資源簡介

1.3證明-浙教版（2024）數學八（上）進階同步練
一、選擇題
1．（2024八上·諸暨月考）如圖，∠1=100°，∠C=70°，則∠A的大小是（　　）
A．10° B．20° C．30° D．80°
【答案】C
【知識點】三角形外角的概念及性質
【解析】【解答】解∶∵∠1=100°，∠C=70°，
∴∠A=∠1﹣∠C=100°﹣70°=30°．
故選：C．
【分析】根據“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和”列式計算．
2．（2024八上·杭州月考）如圖，將三角形紙板直角頂點放在直尺上，∠1＝35°，∠2＝69°，則∠3的度數為（　　）
A．34° B．35° C．69° D．104°
【答案】A
【知識點】三角形外角的概念及性質
【解析】【解答】解：∵∠2＝∠1+∠3，∠1＝35°，∠2＝69°，
∴∠3=∠2-∠1=69°-35°=34°，
故答案為：A．
【分析】根據三角形外角的性質：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個外角的和，即可得到答案.
3．如圖，平分，求證：.以下是排亂的證明過程：
①(已知)，
②平分(已知)，
③(角平分線的定義)，
④(兩直線平行，同位角相等)，
⑤(等量代換).
證明步 順序正確的是（　　）
A．③②①④⑤ B．①④②③⑤
C．①③④②⑤ D．①④③②⑤
【答案】B
【知識點】平行線的判定與性質；證明的含義與一般步驟
【解析】【解答】.
平分，
，
.
故正確的證明步聚是①④②③⑤.
【分析】根據兩直線平行，同位角相等，可得∠2=∠3；根據角平分線的性質，可得∠1=∠2；根據等量代換原則，可得∠1=∠3.
4．在證明過程中，作為邏輯推理依據最全的是（　　）
A．基本事實、定理
B．定義、基本事實、定理
C．基本事實、定理、題設(已知條件)
D．定義、基本事實、定理、題設(已知條件)
【答案】D
【知識點】證明的含義與一般步驟
【解析】【解答】解：在證明過程中，定義、基本事實、定理、題設（已知條件）都可以作為邏輯推理的依據.
故答案為：D.
【分析】 定理和命題就是在定義和公理的基礎上通過理性的加工使得理論的再延伸，我認為它們的區別主要在于，定理的理論高度比命題高些，定理主要是描述各定義（范疇）間的邏輯關系，命題一般描述的是某種對應關系（非范疇性的）。
5．（2024八上·浙江期中）將一副直角三角板按如圖所示方式擺放，含角的三角板的斜邊經過含角的三角板的直角頂點，短的直角邊與含角的三角板的斜邊重合，則為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】角的運算；三角形外角的概念及性質
【解析】【解答】解：如圖，
由題意，得，，
∵，
∴，
故答案為：B．
【分析】如圖，根據三角形的外角性質即可得到結論．
6．（2024八上·義烏月考）如圖，∠ACD=120°，∠B=20°，則∠A的度數是（　　）
A．120° B．90° C．100° D．30°
【答案】C
【知識點】三角形外角的概念及性質
【解析】【解答】解：∵∠ACD是△ABC的一個外角，
∴∠ACD=∠A+∠B，
∵∠ACD=120°，∠B =20°，
∴∠A=∠ACD﹣∠B
=120°﹣20°
=100°.
故答案為：C．
【分析】根據三角形外角的性質“三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角之和”可求解.
7．（2024八上·拱墅月考）甲、乙、丙、丁四位同學在操場上踢足球，不小心打碎了玻璃窗．老師問他們是誰打碎了玻璃窗．
甲說：“是丙，也可能是丁打碎的．”
乙說：“一定是丁打碎的．”
丙說：“我沒有打碎玻璃窗．”
丁說：“我沒有干這件事．”
若四位同學中只有一位說了謊話，由此我們可以推斷，打碎玻璃的同學是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知識點】推理與論證
【解析】【解答】解：A、假設是甲打碎玻璃窗，可推出甲、乙2人說了謊，故A不符合題意；
B、假設是乙打碎玻璃窗，可推出甲、乙2人說了謊，B不符合題意；
C、假設是丙打碎玻璃窗，可推出乙、丙2人說了謊，故C不符合題意；
D、假設是丁打碎玻璃窗，可推出丁1人說了謊，故D符合題意；
故選：D．
【分析】根據題意，利用假設法逐一判斷即可．
8．（2025七下·柯橋期末） 如果甲同學的語文分數或英語分數至少有一門比乙同學高，則稱甲同學不亞于乙同學．在班級45個學生中，如果某同學不亞于其他44人，就稱他（她）為“潛力之星”，那么某班45個學生中的“潛力之星”最多可能有（　　）
A．22人 B．23人 C．44人 D．45人
【答案】D
【知識點】推理與論證
【解析】【解答】解：要使“潛力之星”最多，可將每名學生的長處與其他同學的短處相比較；
取45人一種特殊情況：他們中語文成績與英語成績都互不相等，并且語文成績最高者英語成績最低，語文成績次高者英語成績次低，
這樣以來，語文成績最好的學生(語文優于其他44人)自然是“潛力之星”，語文成績第二的學生(優于其他43人)英語比較是倒數第二(優于1人)，他也是“潛力之星”，同理可說明45人可以都是“潛力之星”，
故答案為：D.
【分析】通過將學生分為兩組，語文組和英語組，分別在語文和英語科目上形成互補優勢，確保兩組內、組間的學生均滿足"不亞于'條件.
二、填空題
9． 如圖，BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角平分線，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，那么∠A+∠P=　 　.
【答案】90°
【知識點】三角形外角的概念及性質；角平分線的概念
【解析】【解答】解： BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角平分線，∠ABP=20°，∠ACP=50°
ABP=CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°
ABC=2ABP=40°，ACM=2ACP=100°
A=ACM-ABC=100°-40°=60°
P=PCM-CBP=50°-20°=30°
A+P=30°+60°=90°
故答案為：90°
【分析】根據角平分線的定義可得ABP=CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，ABC=2ABP=40°，ACM=2ACP=100°，根據三角形外角的性質可得A=ACM-ABC=100°-40°=60°，P=PCM-CBP=50°-20°=30°，則A+P=30°+60°=90°。
10．（2022七下·南京期末）結合下圖，用符號語言表達定理“同位角相等，兩直線平行”的推理形式：
∵　 　，
∴a∥b．
【答案】∠1＝∠3
【知識點】平行線的判定；推理與論證
【解析】【解答】解：∵∠1和∠3是同位角，
∴若∠1=∠3，則 a∥b．
故答案為：∠1=∠3.
【分析】 同位角有兩個特征，1. 在截線的同旁；2.在被截兩直線的同方向； 依此找出同位角，再列等式即可.
11． 已知：如圖，△ABC的兩條高線BE，CF相交于點O。
求證：∠BOC=180°-∠A(填空)。
證明：因為BE，CF是△ABC的兩條高線(　 　 )，
所以∠OEC=∠BFC=90°(　 　)。
因為∠ACF+∠A=∠BFC=90°(　 　)，
所以∠ACF=90°-∠A。
所以
【答案】已知；高的定義；三角形的外角定理
【知識點】三角形外角的概念及性質；證明的含義與一般步驟
【解析】【解答】解：題干明確指出 BE，CF是△ABC的兩條高線，所以第一空填“已知”，根據“高的定義”即可得出 ∠OEC=∠BFC=90° ， ∠ACF+∠A=∠BFC =90°體現的是三角形的外角定理，即“三角形的外角等于不相鄰的兩個內角和”。
故答案為：已知；高的定義；三角形外角定理 .
【分析】利用高的定義得到 ∠OEC=∠BFC=90° ，再結合三角形外角定理有 ∠ACF=90°-∠A ，再進行等量代換即可證明。
12．（2023八上·武威開學考）小明沿街心公園的環形跑道從起點出發按逆時針方向跑步，他用軟件記錄了跑步的軌跡，他每跑1km軟件會在運動軌跡上標注相應的路程，前5 km 的記錄如圖所示.已知該環形跑道一圈的周長大于1km.小明恰好跑3圈時，路程　 　5km (填“超過”或“不超過”)
【答案】不超過
【知識點】推理與論證
【解析】【解答】根據題意可知，標注2km的位置位于標注1km的前面，
∴小明跑完第一圈的路程的路程大于1km，小于2千米；
同理可得，小明跑完第二圈的路程的路程大于2km，小于3千米；
∴小明跑完第三圈的路程的路程大于4km，小于5千米；
∴小明恰好跑3圈時，路程沒有超過了5km，
故答案為：不超過.
【分析】先根據題意求出小明恰好跑3圈時，路程大于4km，小于5千米，再求解即可.
三、解答題
13．
（1）如圖，若∠α=∠β，則AB∥CD.這個命題是真命題還是假命題
（2）若上述命題是真命題，請說明理由；若上述命題是假命題，請再添加一個條件，使該命題成為真命題，并說明理由.
【答案】（1）解：假命題；
（2）解：添加條件：BE∥DF，理由如下：
∵BE∥DF，
∴∠EBD=∠FDG，即∠α+∠ABD=∠β+∠CDG，
∵∠α=∠β，
∴∠ABD=∠CDG，
∴AB∥CD．
【知識點】平行線的判定與性質；證明的含義與一般步驟；舉反例判斷命題真假
【解析】【分析】（1）根據平行線的判定定理即可求解；
（2）添加條件為BE∥DF，根據兩直線平行，同位角相等得∠EBD=∠FDG，從而由角的和差關系、∠α=∠β，得∠ABD=∠CDG，進而根據同位角相等，兩直線平行得證AB∥CD．
14．（2025七下·肇慶月考）將下列證明過程補充完整：
已知：如圖，點分別在上，分別交于點，．
求證：．
證明：因為（已知）
又因為（____________），
所以___________（等量代換）．
所以（ ）
所以（____________）．
又因為（已知），
所以（____________）．
所以__________（ ）．
所以（ ）．
【答案】證明：∵（已知），
又∵（對頂角相等），
∴（等量代換），
∴（同位角相等，兩直線平行），
∴（兩直線平行，同位角相等），
又∵（已知），
∴（內錯角相等，兩直線平行），
∴（兩直線平行，內錯角相等），
∴（等量代換）．
【知識點】平行線的判定與性質；推理與論證
【解析】【分析】利用平行線的判定方法和性質及推理步驟分析求解即可.
15．（2025七下·青秀月考）填空：如圖，于，于，，可得平分．
理由如下：
于，于（已知），
（______）．
（______）．
（______），
．
又（______），
（______）．
平分（______）．
【答案】證明：于．于（已知）．
（垂直的定義），
（同位角相等，兩直線平行），
（兩直線平行，內錯角相等）．
．
又（已知）．
（等量代換），
平分（角平分線的定義）．
【知識點】平行線的判定與性質；推理與論證
【解析】【分析】利用平行線的性質和判定方法及角平分線的定義和推理的步驟分析求解即可
16． 已知：如圖，直線a，b被直線c所截，且.
求證： a∥b.
你有幾種證明方法
【答案】證明：
方法一： ∵∠1+∠2 =180°，∠2+∠6=180°，
∴∠1=∠6，
∴allb.
方法二： ∵∠1+∠2=180°，∠1= ∠5，
∴∠2+∠5 =180°，
∴allb.
方法三： ∵∠1+∠2=180°， ∠1+∠3=180°，
∴∠2=∠3，
∴allb.
方法四： ∵∠1+∠2=180°， ∠1+∠4=180°，
∴∠2 =∠4，
∴allb.
【知識點】平行線的判定；證明的含義與一般步驟
【解析】【分析】
方法一：只要證明∠1 =∠6，根據同位角相等，兩直線平行得到結論.
方法二： 只要證明∠2+∠5 =180°，根據同旁內角互補，兩直線平行得到結論.
方法三：只要證明∠2 =∠3，根據同位角相等，兩直線平行得到結論.
方法四：只要證明∠4 =∠2，根據內錯角相等，兩直線平行解答.
17．（2024八上·銅梁開學考）如圖，點，分別在直線，上，連接，，，分別與，相交于點，，，．
（1）求證：；
（2）求證：．
（3）若，求的度數．
【答案】（1）證明：∵∠1=∠2，∠1=∠CGD，
∴∠2=∠CGD，
∴BF∥CE.
（2）證明： ∵BF∥CE
∴∠AEC=∠B，
∵∠AEC=∠BFD，
∴∠B=∠BFD，
∴AB∥CD，
∴∠BAD=∠ADC．
（3）解：∵BF∥CE，AB∥CD，
∴∠BHD=∠EGD，∠AEG=∠C=68°，
∴∠EGD=∠A+∠AEG=98°，
∴∠BHD=∠EGD=98°.
【知識點】平行線的判定與性質；三角形外角的概念及性質；對頂角及其性質
【解析】【分析】（1）根據對頂角相等，可以推算出∠2=∠CGD，根據同位角相等，兩直線平行，即可證得；
（2）根據兩直線平行，同位角相等可得∠AEC=∠B，推得∠B=∠BFD，根據內錯角相等，兩直線平行可得AB∥CD，根據兩直線平行，內錯角相等即可證明；
（3）根據兩直線平行，同位角相等，內錯角相等可得∠BHD=∠EGD，∠AEG=∠C=68°，根據三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角之和可得∠EGD=∠A+∠AEG=98°，故∠BHD=∠EGD=98°.
（1）證明：∵直線與相交，
∴（對頂角相等），
∵，
∴（等量代換），
∴（同位角相等，兩直線平行）．
（2）證明：∵，
∴（兩直線平行，同位角相等）．
又∵，
∴（等量代換）．
∴（內錯角相等，兩直線平行）．
∴（兩直線平行，內錯角相等）．
（3）解：由（1）（2）得到，，
，
，
，
．
18．（2023八上·永興月考）證明命題“三角形的外角和等于”是真命題．
已知：
求證：
證明：
【答案】已知：如圖所示，
分別為三個外角，
求證：．
證明：∵，，，
∴
∵，
∴．
【知識點】三角形內角和定理；證明的含義與一般步驟
【解析】【分析】根據命題證明的解題方法，寫出已知、求證，再證明，結合鄰補角性質及三角形內角和定理即可求出答案.
19．（2023八上·北京市期中） 下面是證明三角形內角和定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．
三角形內角和定理：三角形三個內角和等于180°， 已知：如圖，， 求證：
【答案】解：證明：
方法一：過點作，
則，． 兩直線平行，內錯角相等）
∵點，，在同一條直線上，
∴．（平角的定義）
．
即三角形的內角和為．
方法二：
如圖，過點C作
∵CD//AB，
∴∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，
∴∠B+∠ACB+∠A=180°．
即三角形的內角和為．
【知識點】三角形內角和定理；推理與論證
【解析】【分析】利用平行線的性質來證明三角形的內角和即可.
20．（2024八上·溫江期末）如圖1，在中，平分．
（1）若為線段上的一個點，過點作交線段的延長線于點．
①若，，則 ；
②猜想與、之間的數量關系，并給出證明．
（2）如圖2，若在線段的延長線上，過點作交直線于點，請直接寫出與、的數量關系．
【答案】（1）①
②，證明如下：
∵平分，，
∴，
∵，
∵，
∴；
（2）
【知識點】三角形內角和定理；三角形外角的概念及性質；角平分線的概念
【解析】【解答】解：（1）①∵，，∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）∵平分，，
∴，
∵，
∵，
∴．
【分析】（1）①先根據三角形內角和定理得到∠BAC的度數，進而根據角平分線的定義得到，等量代換得到，再根據垂直即可求解；
②先根據角平分線的定義結合三角形內角和定理得到，再根據垂直進行角的運算即可求解；
（2）根據角平分線的定義結合三角形內角和定理得到，進而根據垂直進行角的運算即可求解。
（1）解：①∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴；
②，證明如下：
∵平分，，
∴，
∵，
∵，
∴；
（2）∵平分，，
∴，
∵，
∵，
∴．
1 / 11.3證明-浙教版（2024）數學八（上）進階同步練
一、選擇題
1．（2024八上·諸暨月考）如圖，∠1=100°，∠C=70°，則∠A的大小是（　　）
A．10° B．20° C．30° D．80°
2．（2024八上·杭州月考）如圖，將三角形紙板直角頂點放在直尺上，∠1＝35°，∠2＝69°，則∠3的度數為（　　）
A．34° B．35° C．69° D．104°
3．如圖，平分，求證：.以下是排亂的證明過程：
①(已知)，
②平分(已知)，
③(角平分線的定義)，
④(兩直線平行，同位角相等)，
⑤(等量代換).
證明步 順序正確的是（　　）
A．③②①④⑤ B．①④②③⑤
C．①③④②⑤ D．①④③②⑤
4．在證明過程中，作為邏輯推理依據最全的是（　　）
A．基本事實、定理
B．定義、基本事實、定理
C．基本事實、定理、題設(已知條件)
D．定義、基本事實、定理、題設(已知條件)
5．（2024八上·浙江期中）將一副直角三角板按如圖所示方式擺放，含角的三角板的斜邊經過含角的三角板的直角頂點，短的直角邊與含角的三角板的斜邊重合，則為（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八上·義烏月考）如圖，∠ACD=120°，∠B=20°，則∠A的度數是（　　）
A．120° B．90° C．100° D．30°
7．（2024八上·拱墅月考）甲、乙、丙、丁四位同學在操場上踢足球，不小心打碎了玻璃窗．老師問他們是誰打碎了玻璃窗．
甲說：“是丙，也可能是丁打碎的．”
乙說：“一定是丁打碎的．”
丙說：“我沒有打碎玻璃窗．”
丁說：“我沒有干這件事．”
若四位同學中只有一位說了謊話，由此我們可以推斷，打碎玻璃的同學是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．（2025七下·柯橋期末） 如果甲同學的語文分數或英語分數至少有一門比乙同學高，則稱甲同學不亞于乙同學．在班級45個學生中，如果某同學不亞于其他44人，就稱他（她）為“潛力之星”，那么某班45個學生中的“潛力之星”最多可能有（　　）
A．22人 B．23人 C．44人 D．45人
二、填空題
9． 如圖，BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角平分線，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，那么∠A+∠P=　 　.
10．（2022七下·南京期末）結合下圖，用符號語言表達定理“同位角相等，兩直線平行”的推理形式：
∵　 　，
∴a∥b．
11． 已知：如圖，△ABC的兩條高線BE，CF相交于點O。
求證：∠BOC=180°-∠A(填空)。
證明：因為BE，CF是△ABC的兩條高線(　 　 )，
所以∠OEC=∠BFC=90°(　 　)。
因為∠ACF+∠A=∠BFC=90°(　 　)，
所以∠ACF=90°-∠A。
所以
12．（2023八上·武威開學考）小明沿街心公園的環形跑道從起點出發按逆時針方向跑步，他用軟件記錄了跑步的軌跡，他每跑1km軟件會在運動軌跡上標注相應的路程，前5 km 的記錄如圖所示.已知該環形跑道一圈的周長大于1km.小明恰好跑3圈時，路程　 　5km (填“超過”或“不超過”)
三、解答題
13．
（1）如圖，若∠α=∠β，則AB∥CD.這個命題是真命題還是假命題
（2）若上述命題是真命題，請說明理由；若上述命題是假命題，請再添加一個條件，使該命題成為真命題，并說明理由.
14．（2025七下·肇慶月考）將下列證明過程補充完整：
已知：如圖，點分別在上，分別交于點，．
求證：．
證明：因為（已知）
又因為（____________），
所以___________（等量代換）．
所以（ ）
所以（____________）．
又因為（已知），
所以（____________）．
所以__________（ ）．
所以（ ）．
15．（2025七下·青秀月考）填空：如圖，于，于，，可得平分．
理由如下：
于，于（已知），
（______）．
（______）．
（______），
．
又（______），
（______）．
平分（______）．
16． 已知：如圖，直線a，b被直線c所截，且.
求證： a∥b.
你有幾種證明方法
17．（2024八上·銅梁開學考）如圖，點，分別在直線，上，連接，，，分別與，相交于點，，，．
（1）求證：；
（2）求證：．
（3）若，求的度數．
18．（2023八上·永興月考）證明命題“三角形的外角和等于”是真命題．
已知：
求證：
證明：
19．（2023八上·北京市期中） 下面是證明三角形內角和定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．
三角形內角和定理：三角形三個內角和等于180°， 已知：如圖，， 求證：
20．（2024八上·溫江期末）如圖1，在中，平分．
（1）若為線段上的一個點，過點作交線段的延長線于點．
①若，，則 ；
②猜想與、之間的數量關系，并給出證明．
（2）如圖2，若在線段的延長線上，過點作交直線于點，請直接寫出與、的數量關系．
答案解析部分
1．【答案】C
【知識點】三角形外角的概念及性質
【解析】【解答】解∶∵∠1=100°，∠C=70°，
∴∠A=∠1﹣∠C=100°﹣70°=30°．
故選：C．
【分析】根據“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和”列式計算．
2．【答案】A
【知識點】三角形外角的概念及性質
【解析】【解答】解：∵∠2＝∠1+∠3，∠1＝35°，∠2＝69°，
∴∠3=∠2-∠1=69°-35°=34°，
故答案為：A．
【分析】根據三角形外角的性質：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個外角的和，即可得到答案.
3．【答案】B
【知識點】平行線的判定與性質；證明的含義與一般步驟
【解析】【解答】.
平分，
，
.
故正確的證明步聚是①④②③⑤.
【分析】根據兩直線平行，同位角相等，可得∠2=∠3；根據角平分線的性質，可得∠1=∠2；根據等量代換原則，可得∠1=∠3.
4．【答案】D
【知識點】證明的含義與一般步驟
【解析】【解答】解：在證明過程中，定義、基本事實、定理、題設（已知條件）都可以作為邏輯推理的依據.
故答案為：D.
【分析】 定理和命題就是在定義和公理的基礎上通過理性的加工使得理論的再延伸，我認為它們的區別主要在于，定理的理論高度比命題高些，定理主要是描述各定義（范疇）間的邏輯關系，命題一般描述的是某種對應關系（非范疇性的）。
5．【答案】B
【知識點】角的運算；三角形外角的概念及性質
【解析】【解答】解：如圖，
由題意，得，，
∵，
∴，
故答案為：B．
【分析】如圖，根據三角形的外角性質即可得到結論．
6．【答案】C
【知識點】三角形外角的概念及性質
【解析】【解答】解：∵∠ACD是△ABC的一個外角，
∴∠ACD=∠A+∠B，
∵∠ACD=120°，∠B =20°，
∴∠A=∠ACD﹣∠B
=120°﹣20°
=100°.
故答案為：C．
【分析】根據三角形外角的性質“三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角之和”可求解.
7．【答案】D
【知識點】推理與論證
【解析】【解答】解：A、假設是甲打碎玻璃窗，可推出甲、乙2人說了謊，故A不符合題意；
B、假設是乙打碎玻璃窗，可推出甲、乙2人說了謊，B不符合題意；
C、假設是丙打碎玻璃窗，可推出乙、丙2人說了謊，故C不符合題意；
D、假設是丁打碎玻璃窗，可推出丁1人說了謊，故D符合題意；
故選：D．
【分析】根據題意，利用假設法逐一判斷即可．
8．【答案】D
【知識點】推理與論證
【解析】【解答】解：要使“潛力之星”最多，可將每名學生的長處與其他同學的短處相比較；
取45人一種特殊情況：他們中語文成績與英語成績都互不相等，并且語文成績最高者英語成績最低，語文成績次高者英語成績次低，
這樣以來，語文成績最好的學生(語文優于其他44人)自然是“潛力之星”，語文成績第二的學生(優于其他43人)英語比較是倒數第二(優于1人)，他也是“潛力之星”，同理可說明45人可以都是“潛力之星”，
故答案為：D.
【分析】通過將學生分為兩組，語文組和英語組，分別在語文和英語科目上形成互補優勢，確保兩組內、組間的學生均滿足"不亞于'條件.
9．【答案】90°
【知識點】三角形外角的概念及性質；角平分線的概念
【解析】【解答】解： BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角平分線，∠ABP=20°，∠ACP=50°
ABP=CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°
ABC=2ABP=40°，ACM=2ACP=100°
A=ACM-ABC=100°-40°=60°
P=PCM-CBP=50°-20°=30°
A+P=30°+60°=90°
故答案為：90°
【分析】根據角平分線的定義可得ABP=CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，ABC=2ABP=40°，ACM=2ACP=100°，根據三角形外角的性質可得A=ACM-ABC=100°-40°=60°，P=PCM-CBP=50°-20°=30°，則A+P=30°+60°=90°。
10．【答案】∠1＝∠3
【知識點】平行線的判定；推理與論證
【解析】【解答】解：∵∠1和∠3是同位角，
∴若∠1=∠3，則 a∥b．
故答案為：∠1=∠3.
【分析】 同位角有兩個特征，1. 在截線的同旁；2.在被截兩直線的同方向； 依此找出同位角，再列等式即可.
11．【答案】已知；高的定義；三角形的外角定理
【知識點】三角形外角的概念及性質；證明的含義與一般步驟
【解析】【解答】解：題干明確指出 BE，CF是△ABC的兩條高線，所以第一空填“已知”，根據“高的定義”即可得出 ∠OEC=∠BFC=90° ， ∠ACF+∠A=∠BFC =90°體現的是三角形的外角定理，即“三角形的外角等于不相鄰的兩個內角和”。
故答案為：已知；高的定義；三角形外角定理 .
【分析】利用高的定義得到 ∠OEC=∠BFC=90° ，再結合三角形外角定理有 ∠ACF=90°-∠A ，再進行等量代換即可證明。
12．【答案】不超過
【知識點】推理與論證
【解析】【解答】根據題意可知，標注2km的位置位于標注1km的前面，
∴小明跑完第一圈的路程的路程大于1km，小于2千米；
同理可得，小明跑完第二圈的路程的路程大于2km，小于3千米；
∴小明跑完第三圈的路程的路程大于4km，小于5千米；
∴小明恰好跑3圈時，路程沒有超過了5km，
故答案為：不超過.
【分析】先根據題意求出小明恰好跑3圈時，路程大于4km，小于5千米，再求解即可.
13．【答案】（1）解：假命題；
（2）解：添加條件：BE∥DF，理由如下：
∵BE∥DF，
∴∠EBD=∠FDG，即∠α+∠ABD=∠β+∠CDG，
∵∠α=∠β，
∴∠ABD=∠CDG，
∴AB∥CD．
【知識點】平行線的判定與性質；證明的含義與一般步驟；舉反例判斷命題真假
【解析】【分析】（1）根據平行線的判定定理即可求解；
（2）添加條件為BE∥DF，根據兩直線平行，同位角相等得∠EBD=∠FDG，從而由角的和差關系、∠α=∠β，得∠ABD=∠CDG，進而根據同位角相等，兩直線平行得證AB∥CD．
14．【答案】證明：∵（已知），
又∵（對頂角相等），
∴（等量代換），
∴（同位角相等，兩直線平行），
∴（兩直線平行，同位角相等），
又∵（已知），
∴（內錯角相等，兩直線平行），
∴（兩直線平行，內錯角相等），
∴（等量代換）．
【知識點】平行線的判定與性質；推理與論證
【解析】【分析】利用平行線的判定方法和性質及推理步驟分析求解即可.
15．【答案】證明：于．于（已知）．
（垂直的定義），
（同位角相等，兩直線平行），
（兩直線平行，內錯角相等）．
．
又（已知）．
（等量代換），
平分（角平分線的定義）．
【知識點】平行線的判定與性質；推理與論證
【解析】【分析】利用平行線的性質和判定方法及角平分線的定義和推理的步驟分析求解即可
16．【答案】證明：
方法一： ∵∠1+∠2 =180°，∠2+∠6=180°，
∴∠1=∠6，
∴allb.
方法二： ∵∠1+∠2=180°，∠1= ∠5，
∴∠2+∠5 =180°，
∴allb.
方法三： ∵∠1+∠2=180°， ∠1+∠3=180°，
∴∠2=∠3，
∴allb.
方法四： ∵∠1+∠2=180°， ∠1+∠4=180°，
∴∠2 =∠4，
∴allb.
【知識點】平行線的判定；證明的含義與一般步驟
【解析】【分析】
方法一：只要證明∠1 =∠6，根據同位角相等，兩直線平行得到結論.
方法二： 只要證明∠2+∠5 =180°，根據同旁內角互補，兩直線平行得到結論.
方法三：只要證明∠2 =∠3，根據同位角相等，兩直線平行得到結論.
方法四：只要證明∠4 =∠2，根據內錯角相等，兩直線平行解答.
17．【答案】（1）證明：∵∠1=∠2，∠1=∠CGD，
∴∠2=∠CGD，
∴BF∥CE.
（2）證明： ∵BF∥CE
∴∠AEC=∠B，
∵∠AEC=∠BFD，
∴∠B=∠BFD，
∴AB∥CD，
∴∠BAD=∠ADC．
（3）解：∵BF∥CE，AB∥CD，
∴∠BHD=∠EGD，∠AEG=∠C=68°，
∴∠EGD=∠A+∠AEG=98°，
∴∠BHD=∠EGD=98°.
【知識點】平行線的判定與性質；三角形外角的概念及性質；對頂角及其性質
【解析】【分析】（1）根據對頂角相等，可以推算出∠2=∠CGD，根據同位角相等，兩直線平行，即可證得；
（2）根據兩直線平行，同位角相等可得∠AEC=∠B，推得∠B=∠BFD，根據內錯角相等，兩直線平行可得AB∥CD，根據兩直線平行，內錯角相等即可證明；
（3）根據兩直線平行，同位角相等，內錯角相等可得∠BHD=∠EGD，∠AEG=∠C=68°，根據三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角之和可得∠EGD=∠A+∠AEG=98°，故∠BHD=∠EGD=98°.
（1）證明：∵直線與相交，
∴（對頂角相等），
∵，
∴（等量代換），
∴（同位角相等，兩直線平行）．
（2）證明：∵，
∴（兩直線平行，同位角相等）．
又∵，
∴（等量代換）．
∴（內錯角相等，兩直線平行）．
∴（兩直線平行，內錯角相等）．
（3）解：由（1）（2）得到，，
，
，
，
．
18．【答案】已知：如圖所示，
分別為三個外角，
求證：．
證明：∵，，，
∴
∵，
∴．
【知識點】三角形內角和定理；證明的含義與一般步驟
【解析】【分析】根據命題證明的解題方法，寫出已知、求證，再證明，結合鄰補角性質及三角形內角和定理即可求出答案.
19．【答案】解：證明：
方法一：過點作，
則，． 兩直線平行，內錯角相等）
∵點，，在同一條直線上，
∴．（平角的定義）
．
即三角形的內角和為．
方法二：
如圖，過點C作
∵CD//AB，
∴∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，
∴∠B+∠ACB+∠A=180°．
即三角形的內角和為．
【知識點】三角形內角和定理；推理與論證
【解析】【分析】利用平行線的性質來證明三角形的內角和即可.
20．【答案】（1）①
②，證明如下：
∵平分，，
∴，
∵，
∵，
∴；
（2）
【知識點】三角形內角和定理；三角形外角的概念及性質；角平分線的概念
【解析】【解答】解：（1）①∵，，∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）∵平分，，
∴，
∵，
∵，
∴．
【分析】（1）①先根據三角形內角和定理得到∠BAC的度數，進而根據角平分線的定義得到，等量代換得到，再根據垂直即可求解；
②先根據角平分線的定義結合三角形內角和定理得到，再根據垂直進行角的運算即可求解；
（2）根據角平分線的定義結合三角形內角和定理得到，進而根據垂直進行角的運算即可求解。
（1）解：①∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴；
②，證明如下：
∵平分，，
∴，
∵，
∵，
∴；
（2）∵平分，，
∴，
∵，
∵，
∴．
1 / 1

展開更多......

收起↑