（ AC OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6．
【分析】根據角平分線的性質可知，角平分線上的點到角兩邊的距離相等；求出S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．
15．（2023八上·雙峰期末）如圖所示中，，的垂直平分線交于，的周長是，則　 　．
【答案】
【知識點】線段垂直平分線的性質
【解析】【解答】解：是的垂直平分線，
，
的周長，
，的周長是，
．
故答案為：．
【分析】
由線段垂直平分線的性質可得，則的周長，再代入數據進行計算即可得解．
16．（2022八上·成都期末）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①以點C為圓心，任意長為半徑作弧，分別交AC，CB于點E和F；②分別以E，F為圓心，大于EF為半徑畫弧，兩弧交于點D；③作射線CD交AB于點G；延長CA至H，使CH＝CB，連接HG，若AH＝2，AB＝5，則△AHG的周長為 　 　.
【答案】7
【知識點】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：由作圖可知，CH=CB，∠GCH=∠GCB，
在△GCH和△GCB中，
，
∴△GCH≌△GCB（SAS），
∴GH=GB，
∴△AHG的周長=AH+AG+GH=AH+AG+GB=AH+AB=2+5=7.
故答案為：7.
【分析】由作圖可知：CH=CB，∠GCH=∠GCB，利用SAS證明△GCH≌△GCB，得到GH=GB，則可將△AHG的周長轉化為AH+AB，據此解答.
17．（2024八上·曾都期末）“三等分角”是古希臘三大幾何問題之一．如圖這個“三等分角儀”由兩根有槽的棒組成，兩根棒在O點相連并可繞O轉動，C點固定，，點D，E可在槽中滑動，若，則　 　°．
【答案】24
【知識點】三角形外角的概念及性質；等腰三角形的性質-等邊對等角
【解析】【解答】解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠COD＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，
∵∠DCE＝∠COD＋∠CDO，
∴∠DEC＝2∠COD，
∴∠BDE＝∠DEC＋∠COD＝3∠COD，∠BDE＝72°，
∴∠COD＝24°，
即∠AOB＝24°，
故答案為：24．
【分析】先利用等邊對等角的性質可得∠COD＝∠CDO，∠DCE＝∠DEC，再利用三角形外角的性質可得∠DCE＝∠COD＋∠CDO，再將數據代入求出∠COD＝24°，即可得到∠AOB＝24°.
18．如圖，AOB 是一鋼架，且∠AOB=10°，為使鋼架更加堅固，需在其內部添加一些鋼管EF，FG，GH……添加的鋼管長度都與OE 相等，則最多能添加這樣的鋼管　 　根.
【答案】8
【知識點】三角形內角和定理；三角形外角的概念及性質；等腰三角形的性質
【解析】【解答】解： ∵添加的鋼管長度都與OE相等，∠AOB=10°，
∴∠GEF=∠FGE=20°，…從圖中我們會發現有好幾個等腰三角形，
即第一個等腰三角形的底角是10°，第二個是20°，第三個是30°，四個是40°，五個是50°，六個是60°，七個是70°，八個是80°，九個是90°就不存在了．所以一共有8個．
故答案為：8．
【分析】 此題考查了三角形的內角和是180度的性質和等腰三角形的性質及三角形外角的性質，由圖可發現，圖中隨著鋼管數量的增加，出現了好幾個等腰三角形，第一個等腰三角形的底角是10°，第二個是20°，第三個是30°，四個是40°，五個是50°......以此類推，而由等腰三角形的性質得知，等腰三角形的底角應小于90°，所以，底角最大增加到80°，故最多添加8根鋼管.
三、解答題：本大題10小題，共96分.
19．（2024八上·新會月考） 電信部門要修建一座電視信號發射塔 ， 按照設計要求， 發射塔 到兩城鎮 的距離必須相等， 到兩條高速公路 和 的距離也必須相等. 請在圖中作出發射塔 的位置 .(尺規作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）
【答案】解：連接AB，作線段AB的垂直平分線，作角的平分線，兩線相交于點P，則點P為所求。
【知識點】尺規作圖-作角的平分線；尺規作圖-垂直平分線
【解析】【分析】分別根據線段垂直平分線的作法，以及角平分線的作法作圖，兩線相交于點P，點P為所求。
20．（2025八上·紅花崗期末）如圖，在和中，在同一條直線上，已知：，下列給出三個條件：．解答下列問題：
（1）請選擇兩個合適的作為已知條件，余下一個作為結論，并給出證明過程：
我選擇 作為已知條件， 作為結論（填寫序號）．
（2）在（1）的條件下，若與相交于點，求．
【答案】（1）①③；②或②③，①，
解：條件：①， ③；
結論：②；
理由：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
條件：②；③；
結論： ①，
理由：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
由（1）可得：，
∴．
【知識點】三角形內角和定理；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS；內錯角的概念；全等三角形中對應角的關系
【解析】【分析】（1）選擇條件和結論，然后證明解題；
（2）先得到，根據（1）可得，然后運用三角形的內角和定理解題．
（1）解：條件：①， ③；
結論：②；
理由：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
條件：②；③；
結論： ①，
理由：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
由（1）可得：，
∴．
21．（2024八上·黔西南期末）中華人民共和國五星紅旗上大五角星代表中國共產黨，四顆小五角星代表工人、農民、小資產階級和民族資產階級四個階級．五顆五角星互相連綴、疏密相間，象征中國人民大團結．每顆小星各有一個尖角正對大星中心點，表示人民對黨的向心之意，如圖①：根據圖形填空：
（1）　 　，　 　；
（2）　 　　 　；
（3）【應用】
如圖②．求的度數．
【答案】（1）；
（2）；
（3）解：如圖②，由三角形外角的性質得，，
由三角形內角定理得，
．
【知識點】三角形內角和定理；三角形外角的概念及性質
【解析】【分析】（1）根據三角形的外角性質即可求解；
（2）根據三角形的內角和定理以及等量代化即可求解；
（3）利用三角形的外角性質以及內角和定理即可求解.
22．（2024八上·義烏月考）如圖，在中，，，點D在邊上，、關于所在的直線對稱，的角平分線交邊于點G，連接．
（1）求的度數．
（2）設，當為何值時，為等腰三角形？
【答案】（1）（1）解：∵，，∴，
∵、關于所在的直線對稱，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴；
（2）（2）解：∵使得為等腰三角形，分三種情況討論：令與交點為，
①當時，
∴，
∵，
∴在中：，
∴；
②當時，
∴，
∵，
∴，
∴在中：，
∴；
③當時，
∴，
∴，
∴在中：，
∴；
綜上所述：當或時，為等腰三角形．
【知識點】三角形內角和定理；三角形外角的概念及性質；等腰三角形的判定與性質；軸對稱的性質
【解析】【分析】（1）先求出，再利用軸對稱性質得，即，再證明，繼而得到；
（2）為等腰三角形時分三種情況討論，①當時，②當時，③當時，分別求出即可．
（1）解：∵，，
∴，
∵、關于所在的直線對稱，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴；
（2）解：∵使得為等腰三角形，分三種情況討論：
令與交點為，
，
①當時，
∴，
∵，
∴在中：，
∴；
②當時，
∴，
∵，
∴，
∴在中：，
∴；
③當時，
∴，
∴，
∴在中：，
∴；
綜上所述：當或時，為等腰三角形．
23．（2025八上·余姚期末）如圖，中，點D在邊上，，的平分線交于點E，過點E作，垂足為F，且，連接．
（1）求證：平分．
（2）求證：平分．
（3）若，，，，求的面積．
【答案】（1）證明：，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）證明：如圖，過點作于點，于點，
由（1）可得：是的平分線，
，
是的平分線，
，
，
點在的平分線上，
平分；
（3）解：設，
由（2）可得：，
，，，
，
即：，
解得：，
，
．
【知識點】三角形的面積；角平分線的性質；角平分線的判定；直角三角形的兩銳角互余
【解析】【分析】（1）由鄰補角定義得∠FAD=80°，由直角三角形的兩個銳角互余得∠FAE=40°，由角的和差關系得∠DAE=∠FAE=40°，從而根據角平分線定義可得結論；
（2）過點E作于點G，于點H，由角平分線的上的點到角兩邊的距離相等可得EF=EG，EF=EH，則EG=EH，然后由到角兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上即可得出結論；
（3）設EG=x，則EG=EF=EH=x，由S△ACD=S△ADE+S△CDE建立方程，解方程即可求出x的值，從而得到EF的長，然后利用三角形的面積公式列式計算可得△ABE的面積.
（1）證明：，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）證明：如圖，過點作于點，于點，
由（1）可得：是的平分線，
，
是的平分線，
，
，
點在的平分線上，
平分；
（3）解：設，
由（2）可得：，
，，，
，
即：，
解得：，
，
．
24．（2024八上·隆安期末）綜合與實踐：
初步認識箏形后，實踐小組動手制作了一個“箏形功能器”，如圖，在筆形中，．
(1)【操作應用】如圖1，將“箏形功能器”上的點與的頂點重合，分別放置在角的兩邊上，并過點畫射線，求證：是的平分線；
(2)【實踐拓展】實踐小組嘗試使用“箏形功能器”檢測教室門框是否水平．如圖2，在儀器上的點處栓一條線繩，線繩另一端掛一個鉛錘，儀器上的點緊貼門框上方，觀察發現線繩恰好經過點，即判斷門框是水平的．實踐小組的判斷對嗎？請說明理由．
【答案】解：（1）證明：在和中，
∵，
，
，
是的平分線；
（2）實踐小組的判斷對，理由如下：
是等腰三角形，，
由（1）知：平分，
，
是鉛錘線，
是水平的．
門框是水平的．
實踐小組的判斷對．
【知識點】等腰三角形的性質；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】(1)證明，得，即可證得是的平分線 ；
（2）根據等腰三角形的三線合一可得，進而即可解決問題．
25．（2024八上·柯橋月考）已知在中，，，點是平面內一點，連接、、，．
（1）如圖1，點在的內部．
①當，求的度數；
②當平分，判斷的形狀，并說明理由；
（2）如果直線與直線相交于點，如果是以為腰的等腰三角形，求的度數（直接寫出答案）．
【答案】（1）解：①在中，，，
，
，
又，
，
，，
，
在中，，，
；
②為等邊三角形，理由如下：
如圖1所示：
平分，
設，則，
在中，，
，
∵ ，，
∴，
，
在中，，，
，
，，
在中，，
，
，，，
∴∠ACB=∠CAB=∠CBA，
為等邊三角形
（2）的度數為或
【知識點】等腰三角形的判定與性質；等邊三角形的判定
【解析】【解答】（2）解：的度數為或，理由如下：
直線與直線相交于點，且是以為腰的等腰三角形，
有以下兩種情況：
①當直線與線段交于點時，如圖2①所示：
設，
是以為腰的等腰三角形，即，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
即，
②當直線與的延長線交于點時，如圖2②所示：
設，
，
，
是以為腰的等腰三角形，即，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
綜上所述：的度數為或．
故答案為：或．
【分析】（1）①先根據等角對等邊得，由三角形的內角和得，再利用周角得∠BOC的度數，再推出，根據等角對等邊得；
②設，則可表示出，根據等邊對等角得的度數，再推出得，可表示出、，再根據三角形內角和定理列方程計算，進而得、、，由此可判定的形狀；
（2）分兩種情況討論如下：①當直線與線段交于點時，設，則可依次表示出、、，再根據三角形內角和定理列方程計算出，即可寫出的度數 ，②當直線與的延長線交于點時，設，則可依次表示出、、，再根據三角形內角和定理列方程計算，即可寫出的度數 ，綜上所述即可得出的度數．
（1）解：①在中，，，
，
，
又，
，
，，
，
在中，，，
；
②為等邊三角形，理由如下：
如圖1所示：
平分，
設，則，
在中，，
，
在中，，
，
在中，，，
，
，，
在中，，
，
，，，
為等邊三角形；
（2）解：的度數為或，理由如下：
直線與直線相交于點，且是以為腰的等腰三角形，
有以下兩種情況：
①當直線與線段交于點時，如圖2①所示：
設，
是以為腰的等腰三角形，即，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
即，
②當直線與的延長線交于點時，如圖2②所示：
設，
，
，
是以為腰的等腰三角形，即，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
綜上所述：的度數為或．
26．（2024八上·南寧月考）閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題：
如圖1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC=2∠C.探究AB、BD、AC之間的數量關系；
小明通過思考發現，可以通過“截長、補短”兩種方法解決問題：
方法一：如圖2，在AC上截取AE，使得AE=AB，連接DE，得到全等三角形，進而解決問題．
方法二：如圖3，延長AB到點E，使得BE=BD，連接DE，得到等腰三角形，進而解決問題．
（1）試猜想AB、BD、AC之間的數量關系　 　．
（2）根據閱讀材料，任選一種方法證明AC=AB+BD，根據自己的解題經驗或參考小明的方法
（3）解決下面的問題；
如圖4，四邊形ABCD中，E是BC上一點，EA=ED，∠DCB=2∠B，∠DAE+∠B=90°，探究DC、CE、BE之間的數量關系，并證明．
【答案】（1）AC＝AB+BD
（2）證明：方法一：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△BAD和△EAD中
，
∴△ABD≌△AED（SAS）
∴BD＝ED，∠AED＝∠B＝2∠C，
∵∠AED＝∠C+∠EDC，
∴∠EDC＝∠C，
∴ED＝EC，
∴BD＝EC，
∴AC＝AB+BD；
方法二：∵
∴∠BED＝∠BDE
∵∠ABC＝∠BED+∠BDE，且∠ABC＝2∠C
∴∠BED＝∠ABC=∠C
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
在△AED和△ACD中，
∴△AED≌△ACD（AAS）
∴AE=AC
∵AE=AB+BE=AB+BD
∴AC=AB+BD
（3）解：DC、CE、BE之間的數量關系是BE＝DC+CE，
證明：在EB上截取EF，使得EF＝DC，連接AF，
∵EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴2∠DAE＝180°﹣∠AED，
∵∠DAE+∠B＝90°，
∴2∠DAE+2∠B＝180°，
∴∠AED＝2∠B＝∠C，
∵∠BED＝∠CDE+∠C=∠AEB+∠AED，
∴∠AEB＝∠CDE，
在△AEF和△EDC中，
∴△AEF≌△EDC（SAS），
∴EC＝AF，∠AFE＝∠C＝2∠B，
∵∠AFE＝∠B+∠BAF，
∴∠ABF＝∠BAF，
∴BF＝AF，
∴BF＝CE，
∴BE＝DC+CE．
【知識點】三角形內角和定理；三角形外角的概念及性質；等腰三角形的判定與性質；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根據角平分線定義得到∠BAD＝∠CAD，然后利用"SAS"證明△ABD≌△AED得到：BD＝ED，∠AED＝∠B＝2∠C，再結合三角形外角的性質及等角對等邊得到BD＝EC，進而即可求證；
（2）方法一：根據角平分線定義得到∠BAD＝∠CAD，然后利用"SAS"證明△ABD≌△AED得到：BD＝ED，∠AED＝∠B＝2∠C，再結合三角形外角的性質及等角對等邊得到BD＝EC，進而即可求證；
方法二：由等邊對等角得∠BED＝∠BDE，再結合三角形外角的性質和角平分線的定義得∠BAD＝∠CAD即可利用"AAS"證明△AED≌△ACD，由全等三角形的性質得AE=AC，最后根據線段間的數量關系即可求解；
（3）在EB上截取EF，使得EF＝DC，連接AF，等邊對等角及三角形內角和定理得∠AED＝2∠B＝∠C，再結合三角形外角的性質得∠AEB＝∠CDE，利用"SAS"證明△AEF≌△EDC，由全等三角形的性質可得EC＝AF，∠AFE＝∠C＝2∠B，進而由等角對等邊可得到BF＝CE，進而即可求解.
27．（2024八上·恩施期中）
（1）感知：如圖，平分，，易知：（不需證明）
（2）探究：如圖，平分，，求證：．
（3）應用：如圖，四邊形中，，，，，求證：．
【答案】（1）證明：，，
，
平分，
，
在和中，
≌，
；
（2）證明：作于，于，如圖所示：
平分，，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
（3）證明：連接，作于點，如圖所示：
，
，
，
，
在和中，
≌，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
．
【知識點】直角三角形全等的判定-HL；角平分線的性質
【解析】【分析】（1）先利用角平分線的定義可得，再利用“AAS”證出≌，最后利用全等三角形的性質可得；
（2）作于，于，先利用角的運算求出，再利用“AAS”證出≌，最后利用全等三角形的性質可得；
（3）連接，作于點，先利用“AAS”證出≌，可得，，再利用“HL”證出≌，可得，最后利用線段的和差及等量代換可得．
（1），，
，
平分，
，
在和中，
≌，
；
（2）作于，于，如圖所示：
平分，，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
（3）連接，作于點，如圖所示：
，
，
，
，
在和中，
≌，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
．
28．（2020八上·贛榆期中）如圖1，點P、Q分別是等邊 上的動點（端點除外），點P從頂點A、點Q從頂點B同時出發，且它們的運動速度相同，連接AQ、CP交于點M.
（1）求證： ；
（2）當點P、Q分別在AB、BC邊上運動時，∠QMC變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，求出它的度數.
（3）如圖2，若點P、Q在運動到終點后繼續在射線AB、BC上運動，直線AQ、CP交點為M，則∠QMC變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，則求出它的度數.
【答案】（1）證明：∵ 是等邊三角形，
∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，
∵點P、Q運動速度相同，
∴AP=BQ，
∴ .
（2）解：點P、Q在運動的過程中，∠QMC不變.
∵ ，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠ACP+∠MAC， ∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°.
（3）解：點P、Q在運動到終點后繼續在射線AB、BC上運動，∠QMC不變.
∵ ，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°-∠PAC=180°-60°=120°.
【知識點】三角形外角的概念及性質；等邊三角形的性質；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由等邊三角形的性質得∠ABQ=∠CAP，AB=CA，由點P、Q運動速度相同得AP=BQ，然后由全等三角形的判定定理SAS進行證明；
（2）由全等三角形的性質可得∠BAQ=∠ACP，由三角形外角的性質可得 ∠QMC=∠ACP+∠MAC，據此求解；
（3）由全等三角形的性質可得∠BAQ=∠ACP，由三角形外角的性質可得∠QMC=∠BAQ+∠APM，據此求解.
1 / 1

展開更多......

收起↑