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第二章《實數(shù)的初步認(rèn)識》提升卷—蘇科版（2024）數(shù)學(xué)八（上）單元分層測
一、選擇題：本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的.每小題選對得3分，選錯、不選或多選，均不得分.
1．（2025七下·雨花期末）下列各式正確的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024七下·舒城月考）如果，，則（　　）
A．2.872 B．28.72 C．287.2 D．2872
3．（2024七下·高要期末）一個正數(shù)的兩個不同的平方根是和，則這個正數(shù)是（　　）
A．64 B．49 C．14 D．7
4．（2025七下·封開期末） 下列各數(shù)中沒有平方根的是（　　）
A． B． C．0 D．0.03
5．（2025七下·雨花期末）如圖，數(shù)軸上有M，N，P，Q四點，則這四點中所表示的數(shù)最接近的是（　　）
A．點M B．點N C．點P D．點Q
6．（2025七下·安州期末）某電影院1號廳正在放映電影《哪吒之魔童鬧海》，甲、乙兩名工作人員根據(jù)1號廳的觀影人數(shù)，說法如下：
甲：“觀影人數(shù)不超過90人．”
乙：“觀影人數(shù)不足100人．”
已知甲的說法錯誤，乙的說法正確，則在1號廳的觀影人數(shù)可能為（　　）
A．90 B．96 C．100 D．101
7．（2025七下·廣安期中）如圖，面積為2的正方形的頂點A在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為．若，則數(shù)軸上點E所表示的數(shù)為（　　）
A． B． C． D．
8．有下列說法：①任何有理數(shù)都是有限小數(shù)；②實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)；③在1和3之間的無理數(shù)有且只有，，，，4個；④近似數(shù)5.60所表達(dá)的準(zhǔn)確數(shù)x的范圍是5.595≤x<5.605。其中正確的個數(shù)是 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.只要求填出最后結(jié)果.
9．（2025七下·北流月考）在下列實數(shù)：，，，，，（1和2之間0的個數(shù)逐次增加一個）中，無理數(shù)共有　 　個．
10．（2025七上·金華月考）的平方根是　 　；5的算術(shù)平方根是　 　；的絕對值是　 　．
11．（2024八上·清鎮(zhèn)市月考）立方根等于本身的數(shù)是　 　．
12．（2024七上·樂清月考）有理數(shù)3.14159精確到千分位的近似數(shù)為　 　．
13． 若則x-y的值為　 　.
14．（2025七下·瀏陽期末） 若關(guān)于x，y的方程組有無數(shù)組解，則＝　 　 ．
15．（2025七下·富順期末）現(xiàn)定義一個新運算“※”，規(guī)定對于任意實數(shù)x，y，都有，則的值為　 　．
16．（2025七下·競賽）我們知道是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，它的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，但是由于，所以的整數(shù)部分為1，小數(shù)部分為。根據(jù)以上的內(nèi)容，解答下面的問題：若的小數(shù)部分為a，的整數(shù)部分為b，則的值是　 　。
17．（2025七下·湛江期中）如圖，A，B，C均為正方形，若A的面積為10，C的面積為1，則B的邊長可以是　 　．（寫出一個答案即可）
18．（2025七下·柯橋月考）設(shè)2016a3＝2017b3＝2018c3，abc＞0，且，則＝　 　
三、解答題：本大題10小題，共96分.
19．（2025七下·郴州期中）計算：
（1）
（2）
20．（2025七下·長沙月考）求下列等式中的x值：
（1）
（2）
21．（2025七下·義烏開學(xué)考）如果為的算術(shù)平方根，為的立方根，求的平方根．
22．如果一個實際數(shù)的真實值為a，近似值為b，那么|a-b|稱為絕對誤差，稱為相對誤差．已知一根木條的實際長度為20.45cm，第一次測量精確到厘米，第二次測量精確到毫米，求兩次測量所產(chǎn)生的絕對誤差和相對誤差．(相對誤差精確到0.0001)
23．（2025七下·潮南月考）閱讀下面材料：形如的式子叫做二階行列式，它的運算法則用公式表示為，例如：．
利用上面法則，解答下列問題：
（1）計算：．
（2）若關(guān)于x的不等式的負(fù)整數(shù)解為，，，求k的取值范圍．
24．（2024七下·潮安期末）閱讀材料1．
是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分不能全部寫出來，但由于，所以的整數(shù)部分為1，將減去其整數(shù)部分1，差就是小數(shù)部分，其小數(shù)部分為．
（1）直接寫出的小數(shù)部分是　 　；的小數(shù)部分是　 　；
（2）已知，其中是整數(shù)，且，求的值；
（3）閱讀材料2．
小明在查閱了乘法公式后，想出了一個估算無理數(shù)近似值的方法，例如求的近似值（結(jié)果精確到0.01），設(shè)，其中，則，因為，所以，所以，解得，所以．
利用小明的方法估算的近似值（結(jié)果精確到0.01）
25．對于實數(shù)，我們規(guī)定：用符號| 表示不大于 的最大整數(shù)，并稱 為x的根整數(shù)，例如：[
（1）仿照以上方法計算： 　 　，　 　.
（2）若 寫出滿足題意的x的整數(shù)值.
（3）我們對x連續(xù)求根整數(shù)，直到結(jié)果為1為止.例如：對10連續(xù)求根整數(shù)2次 1，這時候結(jié)果為1.
①對100連續(xù)求根整數(shù)，　 　次之后結(jié)果為1.
②只需進(jìn)行3次連續(xù)求根整數(shù)運算后結(jié)果為1的所有正整數(shù)中，最大的是　 　 .
26．（2024七下·夏邑月考）當(dāng)?shù)貢r間5月6日，“從北京到巴黎——中法藝術(shù)家奧林匹克行”中國藝術(shù)大展在巴黎舉辦．蘇繡作品《荷嬌欲語》亮相巴黎，向世人展示東方美學(xué)的韻味．現(xiàn)有一張長方形繡布，長、寬之比為，繡布面積為．
（1）求繡布的周長；
（2）刺繡師傅想用這張繡布裁出一張面積為的完整圓形繡布來繡花鳥圖，她能夠裁出來嗎？請說明理由（π取3）
27．（2024七下·洪山月考）下表是平方根和立方根的部分內(nèi)容：
平方根 立方根
定義 一般地，如果一個數(shù)x的平方等于a，即x2＝a，那么這個數(shù)x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一個數(shù)x的立方等于a，即x3＝a，那么這個數(shù)x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）．
性質(zhì) 一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)：0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根． 正數(shù)的立方根是正數(shù)；0的立方根是0；負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)．
【類比探索】（1）探索定義：
類比平方根和立方根，給四次方根下定義：____．
（1）探究性質(zhì)：
①1的四次方根是 　 　；
②16的四次方根是 　 　；
③0的四次方根是 　 　；
④　 　（填“有”或“沒有”）四次方根．
類比平方根和立方根的性質(zhì)，歸納四次方根的性質(zhì)：　 　；
（2）＝　 　，＝　 　．
28．（2024七上·長興期中）如圖1，教材有這樣一個探究：把兩個面積為的小正方形拼成一個面積為的大正方形，所得到的面積為的大正方形的邊就是原先面積為的小正方形的對角線長，因此，可得小正方形的對角線長為．
（1）由此，我們得到了一種方法，能在數(shù)軸上畫出無理數(shù)所對應(yīng)的點，則圖2中A，B兩點表示的數(shù)為________，________．
（2）某同學(xué)把長為2，寬為1的兩個長方形進(jìn)行裁剪，拼成如圖3所示的一個正方形.請同學(xué)們仿照上面的探究方法求出小長方形的對角線的長度，并說明理由．
（3）若3是的一個平方根，的立方根是2，c為圖3中小正方形邊長x的整數(shù)部分，請計算的平方根．
答案解析部分
1．【答案】D
【知識點】求算術(shù)平方根；開立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A.，故A錯誤；
B.，故B錯誤；
C.，故C錯誤；
D.，故D正確.
故答案為：D.
【分析】表示求a的算術(shù)平方根，表示求b的立方根。
2．【答案】B
【知識點】立方根的實際應(yīng)用
【解析】【解答】解：∵，
而
∴．
故答案為：B．
【分析】立方根的規(guī)律：根號內(nèi)的小數(shù)點每向左或向右移動3位，其立方根的小數(shù)點向相同的方向移動一位，據(jù)此求解即可.
3．【答案】A
【知識點】平方根的性質(zhì)
【解析】【解答】解：由題意得：，
解得，
則這個正數(shù)是，
故答案為：A．
【分析】利用平方根的定義及計算方法可得，求出a的值，再求出這個正數(shù)即可.
4．【答案】B
【知識點】有理數(shù)的乘方法則；平方根的概念與表示
【解析】【解答】解：（﹣2）3＝﹣8，（﹣2）3是負(fù)數(shù)，沒有平方根，
故答案為：B
【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方結(jié)合平方根的定義（被開方數(shù)不能是負(fù)數(shù)）即可求解。
5．【答案】C
【知識點】實數(shù)在數(shù)軸上表示；無理數(shù)的估值
【解析】【解答】解：∵1<3<4
∴1<<2
∴-2<<-1
所以這四點中所表示的數(shù)最接近的是點P.
故答案為：C.
【分析】本題考查估算無理數(shù)的大小，實數(shù)與數(shù)軸，理解算術(shù)平方根的定義是正確解答的前提.
6．【答案】B
【知識點】近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)
【解析】【解答】解： ∵已知甲的說法錯誤，乙的說法正確，
∴ 觀影人數(shù)不足100人 （大于90小于100）
∴ 在1號廳的觀影人數(shù)可能為 96人，
故答案為：B.
【分析】根據(jù)估算可知，不足100人，表示是大于90小于100之間的數(shù)值.
7．【答案】A
【知識點】實數(shù)在數(shù)軸上表示
【解析】【解答】解：∵面積為2的正方形，
∴，
∴，
∴數(shù)軸上點E所表示的數(shù)為；
故答案為：A．
【分析】根據(jù)正方形的面積等于邊長的平方可求出的長，由作圖可得AE=AD，然后根據(jù)數(shù)軸上點所表示的數(shù)的特征可求解．
8．【答案】B
【知識點】無理數(shù)的概念；有理數(shù)的概念；近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)
【解析】【解答】解：①有理數(shù)不一定是有限小數(shù)，整數(shù)也是有理數(shù)，①錯誤，
②實數(shù)與數(shù)軸上的點一 一對應(yīng)，有理數(shù)是實數(shù)的一部分，②正確，
③在1和3之間的無理數(shù)有無數(shù)個，例如，等，③錯誤，
④近似數(shù)7.30所表示的準(zhǔn)確數(shù)x的范圍是5.595 ≤a< 5.605，⑤正確
綜上所述，正確的說法有②和⑤，共2個。
故答案為：B.
【分析】根據(jù)有理數(shù)、實數(shù)、無理數(shù)、近似數(shù)的有關(guān)概念進(jìn)行判斷即可.
9．【答案】3
【知識點】無理數(shù)的概念；求算術(shù)平方根；開立方（求立方根）
【解析】【解答】解：屬于無理數(shù)；
屬于有理數(shù)；
，因此屬于有理數(shù)；
屬于無理數(shù)；
屬于有理數(shù)；
（1和2之間0的個數(shù)逐次增加一個）為無限不循環(huán)小數(shù)，屬于無理數(shù)；
綜上可知，無理數(shù)有、、，一共3個。
故答案為：3．
【分析】本題考查無理數(shù)的識別。無理數(shù)，也稱為無限不循環(huán)小數(shù)，因此無理數(shù)不能寫作兩整數(shù)之比，如果將無理數(shù)寫成小數(shù)形式，小數(shù)點之后的數(shù)字有無限多個，并且不會循環(huán)。而分?jǐn)?shù)、整數(shù)和有限小數(shù)已經(jīng)循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)。據(jù)此進(jìn)行分析即可。
10．【答案】；；
【知識點】求有理數(shù)的絕對值的方法；開平方（求平方根）；求算術(shù)平方根
【解析】【解答】解：的平方根是，5的算術(shù)平方根是；
故答案為：；；．
【分析】正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，其中算術(shù)平方根為正，求絕對值時，負(fù)數(shù)的絕對值為其相反數(shù)，根據(jù)定義依次解答即可．
11．【答案】，0，1
【知識點】開立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，，．
故答案為：，0，1．
【分析】
本題考查有理數(shù)的乘方，立方根的定義，熟知立方根的定義是解題關(guān)鍵．
立方根的定義為：如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫做a的立方根，記作
根據(jù)立方根的定義，代入數(shù)據(jù)即可得出答案．
12．【答案】3.142
【知識點】近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)
【解析】【解答】3.14159中從左至右第二個1在千分位，后面的5可以進(jìn)位，
所以有理數(shù)3.14159精確到千分位的近似數(shù)為3.142．
【分析】找到千分位所在的數(shù)，將它的下一位數(shù)進(jìn)行“四舍五入”，即可得到答案．
13．【答案】-1
【知識點】解二元一次方程組；算術(shù)平方根的性質(zhì)（雙重非負(fù)性）；絕對值的非負(fù)性
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得：，
∴x-y=1-2=-1.
故答案為：-1.
【分析】根據(jù)絕對值的非負(fù)性和二次根式的非負(fù)性，由兩個非負(fù)數(shù)的和為零，則每一個數(shù)都等于零，可得關(guān)于x、y的二元一次方程組，解這個方程組即可求出x、y的值，然后代入x-y計算即可求解.
14．【答案】2
【知識點】求算術(shù)平方根；已知二元一次方程組的解求參數(shù)
【解析】【解答】解：
，
①×b ②，得（ab＋2）y＝1 b，
∵原方程組有無數(shù)組解，
∴ab＋2＝0，1 b＝0，
∴a＝ 2，b＝1，
∴，
故答案為：2．
【分析】先解方程組，然后根據(jù)方程組有無數(shù)組解即可得出ab＋2＝0，1 b＝0，即可求出a、b的值．
15．【答案】8
【知識點】求算術(shù)平方根；開立方（求立方根）
【解析】【解答】解：．
故答案為：8．
【分析】根據(jù)新運算列出算式，再根據(jù)算術(shù)平方根和立方根的運算計算即可.
16．【答案】3
【知識點】無理數(shù)的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴的整數(shù)部分為2，
∴小數(shù)部分為，
即，
∵，
∴的整數(shù)部分為5，
∴b=5，
∴.
故答案為：3.
【分析】求出的整數(shù)部分和小數(shù)部分，然后求出的整數(shù)部分，最后將這些值代入公式進(jìn)行計算.
17．【答案】2
【知識點】無理數(shù)的估值；求算術(shù)平方根
【解析】【解答】解：，，
正方形的邊長為，正方形的邊長為1，
的邊長，
正方形的邊長可以是2，
故答案為：2（答案不唯一）．
【分析】利用正方形的面積公式及算術(shù)平方根的計算方法求出A、C的邊長，再求解即可.
18．【答案】1
【知識點】立方根的性質(zhì)；利用等式的性質(zhì)將等式變形
【解析】【解答】解：，
，
∴，
解得＝ 1
故答案為：1 .
【分析】本題主要考查等式的變形，需要利用立方根的計算。
從問題出發(fā)，因此讓原式中盡量出現(xiàn) ，這時可以在的根號里面的式子每個因式變形為，最后變形為；然后再將變形，并結(jié)合 2016a3＝2017b3＝2018c3 ，因此得到，最后即可得出等式，從而求出 的值。
19．【答案】（1）解：
.
（2）解：
．
【知識點】實數(shù)的絕對值；求算術(shù)平方根；開立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先求立方根、算術(shù)平方根和化簡絕對值，再進(jìn)行加減計算；
（2）先求立方根、算術(shù)平方根，乘方運算，再計算乘法，最后進(jìn)行加減計算．
（1）解：
；
（2）解：
．
20．【答案】（1）解：
或
（2）解：
【知識點】利用開平方求未知數(shù)；利用開立方求未知數(shù)
【解析】【分析】（1）利用平方根的性質(zhì)，可得到x-2的值，然后解方程即可.
（2）先將（x-1）3的系數(shù)化為1，然后利用立方根的性質(zhì)解方程即可.
（1）解：
或；
（2）解：
．
21．【答案】
【知識點】開平方（求平方根）；求算術(shù)平方根
【解析】【解答】解：由題意得：，
解得，
∴，
∴的平方根是．
故答案為：.
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根與立方根的定義，列出方程組求出、的值，進(jìn)而求出2a-3b的平方根．
22．【答案】解：第一次測量精確到厘米，
因為a=20.45cm，所以b=20cm，所以
第二次測量精確到毫米，
因為a=20.45cm，所以b=20.5cm，所以
【知識點】精準(zhǔn)度與有效數(shù)字
【解析】【分析】 根據(jù)原數(shù)得到近似數(shù)，然后絕對誤差，相對誤差的定義解答即可．
23．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：∵ ，
∴，
解得，
∵負(fù)整數(shù)解為，，，
∴，
解得，
∴k的取值范圍為．
【知識點】一元一次不等式的特殊解；求算術(shù)平方根；開立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根據(jù) 運算法則，代入數(shù)據(jù)即可求解
（2）根據(jù) 運算法則，將不等式的左邊進(jìn)行求解，然后再結(jié)合不等式的右邊，最后再進(jìn)行解不等式，即可求解
（1）原式
；
（2）∵，
∴，
解得，
∵負(fù)整數(shù)解為，，，
∴，
解得，
∴k的取值范圍為．
24．【答案】（1）；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，，；
（3）解：∵，
∴
設(shè)，其中，則，
∵，
∴，
∴，
解得，所以．
【知識點】無理數(shù)的估值；無理數(shù)的概念
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴的小數(shù)部分是，
∵，
∴，
∴的小數(shù)部分是，
故答案為：，；
【分析】（1）根據(jù)題意估算無理數(shù)的大小，進(jìn)而即可求解；
（2）先根據(jù)題意估算的大小，進(jìn)而即可得到，從而即可得到x和y，再代入即可求解；
（3）先根據(jù)題意估算的大小，進(jìn)而設(shè)，其中，則，再根據(jù)材料結(jié)合題意即可求解.
25．【答案】（1）2；5
（2）解：且
故答案為： 1， 2， 3；
（3）解：3；255
【知識點】無理數(shù)的估值
【解析】【解答】
故答案為： 2， 5；
(3) ① 第一次：
第二次：
第三次：
故答案為：3；
② 最大的正整數(shù)是255.
理由是： ∴對255只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?.
，
∴對256只需進(jìn)行4次操作后變?yōu)?，
∴只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是255.
故答案為： 255.
【分析】(1)先估算 和 的大小，再由新定義可得結(jié)果；
(2)根據(jù)定義可知x<4，可得滿足題意的x的整數(shù)值；
(3) ① 根據(jù)定義對100進(jìn)行連續(xù)求根整數(shù)，求得結(jié)果為1時的次數(shù)即可；
② 最大的正整數(shù)是255，根據(jù)操作過程分別求出255和256進(jìn)行幾次操作，即可得出答案.
26．【答案】（1）解：設(shè)繡布的長為(3x)，寬為(2x)，
根據(jù)題意，得，
即，
∴，
∵，
∴．
∴，．
∴繡布的長為24，寬為16．
周長為
（2）解：不能夠裁出來．理由如下：設(shè)完整的圓形繡布的半徑為r，
由題意，得，
∵π取3，
∴，
解得（負(fù)值已舍去），
∵，
∴．
∴不能夠裁出來
【知識點】算術(shù)平方根的實際應(yīng)用
【解析】【分析】（1）設(shè)繡布的長為(3x)，寬為(2x)，利用長方形的面積公式可得到關(guān)于x的方程，解方程求出符合題意的x的值，然后求出繡布的周長.
（2）設(shè)完整的圓形繡布的半徑為r，利用圓的面積可求出圓的半徑，進(jìn)行估算比較大小，即可求解.
27．【答案】（1）；；0；沒有；一個正數(shù)有兩個四次方根，它們互為相反數(shù)；0的四次方根是0；負(fù)數(shù)沒有四次方根；
（2）；
【知識點】開平方（求平方根）；開立方（求立方根）
【解析】【解答】解：（1）1的四次方根是±1；16的四次方根是±2；0的四次方根是0；-625沒有四次方根，
類比平方根和立方根的性質(zhì)，歸納四次方根的性質(zhì)： 一個正數(shù)有兩個四次方根，它們互為相反數(shù)；0的四次方根是0；負(fù)數(shù)沒有四次方根.
（2） =±5； =.
故答案為：（1）±1；±2；0；沒有；一個正數(shù)有兩個四次方根，它們互為相反數(shù)；0的四次方根是0；負(fù)數(shù)沒有四次方根；
（2）±5；.
【分析】類比平方根與立方根，可得四次方根的定義： 一般地，如果一個數(shù)x的立方等于a，即x4＝a，那么這個數(shù)x就叫做a的四次方根（也叫做四次方根).
（1）根據(jù)定義進(jìn)行計算，根據(jù)結(jié)果歸納出性質(zhì)，即可求得；
（2）根據(jù)定義，求四次方根即可.
28．【答案】（1），
（2）解：∵大正方形面積為：，兩個小長方形面積為：，∴小正方形面積為：．
故長方形對角線長度為：
（3）解：∵，，∴，．
∵，
∴，
∴．
故
【知識點】實數(shù)在數(shù)軸上表示；開平方（求平方根）；求算術(shù)平方根；開立方（求立方根）
【解析】【解答】（1）解：∵小正方形邊長為1，
∴由前面的拼圖知，小正方形的對角線為．
∴．
∴A表示的數(shù)為，B表示的數(shù)為．
故答案為：，．
【分析】（1）利用拼圖可知小正方形的對角線長就是半圓的半徑長，由此可得到OA、OB的長，根據(jù)點A、B的位置可得到點A、B表示的數(shù).
（2）先求出大正方形的面積和兩個小長方形的面積，再用大正方形的面積減去兩個長方形的面積即可的中心小正方形的面積，問題隨之得解；
（3）先利用平方根和立方根的性質(zhì)及無理數(shù)的估算分別求出a，b，c的值，再代入求解即可．
（1）解：∵小正方形邊長為1，
∴由前面的拼圖知，小正方形的對角線為．
∴．
∴A表示的數(shù)為，B表示的數(shù)為．
故答案為：，．
（2）解：∵大正方形面積為：，兩個小長方形面積為：，
∴小正方形面積為：．
故長方形對角線長度為：．
（3）解：∵，，
∴，．
∵，
∴，
∴．
故．
1 / 1第二章《實數(shù)的初步認(rèn)識》提升卷—蘇科版（2024）數(shù)學(xué)八（上）單元分層測
一、選擇題：本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的.每小題選對得3分，選錯、不選或多選，均不得分.
1．（2025七下·雨花期末）下列各式正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】求算術(shù)平方根；開立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A.，故A錯誤；
B.，故B錯誤；
C.，故C錯誤；
D.，故D正確.
故答案為：D.
【分析】表示求a的算術(shù)平方根，表示求b的立方根。
2．（2024七下·舒城月考）如果，，則（　　）
A．2.872 B．28.72 C．287.2 D．2872
【答案】B
【知識點】立方根的實際應(yīng)用
【解析】【解答】解：∵，
而
∴．
故答案為：B．
【分析】立方根的規(guī)律：根號內(nèi)的小數(shù)點每向左或向右移動3位，其立方根的小數(shù)點向相同的方向移動一位，據(jù)此求解即可.
3．（2024七下·高要期末）一個正數(shù)的兩個不同的平方根是和，則這個正數(shù)是（　　）
A．64 B．49 C．14 D．7
【答案】A
【知識點】平方根的性質(zhì)
【解析】【解答】解：由題意得：，
解得，
則這個正數(shù)是，
故答案為：A．
【分析】利用平方根的定義及計算方法可得，求出a的值，再求出這個正數(shù)即可.
4．（2025七下·封開期末） 下列各數(shù)中沒有平方根的是（　　）
A． B． C．0 D．0.03
【答案】B
【知識點】有理數(shù)的乘方法則；平方根的概念與表示
【解析】【解答】解：（﹣2）3＝﹣8，（﹣2）3是負(fù)數(shù)，沒有平方根，
故答案為：B
【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方結(jié)合平方根的定義（被開方數(shù)不能是負(fù)數(shù)）即可求解。
5．（2025七下·雨花期末）如圖，數(shù)軸上有M，N，P，Q四點，則這四點中所表示的數(shù)最接近的是（　　）
A．點M B．點N C．點P D．點Q
【答案】C
【知識點】實數(shù)在數(shù)軸上表示；無理數(shù)的估值
【解析】【解答】解：∵1<3<4
∴1<<2
∴-2<<-1
所以這四點中所表示的數(shù)最接近的是點P.
故答案為：C.
【分析】本題考查估算無理數(shù)的大小，實數(shù)與數(shù)軸，理解算術(shù)平方根的定義是正確解答的前提.
6．（2025七下·安州期末）某電影院1號廳正在放映電影《哪吒之魔童鬧海》，甲、乙兩名工作人員根據(jù)1號廳的觀影人數(shù)，說法如下：
甲：“觀影人數(shù)不超過90人．”
乙：“觀影人數(shù)不足100人．”
已知甲的說法錯誤，乙的說法正確，則在1號廳的觀影人數(shù)可能為（　　）
A．90 B．96 C．100 D．101
【答案】B
【知識點】近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)
【解析】【解答】解： ∵已知甲的說法錯誤，乙的說法正確，
∴ 觀影人數(shù)不足100人 （大于90小于100）
∴ 在1號廳的觀影人數(shù)可能為 96人，
故答案為：B.
【分析】根據(jù)估算可知，不足100人，表示是大于90小于100之間的數(shù)值.
7．（2025七下·廣安期中）如圖，面積為2的正方形的頂點A在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為．若，則數(shù)軸上點E所表示的數(shù)為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】實數(shù)在數(shù)軸上表示
【解析】【解答】解：∵面積為2的正方形，
∴，
∴，
∴數(shù)軸上點E所表示的數(shù)為；
故答案為：A．
【分析】根據(jù)正方形的面積等于邊長的平方可求出的長，由作圖可得AE=AD，然后根據(jù)數(shù)軸上點所表示的數(shù)的特征可求解．
8．有下列說法：①任何有理數(shù)都是有限小數(shù)；②實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)；③在1和3之間的無理數(shù)有且只有，，，，4個；④近似數(shù)5.60所表達(dá)的準(zhǔn)確數(shù)x的范圍是5.595≤x<5.605。其中正確的個數(shù)是 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知識點】無理數(shù)的概念；有理數(shù)的概念；近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)
【解析】【解答】解：①有理數(shù)不一定是有限小數(shù)，整數(shù)也是有理數(shù)，①錯誤，
②實數(shù)與數(shù)軸上的點一 一對應(yīng)，有理數(shù)是實數(shù)的一部分，②正確，
③在1和3之間的無理數(shù)有無數(shù)個，例如，等，③錯誤，
④近似數(shù)7.30所表示的準(zhǔn)確數(shù)x的范圍是5.595 ≤a< 5.605，⑤正確
綜上所述，正確的說法有②和⑤，共2個。
故答案為：B.
【分析】根據(jù)有理數(shù)、實數(shù)、無理數(shù)、近似數(shù)的有關(guān)概念進(jìn)行判斷即可.
二、填空題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.只要求填出最后結(jié)果.
9．（2025七下·北流月考）在下列實數(shù)：，，，，，（1和2之間0的個數(shù)逐次增加一個）中，無理數(shù)共有　 　個．
【答案】3
【知識點】無理數(shù)的概念；求算術(shù)平方根；開立方（求立方根）
【解析】【解答】解：屬于無理數(shù)；
屬于有理數(shù)；
，因此屬于有理數(shù)；
屬于無理數(shù)；
屬于有理數(shù)；
（1和2之間0的個數(shù)逐次增加一個）為無限不循環(huán)小數(shù)，屬于無理數(shù)；
綜上可知，無理數(shù)有、、，一共3個。
故答案為：3．
【分析】本題考查無理數(shù)的識別。無理數(shù)，也稱為無限不循環(huán)小數(shù)，因此無理數(shù)不能寫作兩整數(shù)之比，如果將無理數(shù)寫成小數(shù)形式，小數(shù)點之后的數(shù)字有無限多個，并且不會循環(huán)。而分?jǐn)?shù)、整數(shù)和有限小數(shù)已經(jīng)循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)。據(jù)此進(jìn)行分析即可。
10．（2025七上·金華月考）的平方根是　 　；5的算術(shù)平方根是　 　；的絕對值是　 　．
【答案】；；
【知識點】求有理數(shù)的絕對值的方法；開平方（求平方根）；求算術(shù)平方根
【解析】【解答】解：的平方根是，5的算術(shù)平方根是；
故答案為：；；．
【分析】正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)，其中算術(shù)平方根為正，求絕對值時，負(fù)數(shù)的絕對值為其相反數(shù)，根據(jù)定義依次解答即可．
11．（2024八上·清鎮(zhèn)市月考）立方根等于本身的數(shù)是　 　．
【答案】，0，1
【知識點】開立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，，．
故答案為：，0，1．
【分析】
本題考查有理數(shù)的乘方，立方根的定義，熟知立方根的定義是解題關(guān)鍵．
立方根的定義為：如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫做a的立方根，記作
根據(jù)立方根的定義，代入數(shù)據(jù)即可得出答案．
12．（2024七上·樂清月考）有理數(shù)3.14159精確到千分位的近似數(shù)為　 　．
【答案】3.142
【知識點】近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)
【解析】【解答】3.14159中從左至右第二個1在千分位，后面的5可以進(jìn)位，
所以有理數(shù)3.14159精確到千分位的近似數(shù)為3.142．
【分析】找到千分位所在的數(shù)，將它的下一位數(shù)進(jìn)行“四舍五入”，即可得到答案．
13． 若則x-y的值為　 　.
【答案】-1
【知識點】解二元一次方程組；算術(shù)平方根的性質(zhì)（雙重非負(fù)性）；絕對值的非負(fù)性
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得：，
∴x-y=1-2=-1.
故答案為：-1.
【分析】根據(jù)絕對值的非負(fù)性和二次根式的非負(fù)性，由兩個非負(fù)數(shù)的和為零，則每一個數(shù)都等于零，可得關(guān)于x、y的二元一次方程組，解這個方程組即可求出x、y的值，然后代入x-y計算即可求解.
14．（2025七下·瀏陽期末） 若關(guān)于x，y的方程組有無數(shù)組解，則＝　 　 ．
【答案】2
【知識點】求算術(shù)平方根；已知二元一次方程組的解求參數(shù)
【解析】【解答】解：
，
①×b ②，得（ab＋2）y＝1 b，
∵原方程組有無數(shù)組解，
∴ab＋2＝0，1 b＝0，
∴a＝ 2，b＝1，
∴，
故答案為：2．
【分析】先解方程組，然后根據(jù)方程組有無數(shù)組解即可得出ab＋2＝0，1 b＝0，即可求出a、b的值．
15．（2025七下·富順期末）現(xiàn)定義一個新運算“※”，規(guī)定對于任意實數(shù)x，y，都有，則的值為　 　．
【答案】8
【知識點】求算術(shù)平方根；開立方（求立方根）
【解析】【解答】解：．
故答案為：8．
【分析】根據(jù)新運算列出算式，再根據(jù)算術(shù)平方根和立方根的運算計算即可.
16．（2025七下·競賽）我們知道是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，它的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，但是由于，所以的整數(shù)部分為1，小數(shù)部分為。根據(jù)以上的內(nèi)容，解答下面的問題：若的小數(shù)部分為a，的整數(shù)部分為b，則的值是　 　。
【答案】3
【知識點】無理數(shù)的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴的整數(shù)部分為2，
∴小數(shù)部分為，
即，
∵，
∴的整數(shù)部分為5，
∴b=5，
∴.
故答案為：3.
【分析】求出的整數(shù)部分和小數(shù)部分，然后求出的整數(shù)部分，最后將這些值代入公式進(jìn)行計算.
17．（2025七下·湛江期中）如圖，A，B，C均為正方形，若A的面積為10，C的面積為1，則B的邊長可以是　 　．（寫出一個答案即可）
【答案】2
【知識點】無理數(shù)的估值；求算術(shù)平方根
【解析】【解答】解：，，
正方形的邊長為，正方形的邊長為1，
的邊長，
正方形的邊長可以是2，
故答案為：2（答案不唯一）．
【分析】利用正方形的面積公式及算術(shù)平方根的計算方法求出A、C的邊長，再求解即可.
18．（2025七下·柯橋月考）設(shè)2016a3＝2017b3＝2018c3，abc＞0，且，則＝　 　
【答案】1
【知識點】立方根的性質(zhì)；利用等式的性質(zhì)將等式變形
【解析】【解答】解：，
，
∴，
解得＝ 1
故答案為：1 .
【分析】本題主要考查等式的變形，需要利用立方根的計算。
從問題出發(fā)，因此讓原式中盡量出現(xiàn) ，這時可以在的根號里面的式子每個因式變形為，最后變形為；然后再將變形，并結(jié)合 2016a3＝2017b3＝2018c3 ，因此得到，最后即可得出等式，從而求出 的值。
三、解答題：本大題10小題，共96分.
19．（2025七下·郴州期中）計算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
.
（2）解：
．
【知識點】實數(shù)的絕對值；求算術(shù)平方根；開立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先求立方根、算術(shù)平方根和化簡絕對值，再進(jìn)行加減計算；
（2）先求立方根、算術(shù)平方根，乘方運算，再計算乘法，最后進(jìn)行加減計算．
（1）解：
；
（2）解：
．
20．（2025七下·長沙月考）求下列等式中的x值：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
或
（2）解：
【知識點】利用開平方求未知數(shù)；利用開立方求未知數(shù)
【解析】【分析】（1）利用平方根的性質(zhì)，可得到x-2的值，然后解方程即可.
（2）先將（x-1）3的系數(shù)化為1，然后利用立方根的性質(zhì)解方程即可.
（1）解：
或；
（2）解：
．
21．（2025七下·義烏開學(xué)考）如果為的算術(shù)平方根，為的立方根，求的平方根．
【答案】
【知識點】開平方（求平方根）；求算術(shù)平方根
【解析】【解答】解：由題意得：，
解得，
∴，
∴的平方根是．
故答案為：.
【分析】根據(jù)算術(shù)平方根與立方根的定義，列出方程組求出、的值，進(jìn)而求出2a-3b的平方根．
22．如果一個實際數(shù)的真實值為a，近似值為b，那么|a-b|稱為絕對誤差，稱為相對誤差．已知一根木條的實際長度為20.45cm，第一次測量精確到厘米，第二次測量精確到毫米，求兩次測量所產(chǎn)生的絕對誤差和相對誤差．(相對誤差精確到0.0001)
【答案】解：第一次測量精確到厘米，
因為a=20.45cm，所以b=20cm，所以
第二次測量精確到毫米，
因為a=20.45cm，所以b=20.5cm，所以
【知識點】精準(zhǔn)度與有效數(shù)字
【解析】【分析】 根據(jù)原數(shù)得到近似數(shù)，然后絕對誤差，相對誤差的定義解答即可．
23．（2025七下·潮南月考）閱讀下面材料：形如的式子叫做二階行列式，它的運算法則用公式表示為，例如：．
利用上面法則，解答下列問題：
（1）計算：．
（2）若關(guān)于x的不等式的負(fù)整數(shù)解為，，，求k的取值范圍．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：∵ ，
∴，
解得，
∵負(fù)整數(shù)解為，，，
∴，
解得，
∴k的取值范圍為．
【知識點】一元一次不等式的特殊解；求算術(shù)平方根；開立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根據(jù) 運算法則，代入數(shù)據(jù)即可求解
（2）根據(jù) 運算法則，將不等式的左邊進(jìn)行求解，然后再結(jié)合不等式的右邊，最后再進(jìn)行解不等式，即可求解
（1）原式
；
（2）∵，
∴，
解得，
∵負(fù)整數(shù)解為，，，
∴，
解得，
∴k的取值范圍為．
24．（2024七下·潮安期末）閱讀材料1．
是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分不能全部寫出來，但由于，所以的整數(shù)部分為1，將減去其整數(shù)部分1，差就是小數(shù)部分，其小數(shù)部分為．
（1）直接寫出的小數(shù)部分是　 　；的小數(shù)部分是　 　；
（2）已知，其中是整數(shù)，且，求的值；
（3）閱讀材料2．
小明在查閱了乘法公式后，想出了一個估算無理數(shù)近似值的方法，例如求的近似值（結(jié)果精確到0.01），設(shè)，其中，則，因為，所以，所以，解得，所以．
利用小明的方法估算的近似值（結(jié)果精確到0.01）
【答案】（1）；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，，；
（3）解：∵，
∴
設(shè)，其中，則，
∵，
∴，
∴，
解得，所以．
【知識點】無理數(shù)的估值；無理數(shù)的概念
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∴的小數(shù)部分是，
∵，
∴，
∴的小數(shù)部分是，
故答案為：，；
【分析】（1）根據(jù)題意估算無理數(shù)的大小，進(jìn)而即可求解；
（2）先根據(jù)題意估算的大小，進(jìn)而即可得到，從而即可得到x和y，再代入即可求解；
（3）先根據(jù)題意估算的大小，進(jìn)而設(shè)，其中，則，再根據(jù)材料結(jié)合題意即可求解.
25．對于實數(shù)，我們規(guī)定：用符號| 表示不大于 的最大整數(shù)，并稱 為x的根整數(shù)，例如：[
（1）仿照以上方法計算： 　 　，　 　.
（2）若 寫出滿足題意的x的整數(shù)值.
（3）我們對x連續(xù)求根整數(shù)，直到結(jié)果為1為止.例如：對10連續(xù)求根整數(shù)2次 1，這時候結(jié)果為1.
①對100連續(xù)求根整數(shù)，　 　次之后結(jié)果為1.
②只需進(jìn)行3次連續(xù)求根整數(shù)運算后結(jié)果為1的所有正整數(shù)中，最大的是　 　 .
【答案】（1）2；5
（2）解：且
故答案為： 1， 2， 3；
（3）解：3；255
【知識點】無理數(shù)的估值
【解析】【解答】
故答案為： 2， 5；
(3) ① 第一次：
第二次：
第三次：
故答案為：3；
② 最大的正整數(shù)是255.
理由是： ∴對255只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?.
，
∴對256只需進(jìn)行4次操作后變?yōu)?，
∴只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是255.
故答案為： 255.
【分析】(1)先估算 和 的大小，再由新定義可得結(jié)果；
(2)根據(jù)定義可知x<4，可得滿足題意的x的整數(shù)值；
(3) ① 根據(jù)定義對100進(jìn)行連續(xù)求根整數(shù)，求得結(jié)果為1時的次數(shù)即可；
② 最大的正整數(shù)是255，根據(jù)操作過程分別求出255和256進(jìn)行幾次操作，即可得出答案.
26．（2024七下·夏邑月考）當(dāng)?shù)貢r間5月6日，“從北京到巴黎——中法藝術(shù)家奧林匹克行”中國藝術(shù)大展在巴黎舉辦．蘇繡作品《荷嬌欲語》亮相巴黎，向世人展示東方美學(xué)的韻味．現(xiàn)有一張長方形繡布，長、寬之比為，繡布面積為．
（1）求繡布的周長；
（2）刺繡師傅想用這張繡布裁出一張面積為的完整圓形繡布來繡花鳥圖，她能夠裁出來嗎？請說明理由（π取3）
【答案】（1）解：設(shè)繡布的長為(3x)，寬為(2x)，
根據(jù)題意，得，
即，
∴，
∵，
∴．
∴，．
∴繡布的長為24，寬為16．
周長為
（2）解：不能夠裁出來．理由如下：設(shè)完整的圓形繡布的半徑為r，
由題意，得，
∵π取3，
∴，
解得（負(fù)值已舍去），
∵，
∴．
∴不能夠裁出來
【知識點】算術(shù)平方根的實際應(yīng)用
【解析】【分析】（1）設(shè)繡布的長為(3x)，寬為(2x)，利用長方形的面積公式可得到關(guān)于x的方程，解方程求出符合題意的x的值，然后求出繡布的周長.
（2）設(shè)完整的圓形繡布的半徑為r，利用圓的面積可求出圓的半徑，進(jìn)行估算比較大小，即可求解.
27．（2024七下·洪山月考）下表是平方根和立方根的部分內(nèi)容：
平方根 立方根
定義 一般地，如果一個數(shù)x的平方等于a，即x2＝a，那么這個數(shù)x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 一般地，如果一個數(shù)x的立方等于a，即x3＝a，那么這個數(shù)x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）．
性質(zhì) 一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)：0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根． 正數(shù)的立方根是正數(shù)；0的立方根是0；負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)．
【類比探索】（1）探索定義：
類比平方根和立方根，給四次方根下定義：____．
（1）探究性質(zhì)：
①1的四次方根是 　 　；
②16的四次方根是 　 　；
③0的四次方根是 　 　；
④　 　（填“有”或“沒有”）四次方根．
類比平方根和立方根的性質(zhì)，歸納四次方根的性質(zhì)：　 　；
（2）＝　 　，＝　 　．
【答案】（1）；；0；沒有；一個正數(shù)有兩個四次方根，它們互為相反數(shù)；0的四次方根是0；負(fù)數(shù)沒有四次方根；
（2）；
【知識點】開平方（求平方根）；開立方（求立方根）
【解析】【解答】解：（1）1的四次方根是±1；16的四次方根是±2；0的四次方根是0；-625沒有四次方根，
類比平方根和立方根的性質(zhì)，歸納四次方根的性質(zhì)： 一個正數(shù)有兩個四次方根，它們互為相反數(shù)；0的四次方根是0；負(fù)數(shù)沒有四次方根.
（2） =±5； =.
故答案為：（1）±1；±2；0；沒有；一個正數(shù)有兩個四次方根，它們互為相反數(shù)；0的四次方根是0；負(fù)數(shù)沒有四次方根；
（2）±5；.
【分析】類比平方根與立方根，可得四次方根的定義： 一般地，如果一個數(shù)x的立方等于a，即x4＝a，那么這個數(shù)x就叫做a的四次方根（也叫做四次方根).
（1）根據(jù)定義進(jìn)行計算，根據(jù)結(jié)果歸納出性質(zhì)，即可求得；
（2）根據(jù)定義，求四次方根即可.
28．（2024七上·長興期中）如圖1，教材有這樣一個探究：把兩個面積為的小正方形拼成一個面積為的大正方形，所得到的面積為的大正方形的邊就是原先面積為的小正方形的對角線長，因此，可得小正方形的對角線長為．
（1）由此，我們得到了一種方法，能在數(shù)軸上畫出無理數(shù)所對應(yīng)的點，則圖2中A，B兩點表示的數(shù)為________，________．
（2）某同學(xué)把長為2，寬為1的兩個長方形進(jìn)行裁剪，拼成如圖3所示的一個正方形.請同學(xué)們仿照上面的探究方法求出小長方形的對角線的長度，并說明理由．
（3）若3是的一個平方根，的立方根是2，c為圖3中小正方形邊長x的整數(shù)部分，請計算的平方根．
【答案】（1），
（2）解：∵大正方形面積為：，兩個小長方形面積為：，∴小正方形面積為：．
故長方形對角線長度為：
（3）解：∵，，∴，．
∵，
∴，
∴．
故
【知識點】實數(shù)在數(shù)軸上表示；開平方（求平方根）；求算術(shù)平方根；開立方（求立方根）
【解析】【解答】（1）解：∵小正方形邊長為1，
∴由前面的拼圖知，小正方形的對角線為．
∴．
∴A表示的數(shù)為，B表示的數(shù)為．
故答案為：，．
【分析】（1）利用拼圖可知小正方形的對角線長就是半圓的半徑長，由此可得到OA、OB的長，根據(jù)點A、B的位置可得到點A、B表示的數(shù).
（2）先求出大正方形的面積和兩個小長方形的面積，再用大正方形的面積減去兩個長方形的面積即可的中心小正方形的面積，問題隨之得解；
（3）先利用平方根和立方根的性質(zhì)及無理數(shù)的估算分別求出a，b，c的值，再代入求解即可．
（1）解：∵小正方形邊長為1，
∴由前面的拼圖知，小正方形的對角線為．
∴．
∴A表示的數(shù)為，B表示的數(shù)為．
故答案為：，．
（2）解：∵大正方形面積為：，兩個小長方形面積為：，
∴小正方形面積為：．
故長方形對角線長度為：．
（3）解：∵，，
∴，．
∵，
∴，
∴．
故．
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